专题05 全称量词与存在量词（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题05 全称量词与存在量词 1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词 2、了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性 3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系 全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 2、区间的概念 2.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 例题2．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 精练 1．（24-25高三上·广东汕头·期末）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期末）若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 3．（多选）（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列四个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 对点集训二：含有一个量词的命题的否定 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）命题“对任意一个实数，都有”的否定是 精练 1．（24-25高一上·重庆·期中）命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）命题“”的否定为（   ） A．“” B．“” C．“” D．“” 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 对点集训三：根据全称（特称）命题的真假求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·广东珠海·期中）若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一下·海南·开学考试）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 例题4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 精练 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知命题．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）已知，，若p是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 6．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·二模）若命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（22-23高一上·云南昭通·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 11．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知命题：“，”为真命题，则的取值范围为 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 三、解答题 13．（21-22高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（13-24高一上·浙江·期末）当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有 . 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，命题：对任意，使得；命题：存在，使得. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为假，为真，求的取值范围. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全称量词与存在量词 1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词 2、了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性 3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系 全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 2、区间的概念 2.1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2.2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【知识点】判断全称量词命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 例题2．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 精练 1．（24-25高三上·广东汕头·期末）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据题意可知选项A、D为全称量词命题，令可得选项B正确，根据二次根式的概念可得选项C错误. 【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题. 当时，，选项B为真命题. 当时，，选项C为假命题. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一上·安徽宿州·期末）若集合，集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断全称量词命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】利用列举法表示集合，再结合集合交并运算判断AB；确定命题真假判断CD. 【详解】对于AB，，则，，A错误，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 3．（多选）（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列四个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【知识点】判断全称量词命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假. 【详解】对于A，因为，，可得，即A真命题； 对于B，易知当时，不是整数，即不存在，，所以B为假命题； 对于C，易知当时，，因此C为假命题； 对于D，解不等式可得，显然内不存在整数，即不存在，，可得D为假命题. 故选：BCD 对点集训二：含有一个量词的命题的否定 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定的定义即可判断． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为：. 故选：A． 例题2．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）命题“对任意一个实数，都有”的否定是 【答案】存在实数，有或. 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案. 【详解】命题“对任意一个实数，都有”的否定是： 存在实数，有或. 故答案为：存在实数，有或. 精练 1．（24-25高一上·重庆·期中）命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：C 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）命题“”的否定为（   ） A．“” B．“” C．“” D．“” 【答案】D 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】因为，是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即， 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】存在量词命题的否定及其真假判断 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解； 【详解】“，”的否定是，； 故选：B 对点集训三：根据全称（特称）命题的真假求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】求出的最小值即可得． 【详解】，的最小值是，因此， 故选：B． 例题2．（24-25高一上·广东珠海·期中）若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据判别式大于等于，可求参数的取值范围. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以即或， 故选：B. 例题3．（24-25高一下·海南·开学考试）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据已知命题的否定为真命题,转化为不等式恒成立问题,即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 即在上恒成立，所以,解得. 故答案为： 例题4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】借助根的判别式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称量词命题的真假求参数 【分析】由二次函数大于零恒成立的条件直接求解. 【详解】由二次函数大于零恒成立的条件可知，若为真命题，则有. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称量词命题的真假求参数 【分析】根据不等式恒成立，可转化为二次函数零点情况，分情况列不等式，解不等式即可. 【详解】由已知在上恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，，解得； 综上所述， 故选：B. 3．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知命题．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据全称量词命题的真假求参数 【分析】根据基本不等式计算的最小值，再根据命题的真假计算即可. 【详解】易知， 因为命题P是假命题，所以. 故选：C 4．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）已知，，若p是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由命题p是真命题，可知方程有解，故只需，求解即可. 【详解】已知，，若p是真命题， 则，所以. 故选：B 5．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数 【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 6．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】存在量词命题的否定及其真假判断、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】利用命题的否定是真命题，通过判别式转化求解即可． 【详解】“，”是假命题， 则“，”为真命题， ，解得， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】存在量词命题的否定及其真假判断 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可． 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题知， “，”的否定为“，”． 故选：C． 2．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是，． 故选：A. 3．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】存在量词命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可求解． 【详解】命题“”的否定是， 故选：B. 4．（2025·江西·二模）若命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全称量词命题的否定及其真假判断 【分析】根据命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定为: ，, 故选：C 5．（22-23高一上·云南昭通·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题可得为真命题，据此可得答案. 【详解】则，即函数的图象恒在x轴上方， 则其判别式，则. 故选：B 6．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 8．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 二、填空题 9．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 ，使得 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、存在量词命题的否定及其真假判断、基本不等式求和的最小值 【分析】由命题的否定的定义得到结果；原命题为假命题，则其否定为真命题，借助基本不等式求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为，使得， 若命题为假命题，则其否定为真命题，即， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 故答案为：，使得； 10．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知结合基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立，，所以 故答案为： 11．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知命题：“，”为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意知的解集为，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得对恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 12．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可. 【详解】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 故答案为： 三、解答题 13．（21-22高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据全称量词命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）依题意可得，，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）首先求出命题为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，则，， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即的取值范围； （2）若命题，为真命题，则， 解得或； 若命题为假命题，则； 因为命题为假命题且命题为真命题，所以， 即的取值范围为. 1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、直线过定点问题 【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙为假命题，则其余三个命题为真命题，分析推理，即可得答案. 【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题. 若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，此时与丁矛盾，故不成立； 若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，，此时与丁矛盾，故不成立； 若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，，此时，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙， 故选：C. 2．（13-24高一上·浙江·期末）当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有 . 【答案】①②③④ 【知识点】判断元素与集合的关系、判断命题的真假、集合新定义 【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证. 【详解】①当时，由数域的定义可知， 若，则有，即，，故①是真命题; ②因为，若，则，则，， 则2019，所以，故②是真命题； ③，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现， 所以有限数域的元素个数必为奇数，所以③是真命题； ④若，则，且时,，故④是真命题； ⑤当时，，所以偶数集不是一个数域，故⑤是假命题； 故答案为：①②③④ 【点睛】关键点点睛：理解数域就是对加减乘除封闭的集合，是解题的关键，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题. 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，命题：对任意，使得；命题：存在，使得. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若为假，为真，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【解析】（1）对任意，恒成立，可得：，利用对数函数的单调性、不等式的解法即可得出的取值范围． （2）存在，使得成立，可得．根据且为假，或为真，可得，中一个是真命题，一个是假命题．进而得出结论． 【详解】解：（1）对任意，恒成立 当，由对数函数的性质可知当时，函数的最小值为0， ，解得. 因此，若为真命题时，的取值范围是. （2）存在，使得，∴. 命题为真时，， ∵且为假，或为真， ∴，中一个是真命题，一个是假命题. 当真假时，则解得； 当假真时，，即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$