第五章 图形的轴对称-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学教学参考（北师大版2024）

下册 第五章 教学参考 第五章 图形的轴对称 1 轴对称及其性质 D教学 目标 ................................. 【解析】根据轴对称图形的概念可知,B.C.D都是转 对称图形,只有A不是轴对称图形。 1.通过观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象 【答案】A 共同特征,进一步积累数学活动经验和发展空间观念: 【方法总结】要确定一个图形是不是轴对称图形,要 2.理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义,能饭 识别这些图形并指出它们的对称轴. 根据定义进行判断,关键是寻找对称轴,图形两部分沿 3.知道轴对称图形的性质. 对称轴折叠后可完全重合,这样的图形叫作轴对称图形 类型二 4.会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的 确定对称轴的条数及画对称轴 图形。 【例2】下列图形中,哪些是轴对称图形?如果是轴 D重点难点 ................................ 对称图形,请画出它所有的对称轴 重点:认识轴对称图形的特点,理解轴对称图形和 成轴对称的概念,掌握轴对称的性质 (1) (2 难点:能区别轴对称图形和成轴对称的概念,会找 (3) 简单的轴对称图形的对称轴,能利用轴对称的性质解决 【解析】轴对称图形中对称轴的条数仍然是根据定 问题。 义进行确定的,画对称轴时,注意不要遗漏. D教学过程 ................................ 【解】(1)(2)(3)都是轴对称图形,它们的对称轴如 图所示。 情景导入 观察下面的图片. (1) (2) (3) 探究点二 两个图形成轴对称 【例3】如图所示,哪些组的右边图形与左边图形成 轴对称? □□ (2) (1) (③) 面对生活中这些美丽的图片,你是否强烈地感受到 美就在我们身边!这是一种怎样的美呢?请谈谈你的 (4 (5) 感想. (6) 新知扫描 【解析】根据成轴对称的定义,经过折叠,看两个图 形能否完全重合,若能完全重合,则两个图形成轴对称, 探究点一 轴对称图形 【解】(4)(5)(6). 类型一 轴对称图形的识别 探究点三 轴对称的性质 【例1】在下列四所大学的校微中:内圆部分的图案 类型一 轴对称、轴对称图形的性质 不是轴对称图形的是 ( ) 【例4】下列说法中,正确的个数为 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合; ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称: , C B D ③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴; 数学 七年级BS版 ④两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的 的长. 两侧. B.2 A.1 C.3 D.4 【解析】①关于一条直线对称的两个图形一定能重 合,正确;②两个能重合的图形全等,但不一定关于某条 直线对称,错误;③一个轴对称图形不一定只有一条对 称轴,正确;④两个成轴对称的图形的对应点不一定在 【解析】根据轴对称的性质可知,EP一EM,FP 对称轴的两例,还可以在对称轴上,错误 【答案】B FN,结合△PEF的周长为30cm,利用等量代换即可求 类型二 作轴对称图形 得MN的长. 【例5】作出△ABC关于直线7的对称图形(保留作 【解】如图,连接MP,PN. 图痕迹,不写作法). 因为M是点P关于AO的对称点, 【解析】分别作出点A,B,C关于直线/的对称点,然 所以△MEP是轴对称图形,且AO是它的对称轴, 后连接各点即可. 所以EP一EM 【解】如图所示。 同理可得PF-FN 因为MN-ME+EF+FN,所以MN=EP+EF +PF. 因为△PEF的周长为30cm,所以MN-EP+EF+ PF-30 cm. 类型五 【方法总结】我们在画一个图形关于某条直线的对 轴对称在生活中的应用 称图形时,先确定一些特殊的点,然后作这些特殊点关 【例8】如图所示的是一辆汽车车牌在水中的倒影, 则该车的牌照号码是 - 于对称轴的对称点,顺次连接即可。 类型三 应用轴对称的性质求角度 【例6】如图,在Rt△ACB中,BAC-90{AD1BC A.W17639 B.W17936 垂足为D.△ADB与△ADB关于直线AD对称,点B的 C.M17639 ) 对称点为B,若 BAC-14^{*,则 B的度数为 D. M17936 7 【解析】以一条直线为对称轴上下对称,沿此直线折 叠即可得该车的牌照号码。 【答案】D A.38{ B.48* 【方法总结】已知水面中的影像求实际影像时,可以 C.50{ D.52 将水面中的影像写到纸上,将纸向上(或向下)翻转,从 【解析】因为 BAD十 BAD+BAC-90*,且 背面看到的影像即为实际影像 BAD= B'AD. BAC=14,所以 BAD=38*.再 随堂演练 根据AD1BC,△ABD的内角和是180{,即可求出 B 1.下面四个汉字中,可以看成是轴对称图形的是 的度数. C 【答案】D 爱 我 类型四 应用轴对称的性质求线段的长度 【例7】如图,点P在 AOB内,M.N分别是点P关 于AO,BO的对称点.若△PEF的周长是30cm,求MN A B 下册 第五章 教学参考 中 华 2.对称轴。 3.两个图形成轴对称 课堂巩固 C D 2.如图,若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称 本节课学习了轴对称图形的定义及性质,能找到轴 BB交MN于点O,则下列说法中,不一定正确的是 对称图形的对称轴,并且知道了两个图形成轴对称的 ( ) 概念. # D教学 反思 ................................. 这节课充分利用多媒体教学,给学生以直观指 导,主动向学生提问,促使学生思考与发现,培养学 第2题图 生独立获取知识的习惯,另外,借助多媒体教学给 学生创设宽松的学习氛围,使学生在学习中始终保 A.AC-A'C' B.AB/B'C' D.BO-B'O C.AA'IMN 持积极、愉悦、渴求知识的心理状态,有利于学生主 体性的发挥和创新能力的培养 3.下列图形各有多少条对称轴? f # 答案 随堂演练 (3) (1) (2) (4) 1.C 2.B 板书设计 3.解;(1)有6条对称轴 (2)有4条对称轴, 1 轴对称及其性质 (3)有1条对称轴, 1.轴对称图形的定义及性质 (4)有2条对称轴 2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质 D教学 过目标 ................................. 仔细观察这两张图片;它们都可以抽象出等腰三角 形,我们知道,三角形具有稳定性,那么作为其中特殊的 1.掌握等腰三角形的有关概念和性质. 2.了解等边三角形的概念,并掌握等边三角形的 一种,等腰三角形又具有哪些性质呢 性质。 新知扫描 D重点 难点 ................................. 探究点一 等腰三角形的性质 重点:理解并掌握等腰三角形的性质 类型一 利用“等腰三角形的两个底角相等”求角度 难点:运用等腰三角形的性质解决有关问题 【例1】等腰三角形的一个内角是50{,则这个三角形 D教厚过程 的底角的度数是 ................................. ) A.65或50* B.80或40* 情景导入 C.65{或80{ D.50{或80* 在生活中,我们经常能看到这样的建筑 【解析】当50的角是底角时,三角形的底角就是 50”;当50”的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内 角和定理易得底角是65*。 【答案】A 【方法总结】等腰三角形的两个底角相等,已知一个 内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情 况讨论. 数学 七年级BS版 类型二 利用方程思想求等腰三角形的角度 【例2】如图,在△ABC中,AB-AC,点D在AC上. 且 BD=BC-AD.求△ABC各角的度数 因为AB-AC,AE1BC. 所以 BAC-22,2+C-90。 因为BD1AC于点D,所以/BDC=90{. 【解析】设 A一r,利用等腰三角形的性质和三角 所以/C+/DBC-90*。 形内角和定理即可求得各角的度数, 所以DBC-2. 【解】设A一:. 所以/BAC-2/DBC 因为AD-BD. 【方法总结】解决本题的关键:(1)考虑利用等腰三 所以ABD-A-x. 角形“三线合一”的性质作辅助线;(2)在有直角的平面几 因为BD一BC. 何图形中,可用“同角的余角相等”证明角相等 所以C-BDC 探究点二 等边三角形的性质 因为 A+ ABD+ ADB=180{*。 ADB+$ 【例4】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在 BDC-180*. 边BC,AC上,且CD-AE,AD,BE相交于点P.求 所以 C- BDC-180*- ADB-180*-(18 0$- 之BPD的度数 A- ABD)= A+ ABD-2x 因为AB-AC. 所以ABC-C-2x. 在△ABC中,A+ABC+C-180*, 所以x+2x+2x-180, 解得1-36{, 【解析】由题意,易证△ABD△BCE,可得BAD 所以 A-36{,ABC-C-72 = CBE.根据 BPD-180*- BPA-180*-(180*- 【方法总结】利用等腰三角形的性质和三角形内角 ABE-BAD)= ABE+ BAD.ABE+CBE 和定理可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或 一60*,即可求得 BPD的度数, 和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般 【解】因为△ABC是等边三角形,所以 ABC一 C 设较小的角的度数为x. =6 0*,AB=AC-BC.又因为CD=AE,所以BD=CE 类型三 利用等腰三角形“三线合一”的性质探 在△ABD和△BCE中 究两角之间的关系 AB-BC, ABD= C.BD-CE. 【例3】如图,已知AB-AC,BD]AC于点D.试猜 所以ABDBCE(SAS). 想A与 DBC之间的数量关系,并说明理由. 所以 BAD-CBE, 所以BPD-180*- BPA-180*-(180*- ABE- BAD)= ABE + BAD= ABE十 CBE- ABC-60*。 随堂演练 1.下列说法错误的是 ( ) 【解析】作乙A的平分线,即作等腰三角形的高,再 A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 根据“同角的余角相等”即可判断两角的关系。 B.等腰三角形是轴对称图形 【解】A一2DBC.理由如下: C. 等腰三角形的两个底角相等 如图,过点A作AE BC于点E D.等腰三角形顶角的外角是底角的两倍 下册第五章 教学参考 2.如图,在等腰三角形ABC中 BAC-80”. ABC和 ACB的平分 活动以及实践活动中的思考与交流贯穿于教学活 线相交于点O.连接OA.求: 动的始终,使学生体会所学内容与现实世界的广泛 (1)OAC的度数; r 联系,体验轴对称的数学内涵:积累丰富的数学活 (2)BOC的度数. 动经验,发展良好的空间观念和一定的创新意识 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一” 板书设计 性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进 第1课时 等腰三角形的性质 一步巩固和提高 1.等腰三角形的相关概念 答案 2.等腰三角形的性质。 随堂演练 3.等边三角形的性质 1.A 课堂巩固 2.解:(1)因为在等腰三角形ABC中,/ABC和 本节课学习了等腰三角形的对称性、三线合一、两 /ACB的平分线相交于点O. 底角相等性质,并能根据等腰三角形的性质解决一些简 所以AO平分BAC. 单的问题,还学习了等边三角形的性质 因为 BAC-80*,所以 OAC-40。 反思 (2)因为BO.CO分别平分ABC和ACB. ........................... 所以 OBC-ABC OCB-ACB. 本节内容的学习包括大量的实践活动,学生空 所以 BOC-180*-(OBC+OCB)=180*- 间观念的培养、推理能力的发展、对图形美的感受 等都是在实践活动中发展起来的.因此,教学中应 充分利用这部分内容的特点,将观察、操作等实践 第2课时 线段垂直平分线的性质及作法 D教学目标 新知扫描 1.理解线段垂直平分线的概念. 探究点一 线段垂直平分线的性质 2.掌握线段垂直平分线的性质定理. 类型一 线段的对称性 3.掌握线段垂直平分线的作法 【例1】如图,已知AB是CD的垂直平分线,有下列 重.................. 结论:①CO=DO:②AO-BO;③AB CD;④CD 1AB. 其中正确的有 重点:线段垂直平分线的有关性质 # 难点:1.用尺规作图作线段的垂直平分线 2.利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际 问题. C 教厚 过程 ................................ # 情景导入 A.1个 B.2个 C.3个 如图,直线CD垂直平分线段AB. D D.4个 在直线CD上任取一点M,连接MA与 【解析】因为AB是CD的垂直平分线,所以AB上 MB.如果我们把线段AB沿直线CD CD.且把CD分成相等的两部分,所以CO-DO.AB 对折,线段MA与MB会重合吗? CD.CD1AB,①③①都正确,只有②错误。 C 【答案】C 数学 七年级BS版 【方法总结】AB是CD的垂直平分线,它包含两个 则BC的长为 cm. 方面的含义:(1)AB与CD垂直;(2)AB把CD分成相等 的两部分,“垂直”是相互的,而“平分”是“单向”的. 类型二 与线段垂直平分线有关的计算 【例2】如图,DE是AC的垂真平分线,若AB B C 12cm,BC-10cm,则△BCD的周长为 ) 第1题图 2.如图,某地由于居民增多,要在公路/边修建一个 公共汽车站,A.B是路边两个新建小区,这个公共汽车 站C建在什么位置能使两个小区到车站的路程一样长 请你在图中画出来(保留画图痕迹,不写画法) A.22cm B. 16cm B C.26cm D. 25cm 【解析】要求△BCD的周长,已知BC的长度,只要 求出BD十CD的长度即可,根据线段垂直平分线的性 质,得CD一AD.再根据等量代换即可求得△BCD的 板书设计 周长, 第2课时 线段垂直平分线的性质及作法 【答案】A 1.线段的对称性. 探究点二 线段垂直平分线的作图 2.线段垂直平分线的性质 【例3】如图,A,B.C三点表示三个工厂.现要建立 3.作线段的垂直平分线 一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,利用尺规 课堂巩固 求作供水站的位置(保留作图痕迹,不写作法) 本节课学习了线段垂直平分线的定义和性质,知道 A 了由线段垂直平分线的性质可以得出线段相等. D教学 反思 ................................ .2 本节的教学主要是通过学生的动手实验来获 取垂直平分线的有关知识,用纸张进行折叠使学生 【解析】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两 真正地经历了数学知识的形成过程,使课堂气氛变 得生动而活泼,在得出结论后,提供典型的练习题 个端点的距离相等作图, 【解】如图,点P即为所求 和实际应用题:让学生经历数学知识的应用过程 同时培养他们解决实际问题的能力. 答案 随堂演练 .s 1.15 2.解:如图,点C即为所求 随堂演练 1.如图,在△ABC中,AC=20cm,DE垂直平分 AB,垂足为E,交AC于点D.若△DBC的周长为35cm; 下册 第五章 教学参考 第3课时 角平分线的性质及作法 教学目标 ................................. 用的方法, 【例2】如图,在△ABC中,/C=A 1.理解角的对称性. 90°,AD是BAC的平分线,DE1AB 2.掌握角平分线的性质定理 于点E,点F在AC上,FDC= 3.能运用角平分线的性质定理解决简单的几何 BDE.试说明:AB-AF+2EB. 问题. 【解析】利用角平分线的性质可得 重点难点 ................................ △ADC和△ADE全等,从而得到AC一AE,然后通过线 重点:角的对称性及其有关性质,角平分线的性质 段之间的相互转化进行说明。 难点:1.角平分线的尺规作图. 【解】因为AD是BAC的平分线,DE AB.DC 2.角平分线性质的应用. lAC. D教学过程 所以 CAD= EAD.C= AED=BED -90. 情景导入 [C-乙AED. 在△ADC和△ADE中,CAD-EAD. 在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角 AD-AD. 的平分线上,要从点P建两条路,一条到公路,一条到铁路. 所以ADCADE(AAS).所以AC=AE.DC -DE. 又因为 FDC-BDE.C- BED. 铁路 所以△FCD△BED(ASA),所以CF=EB. 公路 所以AB-AE+BE-AC+EB-AF+CF+EB= AF十2EB. (1)怎样修建道路最短? (2)往哪条路走更近呢 【方法总结】角平分线的性质是判定线段相等的一 个重要依据,在运用时一定要注意是两条垂线段相等: 新知扫描 类型二 角平分线的性质与线段垂直平分线性 探究点一 角平分线的性质 质的综合运用 类型一 角平分线的性质 【例3】如图,在四边形ADBC 【例1】如图,在△ABC中,AD是 中,AB与CD互相垂直平分,垂足 CAB的平分线,DE AB,垂足为E 为O. 若S w-7.DE-2,AB-4,则AC的 (1)找出图中相等的线段; 长为 (2)OE,OF分别是点O到/CAD两边的垂线段,试 A.6 B.5 说明它们的大小有什么关系,并说明理由. C.4 D.3 【解析】(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线 【解析】如图,过点D作DF1AC于点F.因为AD是 段;(2)由题意,得△AOC△AOD,可得AO平分DAC. CAB的平分线,DE1AB,所以DF-DE-2.所以S 根据角平分线的性质,得OE一OF 【解】(1)因为AB,CD互相垂直平分,所以OC一 $D.AO=OB.AC=BC=AD=BD # (2)OE一OF,理由如下: [AC-AD. 在△AOC和△AOD中.OC=OD. AO=A0. 【答案】D 所以△AOC△AOD(SSS). 【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三 所以CAO- DAO,所以AO平分 CAD 角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常 又因为OEAC,OF |AD. 数学 七年级BS版 所以OE-OF. 板书设计 探究点二 角平分线的作法 【例4】用尺规作图法作出乙AOB的平分线,保留作 第3课时 角平分线的性质及作法 图痕迹,并写出作法。 1.角的对称性. 2.角平分线的性质 3.尺规作角平分线 课堂巩固 【解析】利用角平分线的作法作图. 通过本节课的学习,知道了角是轴对称图形,对称 【解】如图. 轴是角平分线所在的直线,角平分线上的点到角两边的 距离相等,并会用尺规作角的平分线 教学 反思.... 作法:(1)以点0为围心,任意长为半径画强,交QA 教学始终围绕着问题而展开,先从提出间题开 于点D,交OB于点C; 始,鼓励学生思考,探索问题中所包含的数学知识,而 后设计了学生活动,从而激发了学生学习数学的自信 (2)分别以点C,D为圆心、大于CD的长为半径画 和兴趣,使教学目标顺利完成,整堂课都以学生操作。 张,两交于点E 探究、合作为主,在教学过程中给学生留下足够的思考 (3)作射线OE,则射线OE即为 AOB的平分线 时间和空间,由学生自已去发现结论,学生在经历“将 随堂演练 现实问题转化成数学问题”的过程中,对角平分线的性 1.如图所示,P是之BAC的平分 质有了更深刻的认识,同时也提高了思维水平,增强了 线AD上一点,PE)AC于点E.已知 应用数学知识解决实际问题的意识 PE-3,则点P到AB的距离是 答案 ( B 随堂演练 A.3 B.4 第1题图 C.5 D.6 1.A 2.如图所示,D为乙ACB的平分线上的一点,DE 2.解:因为CD为ACB的平分线,DE1AC,DF AC.DF 1CB,垂足分别为E.F.若DF-4.CE-2,求 CB. △DEC的面积. 所以DE-DF. 因为DF-4.CE-2. 所以DE-4. 所以S:二 ☆问题解决策略:转化 D教学目标 ................................ 难点:灵活选择合适的转化策略解决具体问题,理 解转化过程中不变量与变量之间的关系,以及转化后间 1.能识别数学问题中的可转化元素,掌握基本的转 题的等价性. 化技巧,如图形转换、方程变形等 >教学过程 2.通过实践操作,提高学生运用转化策略解决问题 ................................ 的能力. 情景导入 D重点难点 ................................ 古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦,他精通 重点:转化策略的核心思想及其适用场景 数学、物理,聪慧过人,有一天,一位将军向他请教一个 下册第五章 教学参考 问题:如图,将军从A地骑马出发,要到河边让马饮水 然后再回到B地的马棚,为使马走的路程最短,应该让 马在什么地方饮水? .B . 甲 乙 2.如图,游船从湖岸/的码头D将游客送往亭子M 河 停留观赏,然后将游客送往湖岸的码头C,最后再回到 你知道大数学家海伦用了什么方法解决这个问 码头D.请在图中画出游船的最短路径,并确定两个码头 题吗? 的位置. 新知扫描 湖岸 探究点 问题解决策略:转化 . 【例】按要求作图(不写作法,用尺规作图,保留作图 痕迹). -湖岸1 (1)如图①,A是锐角 MON内部任意一点;在 板书设计 MON的两边OM,ON上各取一点B,C,与点A组成 ☆问题解决策略:转化 三角形,使三角形周长最小; 转化策略的要点:目标问题→转化步骤→新问题 (2)如图②,AB是锐角 MON内部一条线段,在 课堂巩固 MON的两边OM.ON上各取一点C,D组成四边形. 使四边形周长最小. 本节课学习了通过转化策略解决问题,识别问题本 质、选择合适转化方法、确保转化前后问题的等价性是 转化策略的要点. 教学 反思 ................................. 图① 图② 【解析】(1)作出点A关于OM的对称点A'、关于 学生通过动手操作和小组讨论,对转化策略的 应用有了深刻的理解,让学生反思今天的学习过 ON的对称点A”,连接A'A”,根据两点之间线段最短即 程,思考转化策略所带来的思维启发,既巩固了学 可得到三角形的最小周长;(2)作点A关于OM的对称 生对转化策略的理解,又培养了学生的创新思维和 点E,再作点B关于ON的对称点F,连接EF交OM干 问题解决能力,激发了他们继续探索和应用新策略 点C,交ON于点D,连接AC.CD.BD.根据两点之间线 的动力. 段最短即可得到四边形的最小周长。 【解】(1)如图①,△ABC即为所求。 答案 随堂演练 (2)如图②,四边形ABDC即为所求。 ## 1- 2.解;如图,作亭子M关于湖岸/.的对称点M,作 亭子M关于湖岸1:的对称点M”,连接MM”,交湖岸 DM 1../:于码头D.C.D-M-C-D即为游船的最短路径. R 图① 图② 湖& M 随堂演练 D 1.如图甲、乙所示的是两个边长相等的正方形,甲 -湖 图以边为半径在正方形内画圆张,连接对角线;乙图以 r 各边为直径在正方形内画半圆,阴影部分的面积分别记 为S.S,那么S S.(填“”“<”或“-”).