第四章 1-2 认识三角形 全等三角形-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和定理 要点提示 1,三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形 2.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和是180°， 3,按三角形内角的大小分类： (1)锐角三角形：三个内角都是锐角(2)直角三角形：有一个内角是直角：(3)纯角三角形：有一个内角是纯角. 4.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 O1固基础念 A.50° B.60° C.70° D.80° 4.如图，在△ABC中，点D在 知识点1三角形的有关概念 BC上，∠B=40°，∠C=60° 1.下列各项都是由三条线段组成的图形，其中 若∠CAD=60°，则∠BAD的Bb 是三角形的是 度数为 第4题图 5.如下图，在△ACB中，∠ACB=90°，点D在 AB的延长线上，连接CD.若∠BCD十∠A =∠D,求∠D的度数 2.如图，根据图形填空. (1)以BD为边的三角形是 (2)△AED的三个内角是 ,其中∠ADE的对边是 (3)以∠C为一个内角的三角形是 知识点3判断三角形的形状 6.(教材变式)下面给出的四个三角形都有一 (4)图中共有 个三角形 部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是 D E( 第2题图 第3题图 知识点2三角形内角和定理 7.在下列条件中，能确定△ABC是直角三角 3.(2024长沙)如图，在△ABC中，∠BAC= 形的条件是 ( 60°，∠B=50°，AD∥BC,则∠1的度数为 A.∠A=∠B=2∠CB.∠C=∠B=30 C.∠A十∠B=∠C D.∠A-∠B=90° 下册第四膏 知识点4直角三角形中两锐角的关系 13.下图是A,B,C三个便民超市和小亮家（点 8.直角三角形的一个锐角是30°，则另一个锐 D)的平面图.已知A,B,C三点在同一条东 角是 ( ) 西方向的路段上，点D在点A的北偏东 A40° B.50° C.60 D.70 50°方向，在点C的北偏西20°方向，且点B 9.(教材变式)如图，已知 到A,D两点的距离相等.试求出从小亮家 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD (点D)观测便民超市B,C两处的视角 ⊥BC于点D,则图中互余的角B D ∠BDC的度数. 共有 对 第9题图 ， 02提能力 10.若三角形三个内角度数之比为1：3：4，则 这个三角形一定是 ( 人.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 11.已知直线a∥b,将Rt△ABC 按如图所示的方式放置.若 D O3拓思维) ∠1=28°，∠2=80°，则∠B 的度数为 () 14.几何直观如图①，线段AB,CD相交于点 A.62 B.52 第11题图 O,连接AD,CB,我们把图①称为“8字 C.38 D.28 形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐 12.如右图，CE平分∠ACD,F 藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪 为CA延长线上一点，且FG 明才智，解决以下问题： ∥CE交AB于点G,B C D ∠ACD=100°，∠AGF=20°.求∠B的 度数. 图 图② (1)如图①，请直接写出∠A,∠B,∠C, ∠D之间的数量关系： (2)如图②，请利用(1)中结论，求∠A十 ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数： 6 数学七年级BS版 第2课时三角形的三边关系 要点提示 1,(1)等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等鞭三角形，相等的两边叫作睡，另外一边叫作表，两腰的央角为 项角，另外两角为表角：(2)等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。 2.(1)三角形任意两边之和大于第三边；(2)三角形任意两边之差小于第三边， O1固基础 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 知识点1三角形按边分类 6.(教材变式)木工师傅想做一个三角形的框 1.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的 架，他有两根长度分别为30cm和32cm的 是 ( 木条，需要将其中一根木条分为两段与另一 三边 等边 俘楼三都不相 根组成一个三角形.如果不考虑损耗和接头 三角形 三边 角形 等的三 都不相 角形 等腰 的三 部分，那么木工师傅应选择分为两段的木条 等边 三角制 角 形 是 () A B A.长度为30cm的木条 B.长度为32cm的木条 三边 等边 三角形 三角形 等 C.两根都可以 D.两根都不行 C D 7.小明现有两根长度分别为4cm,9cm的木 知识点2三角形三边关系 棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形木 2.(2024萍乡安源区二模)下列长度的四根木 框.现从长度为5cm,7cm,9cm,11cm, 棒中，能与长度分别为2cm和5cm的木棒 13cm,17cm的木棒中选择第三根（木棒不 构成三角形的是 ( 能折断)，则小明有 种选择方案. A.3 cm B.4 cm C.7em D.8 cm 8.已知a,b,c是△ABC的三边长 3.一款可折叠晾衣架的 (1)若a=4,b=6,则c的取值范围是 示意图如图所示，支 .若c为偶数，则△ABC 架OP=OQ=30cm 0 的最大周长为 (连接处的长度忽略 第3题图 (2)△ABC是等腰三角形，a=4,周长为16， 不计)，则点P,Q之间的距离可以是( 求另外两边长 A.50 cm B.65 cm C.70 cm D.80 cm ◆易错点忽视三边关系而出错 4.已知等腰三角形的两边长分别为5和11， 则它的周长为 02提能力 5.已知a,b,c是△ABC的三条边长，且(a十b 十c)(a-b)=0,则△ABC一定是() 下册第四章 第3课时三角形的高、中线和角平分线 要点提示 1,三角形的高线： (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称 三角形的高：(2)三角形的三条高所在的直线委于一正，锐角三角形三条高的交点在三角形的内部：直角三角 形三条高的交点是直角项点：纯角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部。 2.三角形的中线： (1)定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中孩：(2)三角形有三条中线，且 三条中线交于一点，这点称为三角形的重心：(3)三角形的一条中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形， 3.三角形的角平分线： (1)定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的 角平令线：(2)三角形的三条角平分箕安于一点，变点在三角形的内部。 O1固基础 知识点2三角形的中线 4.在△ABC中，AD是BC边上的中线， 知识点1三角形的高 △ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与 1.(2024萍乡安源区月考)如图，在△ABC中， AC的和为13，则AC的长为 下列关于高的说法正确的是 A.5 B.6 A.线段AD是AC边上的高 C.7 D.8 B.线段CF是BC边上的高 5.(2024九江修水月考)如图，在△ABC中，AC= C.线段CF是AC边上的高 5,S。Ax=24,CD是AB边上的中线，P是AC D.线段BE是AC边上的高 上的动点，则DP的最小值为 () A.5 B号 c. D.6 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC中BC边上的高、△BCE中 第5题图 第6题图 BE边上的高、△ACD中AC边上的高分别 6.如图，在△ABC中(AB>BC),AB=2AC, 是 ( AC边上的中线BD把△ABC的周长分成 A.AF.CD.CE B.AF.CE,CD 30和20两部分，则BC的长为 C.AC,CE.CD D.AC.CD.CE 知识点3三角形的角平分线 3.如图，在△ABC中，AB=10,AC=15,BD, 7.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4， CE都是△ABC的高，且BD=8,则CE的 则下列结论错误的是() 长是 A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3=∠ACB 第7题图 第3题图 D.CE是△ABC的角平分线 数学七年级BS版 02提能力念 (3)若△ABC的面积为24cm”,BD=4cm, 求△BDE的边BD上的高. 8.如图，在△ABC中，∠1 ∠2，G为AD的中点，连接 BG并延长交AC于点E.过 点C作CF⊥AD于点H,交 第8题图 AB于点F,下列说法正确的是 ( A.线段AD是△ABE的角平分线 B.线段CH是△ACD中AD边上的高 C.线段BE是△ABD中AD边上的中线 D.线段AH是△ABC的角平分线 O3拓思维 9.(教材变式)如图，在△ABC中，∠B+∠C 13.项目式学习【探究学习】用不同方式表示同 100°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB 一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关 交AC于点E,则∠ADE的度数是 问题，这种方法称为“面积法”.请利用“面积 Λ.30° B.40° C.509 D.60 法”自主探究三角形高线之间的数量关系。 【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC,D 为BC边所在直线上任意一点，连接AD.已 知DE,DF分别是△ABD,△ACD的高. 第9题图 第10题图 (1)利用三角板在图①、图②中分别作 10.如图，AE,BF分别为∠CAD和∠CBD的 △ABC中边AC上的高BG: 平分线，AE,BF的延长线相交于点P.请 (2)图①中DE,DF,BG之间的数量关系为 写出∠C,∠D.∠P的数量关系： (3)如图②，当点D在BC延长线上时，判断 11.若AD是△ABC的高，且BD=5,CD=2, DE,DF,BG之间的数量关系，并说明理由. 则边BC的长为 12.如下图，AD是△ABC的边BC上的中线， BE是△ABD的边AD上的中线. (1)若∠BAD=25°，∠AEB=140°，求 图 图② ∠ABE的度数： (2)作出△BDE的边BD上的高EF: 下册第四章 2全等三角形 要点提示 1,全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫作金等三角形其中重合的顶点叫作对应项点，重合的边 叫作对应边，重合的角叫作对应角，用“≌”表示“全等”，读作“全等于”，如“△ABC≌△DEF"表示“△ABC与 △DEF全等”，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”, 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等， O1固基础 02提能力乡 知识点①全等三角形的概念 6.如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方 1.下列说法正确的是 形的边长都是1.已知△ABC≌△EDF,则 A.形状相同的两个三角形全等 ∠1和∠2的关系是 () B.周长相等的两个三角形全等 A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1 C.面积相等的两个三角形全等 C.∠2=90°+∠1 D.∠1+∠2=1809 D.形状、大小相同的两个三角形全等 2.如图，已知△ABC≌△CDA,则 ∠B的对应角是 A.∠CAD B.∠D 第6题图 第7题图 C.∠ACD D.∠ACB 第2题图 7.如图，已知△ABC≌△DEF,CD平分 3.如下图，已知△ABE≌△ACD,∠AEB ∠BCA.若∠A=28°，∠CGF=88°，则∠E ∠ADC,∠B=∠C,写出该组全等三角形的 的度数是 对应边和剩余的对应角. A.32 B.34° C.40° D.44° 8.如右图，△ABC≌△ADE, ∠B=85°，∠C=30°， ∠DAC=15°，求∠EAC的 度数 知识点2全等三角形的性质 4.如图，△ABC≌△ADC.若∠B=25°，则∠D 的度数为 () A.20 B.25 C.30° D.50 第4题图 第5题图 5.如图，已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F 在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF 的长为 50 数学七年级BS版8.Dg.D10.C1.g =∠BAD=40°， 所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=30. 12.解：1号 14.解：(1)∠A+∠D=∠B+∠C (2)如图，连接AD,则∠BAD+∠B (2②)小明胜的概率为膏=名，小强胜的概率为号 +∠C+∠ADC=360° 是因为>子，所以该游戏不公平。 根据“8字形”数量关系可知，∠E十 ∠F=∠EDA+∠FAD, (公平的游戏规则不唯一)公平的游戏规则：转出数 所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+ 字是奇数，则小明胜：转出数字是偶数，则小强胜 ∠E+∠F=360°. 13.解：两人获胜的概率一样大.理由如下： 第2课时三角形的三边关系 因为小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1 1.D2.B3.A4.275.A6.B7.三 分，投中白色区域不得分， 8.解：(1)2<c<1018 所以P(小明得分)=2X8-81 648 (2)当a=4为腰长时，另外两边长分别为4,16一4一4 因为小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2 =8. 分，投中白色区域不得分， 因为4十4=8，不能构成三角形，故舍去. 所以P(小颖得分)=2X8-8-1 当a=4为底边长时，另外两边长为64-6， 2 64 8 即两人获胜的概率一样大 此时等腰三角形的三边长为4,6,6. 故另外两边长为6,6. 第四章三角形 第3课时三角形的高、中线和角平分线 1认识三角形 1.D2.B3.124.D5.C6.14 第1课时三角形的概念及内角和定理 7.D8.B9.B10.2∠P=∠D+∠C11.7或3 12.解：(1)在△ABE中，∠ABE=180°-∠AEB 1.C ∠BAD=180°-140°-25°=15. 2.(1)△ABD(2)∠ADE,∠AED,∠DAE AE (2)如图，EF即为所求 (3)△ACE,△ACD,△ACB(4)6 (3)因为AD是△ABC的中线， 3.C4.20 1 1 5.解：设∠A=x,∠BCD=y. 所以San=2Sam=豆X24=12 因为∠D=∠BCD+∠A, (cm). 所以∠D=x十y 又因为BE是△ABD的中线， 因为∠D+∠BCD+∠DBC=∠DBC+∠ABC 1 =180°， 所以Ssmg=2Sam=zX12=6(cm). 所以∠ABC=∠D+∠BCD,即∠ABC=x+2y. 因为∠ACB=90°，所以∠A+∠ABC=90, 因为SaE=BD:EF,即6=号X4·EF, 所以x+x+2y=90°， 所以EF=3cm, 所以x十y=45°，所以∠D=45, 即△BDE的边BD上的高为3cm. 6.C7.C8.C9.410.B11.C 13.解：(1)分别作△ABC中边AC上的高BG如图①、 12.解：因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=号∠ACD 图②所示. (2)BG=DE+DE =50 因为FG∥CE,所以∠AFG=∠ACE=50 (3)BG=DE-DF.理由如下： 在△AFG中，∠FAG=180°一∠AGF-∠AFG= 因为Sa=S么e十S△n, 180°-20°-50°=110°， 所以AB·DE=名AC·BG+AC·DF. 所以∠BAC=180°-∠FAG=180°-110°=70°. 因为AB=AC, 又因为∠ACB=180°-∠ACD=180°-100°=80°， 所以∠B=180°-∠BAC-∠ACB-180°-70°-80 所以DE=BG+DF, =30°. 所以BG=DE-DF. 13.解：如图，由题意可知，∠MAC ∠ECA=90°，∠MAD=50°，∠ECD =20°，AB=BD, 所以∠DAC=40°，∠DCB=70°， B 所以∠ADC=180°-∠DAC-∠DCB=70",∠ADB 2 下册梦考答案 169 2全等三角形 AD-CB. 1.D2.B 在△ADE和△CBF中，DE=BF, 3.解：该组全等三角形的对应边为AB与AC,AE与 AE=CF. AD,BE与CD,剩余的对应角为∠BAE与∠CAD. 所以△ADE≌△CBF(SSS). 4.B5.36.D7.A (3)AD∥CB.理由如下： 8.解：因为∠B=85°，∠C=30°， 由(1)(2)知△ADE≌△CBF, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=65 所以∠A=∠C,所以AD∥CB. 因为△ABC≌△ADE, 第2课时角边角、角角边 所以∠BAC=∠DAE=65. 1.D2.D3.③ASA4.3 因为∠DAC=15°， 5.解：因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B. 所以∠EAC=∠DAE-∠DAC=65°-15°=50° ∠EDC=∠B. 3探索三角形全等的条件 在△CDE与△ABC中，{CD=AB, 第1课时边边边 ∠DCE=∠A, 所以△CDE≌△ABC(ASA),所以DE=BC 1.C 2.AC=DB 6.解：(I)①A②DMDE③E ED B EF 3.解：因为C是BD的中点，所以BC=DC (2)ASA AB-ED. 7.B8.B9.C10.∠A=∠D(答案不唯一) 在△ABC和△EDC中.AC=EC. 11.①③④ BC=DC. 12.解：(1)因为AF∥BC, 所以△ABC2△EDC(SSS). 所以∠DAF=∠B,∠F=∠BED. 4.解：如图，连接OE 因为D为AB的中点， OA=OC. 所以AD=BD, 在△EAO和△ECO中， EA=EC, OE=OE. 所以△AFD≌△BED(AAS). (2)因为△AFD≌△BED, 所以△EAOX≌△ECO(SSS), 所以AF=BE 所以∠A=∠C. 因为AF=3CE=3, 5.SSS 6.SSS 7.D 所以CE=1, 8.解：(1)①④@ 所以BC=CE+BE=1+3=4. (2)(答案不唯一)如图所示. 13.解：(1)AD=AB+DC (2)AB=CF+AF. 如图.延长AE交DF的延长线于点G 2 因为E是BC的中点， 9.C10.B11.B12.3 所以CE=BE. 13.解：在△ABC和△DEC中， 因为AB∥DC,所以∠BAE=∠G CA=CD. 又因为∠AEB=∠GEC,BE=CE, AB=DE. BC=EC. 所以△AEB2△GEC(AAS),所以 AB-GC. 所以△ABC≌△DEC(SSS), 所以∠ACB=∠DCE, 因为AE是∠BAF的平分线，所以∠BAG=∠FAG. 因为∠BAG=∠G,所以∠FAG=∠G. 所以∠1+∠ECA=∠2+∠ECA 所以∠1=∠2. 过点F作AG的垂线，垂足为H, 14.解：(1)因为AF=CE, 则∠FHA=∠FHG=90°. 所以AF+EF=CE+EF, 又因为∠FAG=∠G,FH=FH, 即AE=CF 所以△FHA≌△FHG(AAS),所以AF=GF AD=CB. 因为CG=CF+GF,所以AB=CF+AF 在△ADE和△CBF中，DE=BF, 第3课时边角边 AE-CF. 1.D2.C3.B4.A5.5 所以△ADE≌△CBF(SSS). 6.解：因为∠BAE=∠CAD (2)成立，理由如下： 所以∠BAE+∠CAE-∠CAD+∠CAE,即∠BAC 因为AF=CE, =∠EAD 所以AF一EF=CE-EF,即AE=CF. 在△ABC与△AED中， 170 数学七年级Bs版