专题07 基本不等式（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题07 基本不等式 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力 3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 对点集训一：对基本不等式的理解 典型例题 例题1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 例题2．（2024高三·全国·专题练习）当时，则函数的最大值为 ． 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 对点集训二：利用基本不等式求最值 角度1：和为定值求积的最值 典型例题 例题1．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 . 例题2．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是 ． 精练 1．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 角度2：积为定值求和的最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 精练 1．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 3．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）已知，则的最小值为 . 角度3：常数代换法 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知均为正实数且，则的最小值为 ． 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 3．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则的最小值为 . 角度4：凑配法 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 精练 1．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 角度5：二次与二次（或一次）商式 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 精练 1．（23-24高二上·云南昆明·）函数的值域是 . 2．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 3．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 对点集训三：基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·海南儋州·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 例题2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在，，.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，，设，（单位:）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 精练 1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 2．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 3．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 对点集训四：与基本不等式有关的恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 例题2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 精练 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一下·河北保定·期末）已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·期末）若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 一、单选题 1．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知正数，满足，则的最大值是（   ） A．4 B．6 C．1 D．2 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（24-25高一上·广西柳州·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 三、填空题 10．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 四、解答题 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 12．（24-25高一上·江苏南京·期中）如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且.    (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 13．（24-25高一上·北京·期中）为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 1．（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）记为两数的最大值，当正数（）变化时，的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ． 4．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 基本不等式 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力 3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 对点集训一：对基本不等式的理解 典型例题 例题1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 2．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 对点集训二：利用基本不等式求最值 角度1：和为定值求积的最值 典型例题 例题1．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值. 【详解】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 精练 1．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 2．（2025高三上·广东·学业考试）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值为. 故选：D 角度2：积为定值求和的最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 例题2．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 精练 1．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2，因此. 故选：B 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 3．（23-24高二上·云南昭通·开学考试）已知，则的最小值为 . 【答案】5 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】由可知，利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为5. 故答案为：5 角度3：常数代换法 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知均为正实数且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 当且仅当时取得等号，即， 又因为，所以联立，解得， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为49， 故答案为:49. 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号， 故选：D 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案. 【详解】由得，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B． 3．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，又因为， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：. 角度4：凑配法 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先把负数转化为正数，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故选:C． 例题2．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 【答案】6 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式即可求. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 精练 1．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 3．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立. 故. 故答案为： 角度5：二次与二次（或一次）商式 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为 ． 【答案】1 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】将函数解析式化简后，利用基本不等式求得函数的最小值. 【详解】．当且仅当，即时等号成立． 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 例题2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 精练 1．（23-24高二上·云南昆明·）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 所以， 所以函数的值域是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 2．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 3．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 对点集训三：基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·海南儋州·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【知识点】求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值、利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 例题2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在，，.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，，设，（单位:）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大值为 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用勾股定理有解出即可； （2）结合基本不等式表示出三角形的面积求出最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，， 所以， 整理得. （2）由（1）得的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积最大，最大值为. 精练 1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 2．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 【答案】(1)，； (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据条件列出函数关系式，再代入数值求，即可求解； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可知，， 因为时，，所以，解得：， 所以，； （2）因为，所以，， ， 当即时等号成立， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 3．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间； （2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； （2）如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 对点集训四：与基本不等式有关的恒成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 2．（23-24高一下·河北保定·期末）已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值． 【详解】因为，，， 所以 .因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即. 【点睛】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键． 3．（23-24高一下·江西抚州·期末）若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】分离变量可得恒成立，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以. 则的最小值是. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知正数，满足，则的最大值是（   ） A．4 B．6 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】把所求式子展开,得,对利用基本不等式,然后代入即可求得最大值. 【详解】．因为,所以, 从而，当且仅当时,等号成立,所以的最大值是2． 故选:D 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 4．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案. 【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则， 直角三角形的面积为，当且仅当时取等号. 故选：C. 5．（24-25高一上·广西柳州·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（    ） A．2080 B．40020 C． D．20 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：D 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 7．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、计算几个数的平均数 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，再用均值不等式来比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克， 根据均值不等式有：， 由于，可知：， 所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】ABC 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】选项、可直接利用基本不等式求得最值，选项、可以先乘再求其最值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即时成立，错误. 故选： 三、填空题 10．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 【答案】16 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16 四、解答题 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】(1)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【详解】（1）由题得即，， 设每间虎笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. （2）由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 12．（24-25高一上·江苏南京·期中）如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且.    (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由已知得，易得和全等，所以， 由勾股定理得，即，其中； （2）， 当且仅当时取等，面积最大值为. 13．（24-25高一上·北京·期中）为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】(1) (2)能获利，最大利润为 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式可得，再根据基本不等式可得解； （2）设利润为，则，再根据二次函数性质可得最值. 【详解】（1）由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 1．（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）记为两数的最大值，当正数（）变化时，的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解. 【详解】由，可得，， ， 当正数（）时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 【答案】 －3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据小明的解法，利用均值不等式求解； （2）转化条件，应用均值不等式求解. 【详解】（1）由知： ， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，知： 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：；. 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值. 【详解】∵，∴， ∴， 当时，，时，，时，， ∴， 当时，，当时，， ∴时，，∴， 又当，，即， ∴的最大值是． 故答案为： 4．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$