专题02 集合间的基本关系（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题02 集合间的基本关系 1、理解集合之间的包含与相等的含义； 2、能识别给定集合的子集，了解空集含义 3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换 1、子集、空集与Venn图 1.1子集的定义： 一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。 1.2 Venn图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示： 要点说明： ①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法； ②规定：空集是任何集合的子集； ③任何一个集合是它本身的子集，记作AA； ④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC； ⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合． ⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 2、集合的相等 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。 要点说明： ①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可； 　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关； ③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。 ④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； ⑤集合中的关系与实数中的结论类比 实数 集合 包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或 若，且，则 若AB，且AB，则A＝B 若，，则 若AB，BC，则AC 3、真子集 真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 要点说明： 理解真子集的定义要注意一下几点： ①空集是任何非空集合的真子集； ②对于集合A，B，C，如果，，那么； ③若，则与有两种可能的关系：即或； 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作； 要点说明： 空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 对点集训一：判断集合子集（真子集）个数 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】列举集合含有两个元素的子集，可得结果. 【详解】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个， 所以集合有3中情况. 故选：C 例2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）集合的真子集个数为 ． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据，即可根据公式求解真子集的个数. 【详解】, 故真子集的个数为， 故答案为： 精练 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用子集的定义列举出符合题意的集合，求解即可. 【详解】因为，所以，， ，，共个，故B正确. 故选：B 2．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 3．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 对点集训二：求集合子集（真子集） 典型例题 例1．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集和真子集的概念进行求解. 【详解】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误. 故选：ABC 例2．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 精练 1．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【答案】，，，，，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】利用集合间的包含关系求解，按集合的元素个数由少到多进行列举． 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 3．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 对点集训三：判断集合的包含关系 典型例题 例1．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 例2．（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 精练 1．（2025高三下·全国·专题练习）若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据给定集合及元素的特征，结合元素、集合的关系判断得解. 【详解】由，得是无理数，由，得集合是不超过45的自然数形成的集合， 因此，集合不包含于集合，D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误. 故选：D 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 3．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 对点集训四：根据集合的包含关系求参数 典型例题 例1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】利用集合间的包含关系列出方程，求解检验即得. 【详解】由题意，，则有或，解得或， 显然当时，集合中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾， 而时，，，满足. 故选：B. 例2．（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答】， ， ， 由题意如图： ，解得a 故选：C． 精练 1．（2025·广西柳州·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合间的包含关系求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以实数的取值范围是， 故选:D. 2．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由得或求出值，并根据集合元素互异性检验得解. 【详解】因为，当，即时，，，符合题意； 当，即时，，，符合题意． 综上，或． 故选：D． 3．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 对点集训五：判断两个集合是否相等 典型例题 例1．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 例2．（多选）（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】列举法表示集合、判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 精练 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 3．（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 对点集训六：根据两个集合相等求参数 典型例题 例1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 例2．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 精练 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等的定义，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得. 【详解】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 3．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 【答案】12 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可. 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 对点集训七：空集 典型例题 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 例2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 精练 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应用 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 2．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用、判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相等 【分析】运用元素与集合的关系，集合与集合关系，结合空集概念解题即可 【详解】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 3．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【答案】 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据一次不等式的解集求参数即可. 【详解】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集和真子集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得或或， 则满足题意的的个数是3. 故选：B. 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】子集的概念 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】由于，,故, 故选：B 3．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 6．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，故，解得， 故选：C 7．（19-20高一上·河南郑州·期中）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论. 【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误； 对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误； 对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误； 对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确. 故选：D 8．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】问题转化为根据元素与集合的关系，求参数取值范围. 【详解】因为，所以且. 由； 由. 综上可知：. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 10．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以． 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 四、解答题 13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 15．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 1．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）由集合新定义即可求解； （2）由定义求得，进而得到关于的等式，求解并验证即可. 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合是的恰当子集； （2）（）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合间的基本关系 1、理解集合之间的包含与相等的含义； 2、能识别给定集合的子集，了解空集含义 3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换 1、子集、空集与Venn图 1.1子集的定义： 一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。 1.2 Venn图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示： 要点说明： ①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法； ②规定：空集是任何集合的子集； ③任何一个集合是它本身的子集，记作AA； ④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC； ⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合． ⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 2、集合的相等 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。 要点说明： ①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可； 　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关； ③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。 ④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； ⑤集合中的关系与实数中的结论类比 实数 集合 包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或 若，且，则 若AB，且AB，则A＝B 若，，则 若AB，BC，则AC 3、真子集 真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 要点说明： 理解真子集的定义要注意一下几点： ①空集是任何非空集合的真子集； ②对于集合A，B，C，如果，，那么； ③若，则与有两种可能的关系：即或； 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作； 要点说明： 空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 对点集训一：判断集合子集（真子集）个数 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）集合的真子集个数为 ． 精练 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 3．（24-25高一上·广东江门·期中）集合的非空子集的个数为 . 对点集训二：求集合子集（真子集） 典型例题 例1．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 精练 1．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 3．（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 对点集训三：判断集合的包含关系 典型例题 例1．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2025高三下·全国·专题练习）若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 对点集训四：根据集合的包含关系求参数 典型例题 例1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 例2．（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2025·广西柳州·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 3．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 对点集训五：判断两个集合是否相等 典型例题 例1．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（多选）（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·全国·课堂例题） ，集合A 与 B有什么关系? 对点集训六：根据两个集合相等求参数 典型例题 例1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 例2．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 精练 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 3．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 对点集训七：空集 典型例题 例1．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 例2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 精练 1．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知集合，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 7．（19-20高一上·河南郑州·期中）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 10．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 1．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 2．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 4．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$