2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题9——证明（求角度计算）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题专题9——证明（求角度计算） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 【例2】如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【例3】如图，，将三角尺的直角顶点落在直线上，若则______． 【例4】如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则______． 【例5】如图，是的角平分线，且，E为延长线上的点，过E作于G，交于点F． （1）试说明． （2）若，求的度数． 【例6】如图，在四边形中，连接，点分别在和上，连接与分别交于点．已知． （1）若，求的度数； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【举一反三】 【变式1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 85° B. 75° C. 60° D. 45° 【变式2】小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系一定成立是（ ） A. B. C. D. 【变式3】如图，已知∠ABD=∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线 CD于点H，∠AFD=86°，∠H=22°，∠PCE=______°． 【变式4】如图，四边形ABCD为一条长方形纸带，AB∥CD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别为A'、D'对应，若∠1＝∠2，则∠AEF的度数为______． 【变式5】如图，中，于点D，于点F，交于点G，交延长线于点E，平分．求证：． 【变式6】【探究结论】 （1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 　　（直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°． （3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 　． 【巩固练习】 1.∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 不能确定 2.如图，直线，，则 A. B. C. D. 3.如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，与交于点．若，则的度数为（ ） A. 44° B. 46° C. 60° D. 68° 4.如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ） A. ∠α+∠β-∠γ=90° B. ∠α+∠γ-∠β=180° C. ∠γ+∠β-∠α=180° D. ∠α+∠β+∠γ=180° 5.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 6如图，，与相交于点，是射线上的一点．若，，则______． 7.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______． 8.如图，，则__________． 9.如图，的延长线与的延长线交于点，，，． （1）求的度数； （2）求证：． 10.如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． （1）图中的度数是______； （2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； （3）将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 11.如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． （1）当时，　　； （2）当时，求； （3）作的角平分线，若，直接写出的值：　　． 12.已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α． （1）如图1，若 ， ①∠ABO的度数是________； ②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______； 当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______； （2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 【答案】D 【例2】如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【例3】如图，，将三角尺的直角顶点落在直线上，若则______． 【答案】 【例4】如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则______． 【答案】或 【例5】如图，是的角平分线，且，E为延长线上的点，过E作于G，交于点F． （1）试说明． （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：，， ∴， ∴， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：， ， ， ， ，， ． 【例6】如图，在四边形中，连接，点分别在和上，连接与分别交于点．已知． （1）若，求的度数； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）如图可知： //（同位角相等，两直线平行） 又 则 （2） //（内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又 【举一反三】 【变式1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A. 85° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B 【变式2】小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系一定成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式3】如图，已知∠ABD=∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线 CD于点H，∠AFD=86°，∠H=22°，∠PCE=______°． 【答案】65 【变式4】如图，四边形ABCD为一条长方形纸带，AB∥CD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别为A'、D'对应，若∠1＝∠2，则∠AEF的度数为______． 【答案】60° 【变式5】如图，中，于点D，于点F，交于点G，交延长线于点E，平分．求证：． 【答案】，， ， ，， 平分， ， ，， ． 【变式6】【探究结论】 （1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 　　（直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°． （3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 　． 【答案】（1）∠AEC＝∠A+∠C； （2）证明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2， ∵FG2平分∠MFD， ∴∠EFG2＝∠DFG2， ∵∠1＝∠2， ∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2， ∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°， ∴∠FG1E+∠G2＝180°； （3）42°或41°． 【巩固练习】 1.∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 不能确定 【答案】D 2.如图，直线，，则 A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，与交于点．若，则的度数为（ ） A. 44° B. 46° C. 60° D. 68° 【答案】B 4.如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ） A. ∠α+∠β-∠γ=90° B. ∠α+∠γ-∠β=180° C. ∠γ+∠β-∠α=180° D. ∠α+∠β+∠γ=180° 【答案】B 5.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 【答案】40° 6如图，，与相交于点，是射线上的一点．若，，则______． 【答案】 7.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______． 【答案】 8.如图，，则__________． 【答案】 9.如图，的延长线与的延长线交于点，，，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）解： 【小问2详解】 证明： 即 10.如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． （1）图中的度数是______； （2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； （3）将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】（1）解：在中，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ，， ， 由（1）得，即， ， 【小问3详解】 解：如图，当时， ，即， ， ， ； 如图，当时， ，即， ， ， ； 如图，当时， ，即， ， ， ； 如图，当时， ，， ， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 11.如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得． （1）当时，　　； （2）当时，求； （3）作的角平分线，若，直接写出的值：　　． 【答案】（1）解：， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，过点作直线， ， ， 又， ， ， ， , ， ； （3）解：如图2，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12.已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α． （1）如图1，若 ， ①∠ABO的度数是________； ②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______； 当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______； （2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值． 【答案】（1）①20°； ②120°，60°； （2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图， ∵AB⊥OM，∠MON＝40°， ∴∠BFC＝50°， ∴∠BDC＝2∠BFC＝100°， ∵∠ABO＝∠BFC＋∠BON＝50°＋20°＝70°， ∴∠BAC＝∠BDC−∠ABO＝100°−70°＝30°， ∴α＝30°； ②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时， ∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°， ∴∠DBF＝∠AOB＋∠OAB＝20°＋90°＝110°，∠BFC＝50°， ∴∠DCF＝∠DBF＝55°， ∴∠BAC＝180°−∠BFC−∠ACF＝180°−50°−55°＝75°， ∴α＝75°； ③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时， ∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°， ∴∠DBF＝∠ABO＝90°−∠AOB＝90°−20°＝70°，∠AFO＝50°， ∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°， ∴∠BAC＝180°−∠DCF−∠AFC＝180°−35°−130°＝15°， ∴α＝15°； 综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$