暑假作业09 复数（3大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 复数 【知识点1 复数的概念及几何意义】 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 【知识点2 复数的运算】 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). 2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．复数运算的几个重要结论 (1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． (2)·z＝|z|2＝||2， |z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. (3)若z为虚数，则|z|2≠z2. (4)(1±i)2＝±2i. (5)＝i；＝－i. (6)i的周期性：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：复数的有关概念（易错）】 【知识讲解】 解决复数概念问题的方法及注意事项： (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (3)复数是实数的条件： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0. (4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.　　 1.已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 【答案】C 【解析】由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i， 故选：C 2.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由，可得：，故的虚部为1． 故选：C 3.下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【答案】C 【解析】对于选项A，因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A错误. 对于选项B，因为，所以只有当时，的幂次方才有可能为实数. 当时，验证是否为1. ，可以看出周期为4，所以，所以B错误. 对于选项C，因为，所以为复数，不是实数，所以C正确. 对于选项D，因为不一定是1，所以实部不一定为1.所以D错误. 故选：C. 4．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【解析】由题可得， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：D. 5.（多选）已知，为z的共轭复数，则下列条件可判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】已知，设，则， 对于A，若，即，得，即， 所以，有，正确； 对于B，若，则有，显然，得，有，正确； 对于C，若，即，有，得， 其中当时，，错误； 对于D，若，有，两个复数能比较大小，则，， 有，正确. 故选：ABD. 6．(多选)关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为实数或纯虚数 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，因为，所以，故A错误； 设，且， 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，取，满足0，但不满足，故C错误； 对于D，因为，，， 所以，化简可得，则且， 此时为实数或纯虚数，故D正确. 故选：BD. 7．若复数的实部为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， 因为的实部为，所以，故的最大值为. 8．已知复数． (1)当时，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时， 所以 . （2） 由为纯虚数知， 得，解得. 所以． . 【题型二：复数的几何意义（重点）】 【知识讲解】 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； 第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应． 9.已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，则，所以对应点坐标为. 故选：C. 10. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 11. 已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，则. 故选：D. 12.(多选) 以下四种说法正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数的虚部为 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 【答案】AD 【解析】A选项，，A选项正确. B选项，，对应点，对应点在虚轴上，B选项错误. C选项，复数的虚部为，C选项错误. D选项，复平面内，实轴上的点，对应的复数是实数，D选项正确. 故选：AD 13.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【解析】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 14．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)或;(2) (3) 【解析】（1）若为实数，则，解得或． （2）若为纯虚数，则，解得． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得． 即a的取值范围为. 【题型三：复数的代数运算（重点）】 【知识讲解】 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式． 15．（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意知，． 故选：B 16. 设复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，则. 故选：. 17．已知（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，，，，， 则以，，，为一个周期， 因，则，故， 则. 故选：D 18．设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，又， 因为， ， 则的个位数以为周期，所以的个位数字是， 故选：C. 19．已知，则______. 【答案】 【解析】，， . 20．设x,y为实数,且+=,则x+y=　　　　.  【答案】4 【解析】由题意得,+=+=+++i, ==+i. 因为+=, 所以解得 所以x+y=4. 【题型一：复数方程（难点）】 1．若复数z为方程的根，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】法一：由，得，故． 法二：设，代入，得， 所以，即， 所以，解得或， 所以． 故选：A． 2. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 3．（多选）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【解析】对于A，，，故A正确； 对于C，，故C错误； 对于D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确； 对于B，，故B正确； 故选ABD 4．已知复数为虚数单位． (1)若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； (3)当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1)；(2)； (3)， 【解析】（1）由题意得，解得． （2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （3）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，． 4．已知复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1)；(2)4. 【解析】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得， 所以. 【题型二：与复数模长有关的轨迹问题（高频）】 5．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【解析】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 6．已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 7．已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以表示以为圆心，1为半径的圆， 表示以为圆心，2为半径的圆， 因此由，得点所在区域的面积为. 故选：C 8．若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 9.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是 ． 【答案】1 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故答案为：1. 10．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 为实数，则，得，且， 因此复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点）， 表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则， 所以的取值范围为. 【题型三：复数的向量表示（难点）】 11．如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由图可得，所以，所以. 故选：C 12．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 13．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 14．（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】∵，∴， 所以，，，， 因此BC正确，AD错误， 故选：BC． 15．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 【答案】 【解析】由图可知，所以，，所以， 所以. 16．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 【答案】45° 【解析】根据题意，，， ，又， 所以向量与的夹角为. 17．已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)3或1；(2)5；(3)或，且. 【解析】（1）因为 是实数， 所以，解得或； （2）因为 是纯虚数， 所以，解得； （3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 【题型四：复数的三角形式（难点）】 18．将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】 所以辅角主值为，辅角为， 结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在， 故选：AD. 19．复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为， ，，则的幅角主值为 即对应复数的幅角主值为 故选：D 20．复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 21.设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【答案】C 【解析】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 22．（多选）设是复数，，则可能为（　  　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 而， 则当时，； 当时，，则； 当时，，则. 故选：ABC. 23．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【答案】 / 【解析】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 24．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【答案】/, 【解析】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 25.设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 26.已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． (1)当时，设，求的值； (2)若点与点为同一点，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）当时，. 可得. ，其中，可得： . 则. 可得. （2）因为点与点为同一点，所以. 化简可得，即. 将代入，可得. 令，根据辅助角公式可得，所以. 将两边平方可得，即. 则. 将看作关于的二次函数，其对称轴为，开口向上. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 【题型一：数学文化题（高频）】 1．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】利用欧拉公式可知， 其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 2.著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 3.（多选）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．为实数 B．复数为纯虚数 C． D．设复数，则 【答案】CD 【解析】 ，选项A错误； 由欧拉公式，， 则为偶数时，， 为奇数时，，选项B错误； ，选项C正确； ， 所以，选项D正确. 故选：CD. 4.（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【解析】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 5．由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】64 【解析】由题意可得是一元二次方程的另一个根， 故由一元二次方程的韦达定理可得， 故. 6．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. 【题型二：新定义题（难点）】 7. 定义：若复数与满足，则称复数与互为倒数.已知复数，则复数的倒数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为复数与互为倒数，满足，， 所以， 通过验算满足题意， 故选：A. 8. 定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 复数对应的点在曲线上 设 可得: 复数与的乘积为复数的“旋转复数 ┄① 设的“旋转复数”对应的点 可得: 即 ┄② 将②代入①得: 即: 故选: C. 9.（多选）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对任意复数，，定义，其中是的共轭复数， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，令，，则，， 所以，故D错误． 故选：AB． 10.定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 【答案】BCD 【解析】设，则， 整理得，故即， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B成立； 对于C，若在复平面内对应的点位于第二象限，则， 此时不成立，故在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D，，故的实部是5， 故D正确. 故选：BCD. 11．定义：若，则称复数z是复数的平方根．根据定义，复数的平方根为 ． 【答案】，或 【解析】设复数的平方根为，则， 化为：， ∴， 解得，或． ∴复数的平方根为，或． 故答案为：，或． 12．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 复数 【知识点1 复数的概念及几何意义】 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 【知识点2 复数的运算】 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). 2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．复数运算的几个重要结论 (1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． (2)·z＝|z|2＝||2， |z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. (3)若z为虚数，则|z|2≠z2. (4)(1±i)2＝±2i. (5)＝i；＝－i. (6)i的周期性：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：复数的有关概念（易错）】 【知识讲解】 解决复数概念问题的方法及注意事项： (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (3)复数是实数的条件： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0. (4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.　　 1.已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 2.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（   ） A． B． C．1 D． 3.下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 4．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 5.（多选）已知，为z的共轭复数，则下列条件可判定的是（   ） A． B． C． D． 6．(多选)关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为实数或纯虚数 7．若复数的实部为，则的最大值为 . 8．已知复数． (1)当时，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 【题型二：复数的几何意义（重点）】 【知识讲解】 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； 第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应． 9.已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 10. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11. 已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 12.(多选) 以下四种说法正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数的虚部为 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 13.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 14．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【题型三：复数的代数运算（重点）】 【知识讲解】 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式． 15．（   ） A． B．0 C．2 D． 16. 设复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 17．已知（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 18．设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 19．已知，则______. 20．设x,y为实数,且+=,则x+y=　　　　.  【题型一：复数方程（难点）】 1．若复数z为方程的根，则（   ） A． B．3 C． D．2 2．已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．（多选）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 4．已知复数为虚数单位． (1)若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； (3)当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【题型二：与复数模长有关的轨迹问题（高频）】 5．已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 6．已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知复数，满足，在复平面内对应的点为，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 8．若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 9.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是 ． 10．设是虚数，是实数．则的取值范围为 ． 【题型三：复数的向量表示（难点）】 11．如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 12．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 13．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 15．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 16．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 17．已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【题型四：复数的三角形式（难点）】 18．将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 19．复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（    ） A． B． C． D． 20．复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 21.设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 22．（多选）设是复数，，则可能为（　  　） A． B． C． D． 23．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 24．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 25.设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 26.已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为． (1)当时，设，求的值； (2)若点与点为同一点，求的取值范围． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（    ） 2.著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．为实数 B．复数为纯虚数 C． D．设复数，则 4.（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 5．由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则 ． 6．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【题型二：新定义题（难点）】 7. 定义：若复数与满足，则称复数与互为倒数.已知复数，则复数的倒数（    ） A． B． C． D． 8. 定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 9.（多选）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 10.定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 11．定义：若，则称复数z是复数的平方根．根据定义，复数的平方根为 ． 12．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$