第四章 3 探索三角形全等的条件-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

探索三角形全等的条件 第1课时 边边边 要点提示 1.三边分别相等的两个三角形全等,简写为“凌建边”或“SSS”. 2.尺规作三角形:SSS 3.三角形的稳定性:只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,三角形的这个性 质叫作三角形的稳定性。 /固基础 知识点2 ..... ........ 以“边边边”作三角形 知识点1 利用“SSS”判断两个三角形全等 5.如图,用尺规作图作已知角的平分线,原理 是构造两个三角形全等,它所用到的判别方 1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是 法是 ) ### 第5题图 6.用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三 角形的示意图如图所示,则说明△OCD 6C △OCD的依据是 第1题图 第2题图 2.如图,AB-DC,若要用“SSS”说明△ABC △DCB,需要补充一个条件,这个条件是 第6题图 知识点③三角形的稳定性 3.(2024南昌三模)如下图,C是BD的中点,AB 7.如图,为防止变形,木工师傅做好门框后,常 -ED,AC-EC.试说明:△ABC△EDC. 常像图中所示那样钉上两根斜拉的木条(图 中的AB,CD两根木条).这样做的数学原理 D 一。 。 A.两点确定一条直线 B.两点之间,线段最短 4.如下图,已知线段AB,CD相交于点O,AD. C.两直线平行,同位角相等 CB的延长线交于点E,OA一OC,EA一EC. D.三角形的稳定性 第7题图 试说明:A一C 8.(1)下列图形中具有稳定性的是 (填序号); (2)对不具有稳定性的图形,请适当地添加 线段,使之具有稳定性 ## ②③ ④ ③ ① 下册 第四章 提能力) 02 03 ......... ........ ......... 拓思维) 9. 下列事例应用了三角形稳定性的有( 14.推理能力如图,AD=CB,E,F是AC上的 ①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根 两个动点,且DE一BF 木条; (1)若点E,F运动至图①所示的位置,且 ②新植的树木,常用一些粗木与之成角度支 AF=CE.试说明:△ADE△CBF; 撑起来防止倒斜: (2)若点E,F运动至图②所示的位置,仍 ③四边形模具. 有AF-CE,则△ADE △CBF还成立 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 吗?请说明理由; 10.(2024咸阳期末)如图,在△ABC中,点D (3)若点E,F不重合,且AF=CE,则AD 在AC上,点E在BC上,连接BD,DE.若 和CB平行吗?请说明理由 $AB$=EB,AD=$ED,$A-80*, $BD$C$$ #_# 110{,则C的度数为 ) A.300 B.40* C.45* D.50* 图① 图② 第10题图 第11题图 11.如图,B,C,E三点在同一条直线上,且AB -AD,AC=AE,BC-DE,连接BD.若 +2+ /3-94^{*,则 3- ( ) A.49* B.47* C.45* D.43{ 12.已知△ABC的三边长分别为3,5,7, △DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1. 要使这两个三角形全等,工的值为 13.(2024福州期中)如下图,CA=CD.AB= DE,BC-EC.试说明:1=2 数学 七年级BS版 第2课时 角边角、角角边 要点提示 1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA” 2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”. 3.尺规作三角形:“ASA”或“AAS”. /固基础 . ..... 知识点1利用“ASA”或“AAS”判定两个三 角形全等 1.能确定△ABC△DEF的条件是 A.AB-DE,BC-EF. A- /E B.AB-DE,BC-EF,/C- /E C. A- E,AB-EF,B- D 知识点②尺规作三角形(“ASA”或“AAS”) D. A- D,AB-DE, B- E 6.如下是作一个三角形与已知三角形全等的 2.根据图中所给的条件,能够判定三角形全等 方法: 的是 C ) 已知:八ABC,求作DEF,使得八DEF 682 △ABC. 2 第2题图 A.①和② B.②和④ C.①和③ D.③和④ (1)根据作图痕迹补全作法; 3.(教材变式)如图,黄芳不小心把一块三角形 ①作MDN一 ;②在射线 的玻璃打碎,现要带其中一块碎片去配一块 上截取 -AB; ③以 为顶点,以 与原来完全一样的玻璃,正确的办法是带第 为一 块碎片去配,依据的定理是 边,作DEF-__,_ (用字母表示). 交射线DN于点F,则△DEF即为所求作 # 的三角形. (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的 方法的依据是 第3题图 第4题图 易错点 易混淆证全等的方法 4.如图,在△ABC中,已知1=2,BE 7.如图,点B,E,C.F共线.AB CD,AB-5,AE-2,则CE /DE,A一D,添加一个 5.如右图,在△ABC中,点D 条件,不能判断△ABC 第7题图 在边BC上,CD-AB,DE △DEF的是 C ) /AB,DCE-A.试说 A.AB-DE B./ACB- F 明:DE-BC. C.BE-CF D.AC-DF 下册 第四章 提能力 2 ......... (2)若AF-3CE-3,求BC的长 8.如图,ABC的高AD.BE相交于点E.若BF -AC,BC-7,DC-2,则AF的长为 __ A.2 C.4 B.3 D.5 #### ......... 03拓思维 第8题图 第9题图 13.模型观念(1)如图①,在四边形ABCD中. 9.如图,在△ABC中,B=C,AD是 AB/CD,E是BC的中点,若AE是 八ABC的角平分线,过点D分别作DE1 BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之 AB.DF AC,垂足分别是E,F,则下列结 间的等量关系. . 论错误的是 ) 解决此问题可以用如下方法:延长AE交 A.ADC-90 B. DE-DF DC的延长线于点F,易说明△AEB C.AD-BC D. BD-CD △FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD. 10.如图,点A,F,C,D在同一条直线上,AF DC转化在一个三角形中 DC,1=2,请你再添加一个条件使 AB,AD,DC之间的等量关系是 △ABC△DEF, 你添加的条件是 (2)如图②,在四边形ABCD中,AB/CD. AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中 点,若AE是/BAF的平分线,试探究AB, AF,CF之间的等量关系,并说明你的结论 C D 第10题图 第11题图 11.如图,在△ABC中,AB三AC ABC二 ACB,ABC 和 图① ACB的平分线BD,CE相交于 阁② 点O,且BD交AC于点D,CE交AB于点 E. 某同学分析图形后得出以下结论; ①△BCD△CBE:②△BAD △BCD ③AE=AD;④△BOE △COD;AE BE.其中一定正确的是 (填序号). 12.(2024九江期末)如下图,在△ABC中,D 为AB的中点,E为边BC上一点,过点A 作AF//BC,交ED的延长线于点F (1)请说明:△AFD2△BED 数学 七年级BS版 第3课时 边角边 要点提示 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS” 2.尺规作三角形:“SAS” 固基础 1 ........ 6.(2024云南)如下图,在△ABC和△AED 中,AB=AE.$ BAE=/CAD,AC=AD 知识点1用“SAS”判定两个三角形全等 请说明:△ABC2△AED 1.在△ABC和△DEF中,下列给出的条件,能 用“SAS”判定这两个三角形全等的是( ) A.AB-DE,BC=DF. A= D B$AB=EF,AC-DF, A= D C. AB-BC,DE-EF,B- /E D. BC-EF,AC-DF,/C= /F 2.如图,BC=EC,AB=DE,要使△ABC 知识点2 ) ( △DEC,则可以添加条件 尺规作三角形:“SAS” A. BCE= ACD B. A=D 7.已知:△ABC. C.B-E D.以上都不对 求作:△A'B'C',使得△A'B'C'△ABC. 作法:如下图: . D 第2题图 第3题图 3.如图,AC=CB./CAE= BCD,AE=CD (1)作 DAE- A; 若AE-7,BD-2,则DE的长是 ) A.7 C.3 B.5 D.2. (2)在射线AD上截取AB'一AB,在射线 4.如图,在AB:AC上各取一点E,D,使AE A'E上截取AC'-AC; (3)连接线段B'C',则△A'B'C'即为所求 AD.连接BD.CE相交于点O.再连接AO.BC 若 1三/2,则图中全等三角形共有 作的三角形。 ) C.7对 A.5对 B.6对 D.8对 请你根据以上材料解决下列问题: (1)根据作图痕迹补全作法 由作图可知,在△A'B'C'和△ABC A'B'-AB, 中, BAC'- 第4题图 第5题图 AC'二 5.模型观念 如图,把两根钢条AB,AB的中 所以△ABC 点连在一起,可以做成一个测量工件内糟宽 (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的 的工具(卡错).若测得BA一5cm,则工件内 方法的依据是 (填序号). 糟宽AB'为 ①AAS ②ASA ③SAS em. ④SSS 下册 第四章 提能力 2 ......... (2)若 /BCD=90{*,试说明:CD/EF 8.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB AC.增加下列一个条件后,仍不能判定 . △ABE△ACD的是 _ A. /AEB-/ADC B. /B-/C C.AE-AD D. BE-CD ####_ 第8题图 第9题图 3 拓思维 ......... 9.如图,AB=8cm.A= B=6 0*,AC=B$D$ ......... -6cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度 12.如下图,在AAOB和△COD中,OA=OB. 由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD OC=OD. AOB= COD=:连接AC 上以xcm/s的速度由点B向点D运动,它 BD交于点P.求AC与BD之间的数量关 们运动的时间为7(单位;s).当△ACP与 系以及/APB的度数 △BPQ全等时,x的值是 10.如图,AD是△ABC的中线 ADB与ADC的平分线 分别交AB,AC于点E,F. M是AD上的一点,且DMB -DB,则下列结论:①SAp 第10题图 -S co;② EDF=90”;③MF=BE;$$ ④BE+CFEF, 其中正确的是 (填序号). 11.(2024吉安月考)如右图: ## 某游乐园有两个滑梯BC 与EF,滑梯BC的高AC 与滑梯EF水平方向DF 的长度相等,且BD的长度等于长方形 ADEG周长的一半. (1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等? 请说明理由; 数学 七年级BS版2 全等三角形 [AD-CB, 1.D 2.B 在△ADE和△CBF中.DE-BF, AF-CF. 3.解:该组全等三角形的对应边为AB与AC,AE与 AD,BE与CD,剩余的对应角为 BAE与CAD. 所以△ADE△CBF(SSS). 4.B 5.3 6.D 7.A (3)AD/CB.理由如下: 8.解:因为 B-85*,C-30*, 由(1)(2)知△ADE△CBF. 所以 BAC-180*-$B-C-65^$ 所以 A=/C.所以AD//CB. 因为△ABC△ADE. 第2课时 角边角、角角边 所以 BAC- DAE-65*。 1.D 2.D 3.③ ASA 4.3 因为/DAC-15*. 5.解:因为DE/AB,所以 EDC-B 所以 EAC- DAE- DAC-65^*-15*-$ 0$ [EDC-乙B, 3 探索三角形全等的条件 在△CDE与△ABC中,CD-AB. DCE-/A. 第1课时 边边边 1.C 2.AC-DB 所以ACDFABC(ASA),所以IDE=BC 6.解:(1)①A ②DM DE ③E ED B EF 3.解:因为C是BD的中点,所以BC一DC. (2)ASA [AB-ED. 7.B 8.B 9.C 10. A- D(答案不唯一) 在△ABC和△EDC中,AC-EC. BC-DC. 11.①③④ 12.解:(1)因为AF/BC. 所以△ABC△EDC(SSS). 所以 DAF- B. F- BED 4.解:如图,连接OE OA-OC. 因为D为AB的中点, 所以AD-BD. 在△EAO和△ECO中.EA-EC. OE-OE. 所以△AFD△BED(AAS). (2)因为△AFD2△BED. 所以△EAO△ECO(SSS). 所以AF-BE. 所以乙A-C. 5. sSs 6. sss 7. D 因为AF-3CE-3. 所以CE-1. 8.解:(1)①④ 所以BC-CE+BE-1+3-4 (2)(答案不唯一)如图所示. 13.解:(1)AD-AB+DC > (2)AB-CF+AF. ② 如图,延长AE交DF的延长线于点G ③ 因为E是BC的中点; 9.C 10.B 11.B 12.3 所以CE-BE. 13.解:在△ABC和△DEC中. CA-CD. 因为AB/DC,所以 BAE- G 又因为 AEB- GEC.BE-CE AB-DE. BC-EC, 所以△AEB△GEC(AAS),所以 AB-GC. 所以△ABC△DEC(SSS). 所以ACB-DCE. 因为AE是 BAF的平分线,所以 BAG- FAG. 因为 BAG- G,所以 FAG- G 所以 1+ECA-2+ECA 过点F作AG的垂线,垂足为H, 所以1-乙2. 14.解:(1)因为AF一CE. 则 FHA- FHG-90。 所以AF+EF-CE+EF 又因为 FAG- G,FH=FH. 即AE-CF. 所以△FHA2△FHG(AAS),所以AF-GF (AD-CB. 因为CG-CF+GF,所以AB-CF+AF 在△ADE和△CBF中,DE-BF, 第3课时 边角边 AE-CF, 1.D 2.C 3.B 4.A 5.5 所以△ADE△CBF(SSS) 6.解:因为/BAE-CAD. (2)成立,理由如下: 所以 BAE+CAE=CAD+CAE,即 BAC 因为AF-CE. -EAD. 所以AF-EF-CE-EF,即AE-CF 在△ABC与△AED中. 数学 七年级BS版 (AB-AE, 在△AOB和△DOC中. BAC- EAD. AOB= DOC=90$$$ AC=AD. ABO= DCO. 所以ABCAED(SAS). AB-DC. 7.解:(1)A AC △ABC (2)③ 所以△AOB△DOC(AAS). 8.D 9.1或1.5 10.①②④ 所以OA-OD. 11.解:(1)BC与EF的长度相等,理由如下; 所以OD的长度就是点A到地面的高度AO 因为BD的长度等于长方形ADEG周长的一半,BD 8.解:(1)因为C是BD的中点, -AD+AB. 所以BC-DC. 所以BD-AD+DE,所以AB-DE. 在△ACB和△ECD中. 又因为 BAC= $EDF=90*,AC-DF$$ CA-CE, 所以△ABC△DEF(SAS). ACB-乙ECD, 所以BC-EF. BC-DC. ($2)因为 $BCD-90{}所以 B+ BDC-90{$ 所以△ACB△ECD(SAS). 因为△ABC △DEF,所以/B-DEF. 所以AB-ED. 所以 DEF+/BDC-90*} 故小明这样做的依据是用“SAS”说明AACB% 因为 DEF+F-90*, △ECD,从而得出AB-ED 所以BDC-F. (2)如图,连接AD. 所以CD/EF. 12.解:因为AOB-COD 所以 AOB十BOC=COD+BOC, 即/AOC-BOD. 在△AOC和△BOD中. OA-OB. 由题意,得AD-200m,AC-120m. 乙AOC-乙BOD, 所以AE=2AC=240m,所以AE-AD<DE<AE OC-OD. AD. 所以△AOC△BOD(SAS). 所以40m<DE440m. 所以AC-BD,CAO- DBO. 即40mAB440m. 如图,设BO,AC相交于点F. ☆问题解决策略:特殊化 因为 AFO=BFP,CAO+ 1.解:(1)EF-BE+DF AOB+ AFO-180*, DBO+ (2)(1)中的结论EF一BE+DF仍然成立, BFP+ APB-180*$ 理由:如图,延长EB到点G,使BG 所以APB-乙AOB-。. -DF:连接AG. 4 利用三角形全等测距离 因为 ABC+ D-180*,ABC+ 1.D 2.A 3.D 乙ABG-180{. 4.解:(1因为AB/DE 所以 ABG-/D. 所以ABC-DEF. 又因为AB-AD,BG-DF, 在△ABC和△DEF中. 所以△ABG△ADF(SAS). (ABC=DEF. 所以 BAG- DAF,AG-AF. {AB-DE. A-乙D. 所以△ABC△DEF(ASA). 所以BAE+DAF= (2)因为△ABC△DEF, 所以BC-EF. +乙BAG. 所以BF+FC-EC+FC. 所以乙EAG-EAF 所以BF-EC. 又因为AE-AE,AG-AF, 因为BE-100m,BF-30m. 所以△AEG△AEF(SAS). 所以FC-BE-BF-EC-BE-2BF-100-2X30- 所以EG-EF. 40(m). 因为EG-BG+BE-DF+BE. 故池塘的长度FC是40m. 所以EF-BE+DF. 5.B 6.1m 2.解:(1)45*135” 7.解:OD理由如下: (2)1+2-90{,理由如下; 因为AO1OD,所以 AOB-90* 由折叠的性质可得CED-CED,CDE= 下册参考答案