第四章 4 利用三角形全等测距离+问题解决策略：特殊化-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

4 利用三角形全等测距离 要点提示 利用三角形全等知识测量距离的基本原理：利用三角形全等的条件“SSS”“ASA”“AAS“SAS”来设计方案，创造 条件，测出距离。 O1固基础 A.△代表BC=CD B.☐代表AC 知识点利用三角形全等测距离 C.☆代表DM 1.如图，要测量河中礁石A离岸边点B的距 D.该方案的依据是SAS 离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取 4.某数学兴趣小组的同学用 一条线段BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA' 数学知识测一池塘的长 =∠BCA,可得△A'BC≌△ABC,所以A'B 度，他们所绘如右图，点 =AB,所以A'B的长就是礁石A离岸边点 B,F,C,E在直线L上（点F,C之间不能直 B的距离.判定两个三角形全等的理由是 接测量，FC为池塘的长度)，点A,D在I的 异侧，且AB∥DE,∠A=∠D,测得AB A.SSS B.AAS C.SAS D.ASA =DE. D (1)试说明：△ABC≌△DEF; 第1题图 第？题围 2.(教材变式)数学课上老师布置了“测量锥形 瓶内部底面的内径”这一探究任务，某小组想 到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 AD,BC的中点O周定，只要测得C,D两端 (2)若BE=100m,BF=30m,求池塘的长 点之间的距离，就可知道内径AB的长度.此 度FC. 方案依据的数学定理或基本事实是( A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.两点之间线段最短 3.如图所示的是嘉淇测量水池AB宽度的方 案，下列说法不正确的是 ( ①先确定直线AB,过，点B作BF ⊥AB于点B: ②在BF上取C,D两点，使得△： ③过点D作DE⊥BF于点D: ④作射线☐，交DE于点M: ⑤测量☆的长度，即AB的长 第3题图 下册第四章 57 02提能力 第三步：测量 的长度，即为点A 到地面的高度AO. 5.如图，A,B,C,D是四个村庄，村 请你先补全方案，再说明理由。 庄B,D,C在一条东西走向的公 路的沿线上，BD=1km,DC= 1km,村庄A和C,A和D之间BDC 也有公路相连，且公路AD是南第5题图 北走向，AC=3km,只有村庄A和B之间 由于间隔了一个小湖，无直接相连的公路. 现决定在湖面上造一座桥，测得AE= 1.2km,BF=0.7km,则建造的桥长至少是 ( O3拓思维 A.1.2 km B.1.1km C.1 km D.0.7 km 8.小明家所在的小区有一个池 6.应用意识图①中的小朋友在荡秋千，图②是 塘，如右图，A,B两点分别位 其侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 于该池塘的两侧，池塘西边 上，转轴B到地面的距离BD=2.5m,乐乐在 有一座假山D,在BD的中点C处有一个雕 荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时， 塑.小明从点A出发，沿直线AC一直向前， 测得点A到BD的距离AC=1.5m,点A 经过点C走到点E,使CE=CA,然后他测 到地面的距离AE=1.5m.当他从A处摆 量了点E到假山D的距离，则ED的长度等 动到A'处时，若A'B⊥AB,则A'处到BD 于A,B两点间的距离 的距离是 (1)你能说明小明这样做的依据吗？ (2)如果小明未带测量工具，但是知道点A 和假山、雕塑分别相距200m,120m.你能帮 助他确定AB的长度范围吗？ 地面 图① 图2 第6题困 7.如右图，小明想知道一堵 墙上点A到地面的高度 AO(AO⊥OD),但又没有 直接测量的工具，于是设 计了下面的方案。 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直 杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆 与地面的夹角∠ABO: 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 ∠OCD=∠ABO,标记此时直杆的底端 点D: 数学七年级BS版 ☆问题解决策略：特殊化 要点提示 特殊化策賂：面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，俗助特殊情形下莪得的结论或方法解决一般性的问 题这就是特殊化策略. O1固基础 02提能力 知识点问题解决策略：特殊化 2.一张直角三角形纸片ABC,∠BAC=90°，其 1.如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B= 中∠ACB=∠B=45°，D,E分别是BC,AC ∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，连 边上一点.将△CDE沿DE折叠，点C的对 接AE,AF,ER,∠EAF=号∠BAD,试探究 应点为点C' 图中线段BE,EF,FD之间的数量关系 图① 图② 里3 (1)如图①，若CD∥AB,则∠1的度数为 ,∠2的度数为 图D 图2 (2)如图②，若点C落在直角三角形纸片 (1)小王同学探究此问题的方法是延长EB到 ABC内，请探究∠1与∠2的数量关系，并 点G,使BG=DF,连接AG,先说明△ABG≌ 说明理由； △ADF,再说明△AEG≌△AEF即可得出结 (3)如图③，若点C落在直角三角形纸片 论，他的结论应是 ABC外，(2)中∠1与∠2的数量关系还成 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD, 立吗？若成立，请说明理由：若不成立，求出 ∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 ∠1与∠2的数量关系. 的点，且∠EAF=∠BAD.请判断I中结 论是否仍然成立，并说明理由。 下册第四 59(AB-AE, 在△AOB和△DOC中. BAC- EAD. AOB= DOC=90$$$ AC=AD. ABO= DCO. 所以ABCAED(SAS). AB-DC. 7.解:(1)A AC △ABC (2)③ 所以△AOB△DOC(AAS). 8.D 9.1或1.5 10.①②④ 所以OA-OD. 11.解:(1)BC与EF的长度相等,理由如下; 所以OD的长度就是点A到地面的高度AO 因为BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,BD 8.解:(1)因为C是BD的中点, -AD+AB. 所以BC-DC. 所以BD-AD+DE,所以AB-DE. 在△ACB和△ECD中. 又因为 BAC= $EDF=90*,AC-DF$$ CA-CE, 所以△ABC△DEF(SAS). ACB-乙ECD, 所以BC-EF. BC-DC. ($2)因为 $BCD-90{}所以 B+ BDC-90{$ 所以△ACB△ECD(SAS). 因为△ABC △DEF,所以/B-DEF. 所以AB-ED. 所以 DEF+/BDC-90*} 故小明这样做的依据是用“SAS”说明AACB% 因为 DEF+F-90*, △ECD,从而得出AB-ED 所以BDC-F. (2)如图,连接AD. 所以CD/EF. 12.解:因为AOB-COD 所以 AOB十BOC=COD+BOC, 即/AOC-BOD. 在△AOC和△BOD中. OA-OB. 由题意,得AD-200m,AC-120m. 乙AOC-乙BOD, 所以AE=2AC=240m,所以AE-AD<DE<AE OC-OD. AD. 所以△AOC△BOD(SAS). 所以40m<DE440m. 所以AC-BD,CAO- DBO. 即40mAB440m. 如图,设BO,AC相交于点F. ☆问题解决策略:特殊化 因为 AFO=BFP,CAO+ 1.解:(1)EF-BE+DF AOB+ AFO-180*, DBO+ (2)(1)中的结论EF一BE+DF仍然成立, BFP+ APB-180*$ 理由:如图,延长EB到点G,使BG 所以APB-乙AOB-。. -DF:连接AG. 4 利用三角形全等测距离 因为 ABC+ D-180*,ABC+ 1.D 2.A 3.D 乙ABG-180{. 4.解:(1因为AB/DE 所以 ABG-/D. 所以ABC-DEF. 又因为AB-AD,BG-DF, 在△ABC和△DEF中. 所以△ABG△ADF(SAS). (ABC=DEF. 所以 BAG- DAF,AG-AF. {AB-DE. A-乙D. 所以△ABC△DEF(ASA). 所以BAE+DAF= (2)因为△ABC△DEF, 所以BC-EF. +乙BAG. 所以BF+FC-EC+FC. 所以乙EAG-EAF 所以BF-EC. 又因为AE-AE,AG-AF, 因为BE-100m,BF-30m. 所以△AEG△AEF(SAS). 所以FC-BE-BF-EC-BE-2BF-100-2X30- 所以EG-EF. 40(m). 因为EG-BG+BE-DF+BE. 故池塘的长度FC是40m. 所以EF-BE+DF. 5.B 6.1m 2.解:(1)45*135” 7.解:OD理由如下: (2)1+2-90{,理由如下; 因为AO1OD,所以 AOB-90* 由折叠的性质可得CED-CED,CDE= 下册参考答案 C'DE,C-/C-45 12.解:(1)如图,作CE1AB于点E,DF1AB于点F. 由题意知,1+CED+CED+2+CDE+ 线段CE,DF即为所求. CDE=360”. 因为 CED+CED+CDE+CDE+C+ 乙C-360*, 所以 CED+CED+CDE+CDE-270 所以乙1+2-90。 (2)相等,理由如下: (3)不成立. 由题意可知,AC-BD.AC/BD. 由折叠的性质可得CED-CED,CDE 所以A-乙B. CDE,C-C-45. 因为CE1AB于点E,DF1AB于点F, 由题意知,1+CED+CED+CDE+ 所以 AEC- BFD-90*. CDE-2-360 所以△AEC△BFD(AAS). 因为 CED+CED+CDE+CDE+C+ 所以CE-DF. C-360*. 13.解:(1)三角形具有稳定性 所以 CED+CED+CDE+CDE=270* (2)垂线段最短 所以1-2-90。 (3)这样做合适. 本章小结 理由:因为AB/CD. 1.B 2.C 3.B 4.A 所以B-C. ②13 5.解:(1)①1 在△AEB与△DEC中. (2)因为乙A-90*. AB-DC. 所以s=- B-乙C. BE-CE, 6.B 7.2 所以△AEB△DEC(SAS). 8.解:(1)4 所以AE-DE. (2)△BDE的周长为BD十DE+BE,四边形AEDC 第五章 的周长为AE+DE+DC+AC. 图形的轴对称 ①当△BDE的周长比四边形AEDC的周长大2cm 轴对称及其性质 时,因为BD-CD. 1.B 2.C 3.C 所以(DE+BE)-(DE+AE十AC)-2cm. 即BE-(AE+AC)-2cm. 4.解:如图所示. 因为AB-10cm,AC-6cm 王 所以BE=AE+8cm,BE+AE-10 cm 所以AE-1cm. 5.B 6.B ②当四边形AEDC的周长比BDE的周长大2cm时. 7.解:补全表情图如图①②所示 AE+AC-BE-2cm. 因为AB-10cm,AC-6cm. 所以 BF-AF+4cm,BE+AF-10cm 所以AE-3cm. 综上所述,线段AE的长为1cm或3cm 9.D10.108{ 图① 11.解:(1)①③ 图② (2)选①时, 8.D 9.B 10.B 11.是 12.118* 在△ABC和△ADC中. 13.解:(1)因为四边形ABCD是长方形, [AD-AB, 所以 A- D- C-90{*,AB-CD-B$C. AC=AC. 因为 ABE+ EBF-90*$ EBF+ C'BF-90$ DC-BC. 所以 ABE- CBF. 所以△ABC△ADC(SSS): (乙A-/C, 选③时: 在△BAE和△BCF中,AB-CB, 在△ABC和△ADC中. ABE-CBF: [AD-AB. 所以△BAE△BC'F(ASA). DAC-BAC. (2)由折叠的性质可知,Snsnc,-Sasrcr. AC-AC. 由(1)知,S-Sc. 所以△ABC2△ADC(SAS). 所以Sr+S.rr-Sc+Smr. 数学 七年级BS版