第03讲 有理数的大小比较与绝对值（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（浙教版2024）

第03讲 绝对值与有理数的大小比较（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的绝对值 典型例题二 有理数大小比较 典型例题三 绝对值非负性 典型例题四 利用数轴比较有理数的大小 典型例题五 绝对值的几何意义 典型例题六 绝对值的其他应用 典型例题七 有理数大小比较的实际应用 知识点01 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点02 化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点03 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点04绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【典型例题一 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值；根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：A． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上点对应的数的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值等知识点．根据绝对值的定义：数轴上点到原点的距离表示这个数的绝对值，结合数轴即可求出点表示的数的绝对值． 【详解】解：由图可得，数轴上点表示的数为， 数轴上点到原点的距离为3， 数轴上点表示的数的绝对值为3． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）请写一个绝对值小于2的整数 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和绝对值，先求出所有绝对值小于2的整数，然后写出其中的一个即可． 【详解】解：∵的绝对值小于2，且是整数， ∴绝对值小于2的整数是， 故答案为：0（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下表是莲花中学趣味足球比赛得分记录表 班级名称 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 得分（分） 根据以上数据，得分最低的班级是 班； 【答案】7 【分析】此题考查了比较有理数的大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】∵，，，，且 ∴ ∴得分最低的班级是7班． 故答案为：7． 【例5】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）在数轴上标出下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来： ，，，． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小．解决本题的关键是把有理数表示在数轴上，根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数比较数的大小即可． 【详解】解：把各数表示要数轴上如图所示， 数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数， ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，化简绝对值．理解题意，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 根据题意求①，然后判断即可；根据题意知，，计算求解，可判断②，根据，分情况求解，然后判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对1，，3进行“F运算”的结果是不是8；①错误，故不符合要求； 由题意知，， 解得，，②错误，故不符合要求； 由题意知，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求； 故选：B． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，解题的关键是掌握正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“<”连接起来． ，0，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了相反数，绝对值，数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键； 先根据相反数，绝对值进行计算，再在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解：， 如图所示 ． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）请选择合适的比例画出数轴，并将，，2，，0五个数在数轴上表示出来，并用“”把它们的大小关系表示出来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了有理数的大小比较、相反数和绝对值的化简，正确化简是解题的关键． 先化简，再在数轴上表示出各数，然后根据：在数轴上表示的数，右边的数总大于左边的，用不等号连接即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示为：    大小关系为：． 【典型例题二 有理数大小比较】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）四个有理数，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：B． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴液化温度最低的气体是氢气； 故选C． 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用“”连接下列各数：，，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，相反数，有理数的大小的比较，熟练掌握有理数的大小的比较方法是解题的关键； 先根据绝对值和相反数进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：；； 用“”连接下列各数为：； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）三个数的平均数是4，这三个数的比是，则这三个数中最大的数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数大小比较，比的性质，求出一份是解题的关键． 首先求出三个数的总和，然后根据给出的比例找出一份的大小，最后找出最大的数即可． 【详解】解：一份是， 又因为， 所以这三个数中最大的数是， 故答案为：5． 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了去绝对值，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析即可 ． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）显然当时，， 当时，， 当时，． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 【答案】B 【分析】根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：，且更接近，解答即可． 本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键． 【详解】解：设被笑脸覆盖的数为x，根据题意，得，且更接近， 则A，D不符合题意，又，，且， 故更接近， 故C不符合题意， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为4的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键．根据题意，分别将各选项中的值进行比较，然后代入求值即可． 【详解】解：A. 当，时，因为，则有，故不符合题意； B. 当，时，因为，则有，故不符合题意； C. 当，时，因为，则有，符合题意； D. 当，时，因为，则有，故不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）比较大小：           【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及绝对值的性质，先去掉绝对值符号，再通分，根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴即； ∵，， ∴； ∵，，， ∴； 故答案为：，，． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 【答案】见解析， 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”号连接起来即可．熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：， 在数轴上画出表示各数的点，如下图： 用“”号将所有的数按从到大的顺序连接起来如下： ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【答案】5号球，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：因为， 所以5号球的质量最接近规定质量． 【典型例题三 绝对值非负性】 【例1】（23-24七年级上·浙江舟山·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【例2】（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的非负性、化简绝对值以及绝对值的几何意义等知识点，熟练掌握绝对值的相关结论是解题关键． 【详解】解：①若，则， ∴ ∴ 故①错误； ②若，则 ∴ ∴ 故②错误； ③∵， 又， ∴ 即：当时，有最大值5 故③正确； 由绝对值的几何意义可知：表示数轴上对应的点到、对应的点之间的距离之和， 故当时，有最小值， 故④正确； 故选：B 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 【例4（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 【答案】(1)2个，和6 (2)1个，0 (3)没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数 【分析】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解题的关键． （1）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （2）根据绝对值的定义以及性质得出答案即可； （3）根据绝对值的非负性得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴绝对值是6的数有2个，分别是和6． （2）解：∵只有0的绝对值是0， ∴绝对值是0的数有1个，是0． （3）解：没有．因为任何数的绝对值都大于或等于0，所以没有绝对值是的数． 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对的意义和性质，绝对值的非负性，据此逐项判定 即可求解． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，则或，正确，故此选项符合题意； D、若，不一定成立；原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，，得． 【详解】解：，且， ，， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，解题关键是根据绝对值性质的得出，，从而得出，． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，1，5 (2) 【分析】此题考查相反数和绝对值的应用，数轴上两点的距离等知识，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，，，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5． （2）解：由题意可知：， ∴，，， ∴ ． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，现将、之间的距离记作，定义．若、满足． (1)点A表示的数______；点B表示的数_____；_____； (2)点P在数轴上对应的数是，则_______；如果，则_____； (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是？ 【答案】(1)；； (2)；或 (3)秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离以及数轴上的动点问题．读懂题意，掌握的几何意义以及能够运用数形结合法解决动点问题是解题的关键． （1）根据绝对值的性质和平方的性质即可求解； （2）根据两点之间距离公式进行计算即可； （3）设秒后点到点、点的距离之和是，由题意，列方程即可求解； 【详解】（1）解：， 根据，， 则，， ，， ； （2）解：点在数轴上对应的数是， ， 当时， 即， 则或， 解得：或； （3）解：点P表示的数是， 设秒后点到点、点的距离之和是， 由题意得秒后点点对应的数为， 由， ， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上，当经过秒或秒时，蚂蚁所在的点到点到点、点的距离之和是； 【典型例题四 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴小于的是， 故选：A． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）墨迹污染小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨水遮盖住的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了数轴上有理数大小比较的方法，根据有理数大小比较的方法，判断出和之间的整数有多少个即可． 【详解】解：和之间的整数有3个：、、， 所以被墨水遮盖住的整数有，共三个． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a，b，c，d的位置得出，，，的位置是解此题的关键．根据数轴和相反数比较即可． 【详解】解：因为从数轴可知：， 所以， 故答案为：． 【例4】（2024·浙江衢州·模拟预测）已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m n．（填“<”、“>”或“=”）    【答案】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】解： 在n的左边， ， 故答案为：<． 【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来： 2，0，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了绝对值、利用数轴表示有理数、利用数轴比较数的大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 画出数轴，根据数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小即可得． 【详解】解：如图： 按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来：． 1．（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则，，，之间的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，在数轴上画出和，然后根据数轴上越靠右边越大判断即可． 【详解】和在数轴上大致位置如图，      ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的个数有（    ）    ①如果，则一定会有；②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有；④如果，则一定会有． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【答案】B 【分析】利用数轴知识和有理数的乘法判断即可． 【详解】由数轴可知， 如果，则一定会有，①正确； 如果，则不一定会有，②错误； 如果，则一定会有，③正确； 如果，则不一定会有，④错误； ①③正确 故选B． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为 （填“正”或“负”或“零”） 【答案】负 【分析】由数轴判断出，，再确定和符号即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴和 ∴，即的符号为负 故答案为：负． 【点睛】本题考查了数轴上两个有理数大小以及有理数的乘法，明确负数乘以正数积小于0是解题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、有理数的大小比较，首先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上，如下图所示， 按从小到大的顺序用“”连接起来可得：． 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 画出数轴，将数据标注在数轴上即可；根据数轴上的点，左边的总比右边的小，即可排列出大小关系； 【详解】解：用数轴上点表示有理数，如图所示： 用“”号把各数连接起来：． 【典型例题五 绝对值的几何意义】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，比较各数绝对值的大小即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与原点距离最远的点表示的数是． 故选：D 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了正负数，相反数，绝对值等概念，根据正负数，相反数，绝对值等概念的意义和性质求解即可． 【详解】解：①不一定是非负数，例如时，a是负数，故说法错误； ②不一定是负数，例如时，是0，故说法错误； ③相反数等于它本身的数是0，正确 ； ④绝对值大于它本身的数是负数，正确． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、相反数的性质等知识，首先根据题意得到绝对值大于3且小于5的所有整数有：和，再由互为相反数的两个数和为即可得到答案．熟记绝对值的意义及相反数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：绝对值大于3且小于5的所有整数有：和， ， 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离为 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ； （2）数轴上表示和3的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； 【答案】 4 3 / / 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据，两点之间的距离表示为即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示1和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：4；3． （2）解：数轴上表示和3的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：；． 【例5】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】数轴上表示和的两点之间的距离是，故错误； 设点表示数， ∵点表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得:或， ∴点表示的数是或，故错误； 代数式代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， ∴当时，为最小值，故正确； 代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和， 当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， ∴当代数式取最小值时，的取值范围是，故正确； 表示点到点的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点位于，两点之间，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也就是说，表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)2或 (2)2或 【分析】本题考查绝对值的意义，利用数轴解绝对值方程： （1）仿照题干方法，进行求解即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上与对应的点的距离为4的点表示的数为2和， 所以x的值为2或． （2）解：在数轴上与和1对应的点的距离之和为6的点表示的数为2和， 所以x的值为2或． 5．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 【典型例题六 绝对值的其他应用】 【例1】（2025·河浙江温州·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义等知识．求出各数的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准的，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴从轻重的角度来看，数据更接近标准的是为． 故选A． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，即可得出，故写出一组即可满足该条件的数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴满足该条件的数有，（答案不唯一）， 故答案为：；；． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） ，，，，，． 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值知识进行说明． 【答案】的足球质量好一些，见解析 【详解】本题考查了正数和负数，绝对值的性质，熟记正数和负数的意义是解题的关键． 求出各球记录的质量的绝对值，然后选择绝对值最小的为质量最好． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 质量检测结果是的足球质量好一些． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】105 【分析】利用绝对值的意义判断即可． 【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和， 当时，最小，此时最小值为， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键． 4．（2024七年级上·浙江宁波·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 【答案】(1)在公司的西边，距离公司3千米； (2)五； (3)快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减混合运算，关键是熟练掌握有理数相关知识． （1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【详解】（1）（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）（千米） （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； （3） （千米） （升），≈26（元）， 答：快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 【典型例题七 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如下是鄞州区 12 月份 4 个周日中午 12 时的气温，当日气温最低的日期是（   ） 8号 15号 22号 29号 A．8号 B．15号 C．22号 D．29号 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”解答即可． 【详解】解：∵， ∴气温最低的日期是29号， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）今天上完数学课，老师让同学回家研究一下父亲身份证数字对应的信息是什么含义，小明发现自己父亲的身份证号码是：320307199010061311，所以研究出爸爸的生日是（    ） A．7月1日 B．10月6号 C．6月13日 D．1月31日 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题时要了解身份证号码的常识． 身份证上第位表示出生日期，进而确定爸爸的生日即可． 【详解】解：∵小明发现自己父亲的身份证号码是：320307199010061311 ∴研究出爸爸的生日是10月6号． 故选：B． 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，小康在超市买了4颗玻璃球，每个玻璃球在天平秤上称得的质量如下（其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，单位：）．从轻重的角度看，则质量最轻的球上标的数为 ．    【答案】 【分析】比较有理数大小即可求解． 【详解】解：∵， ∴质量最轻的球上标的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正负数的含义，有理数的大小比较，掌握有理数大小比较法则是解本题的关键． 【例4】（2024·浙江杭州·模拟预测）某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工10000个W型零件所需时间如表： 车床编号 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 甲、戊 所需时间（h） 13 9 10 12 8 则加工W型零件最快的一台车床的编号是 ． 【答案】丙 【分析】根据表格分别求出两个一起的工作效率，然后比较即可得出结果． 【详解】解：根据表格可得： 甲乙一起的效率为，乙丙一起的效率为， ∴甲的效率<丙的效率； 乙丙一起的效率为，丙丁一起的效率为1000， ∴丁的效率<乙的效率； 丙丁一起的效率为，丁戊一起的效率为， ∴戊的效率<丙的效率； 丁戊一起的效率为，甲戊一起的效率为， ∴丁的效率<甲的效率； 甲乙一起的效率为，甲戊一起的效率为， ∴乙的效率<戊的效率； 综上可得：丁的效率<乙的效率<戊的效率<丙的效率，甲的效率<丙的效率； 最快的车床编号为丙， 故答案为：丙． 【点睛】题目主要考查有理数的大小比较的应用，理解题意，找准突破口是解题关键． 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在一次班会上，主持人小宇和小莉进行小游戏，游戏规则如下：每人每次抽4张卡片，如果抽到的形状为“”，那么加上卡片上的数字；如果抽到的形状为“”，那么减去卡片上的数字．最终计算结果小的为大家表演节目．小宇和小莉抽取的卡片如图所示，本次游戏结束后由谁给大家表演节目？    【答案】小宇给大家表演节目 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的实际应用，有理数比较大小，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 小宇： ； 小莉： ； 因为， 所以由小宇给大家表演节目． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：A． 当时，满足，但不满足，符合题意；     B． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     C． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     D． ，不满足，，不符合题意． 故选A． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握“正数大于、大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小”成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法比较出四个城市温度数值的大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可． 【详解】根据题意得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合运算，关键是根据题意列式解答． 4．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）如图每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两块木牌上的数字做乘法，结果记作P． (1)要使P的值最大，选择的两个数字为 ， ． (2)计算P的最大值． (3)计算P的最大值比P的最小值大多少． 【答案】(1)， (2) (3)P的最大值比最小值大54 【分析】本题考查了有理数的减法以及乘法的应用，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的运算法则，理解有理数大小的比较方法是解题关键． （1）选择两个同号数字中绝对值最大的数字即可； （2）将（1）中选出的两个数字做乘法得出结果即可； （3）选出不同符号的两个绝对值大的数字做乘法得出最小值，用最大值减最小值即可． 【详解】（1）解：要使P的值最大，选择的两个数字应该是同号，这样保证结果为正数， ， 选择的两个数字为，， 故答案为：，； （2）， P的最大值为24； （3）P最小值的两个数字的符号相反， P最小值为， ， P的最大值比P的最小值大54． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·模拟预测）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超出的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走_____________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为17度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)65 (2) (3)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，解题的关键是： （1）可得，所以路程最多的一天是第五天，最少的一天是第三天，即可求解； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，相减即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 所以路程最多的一天是第五天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案：65． （2）由题意得， ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， （元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下面各数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先把每个选项的数整理为小数，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， 故选：D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 【详解】解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江衢州阶段练习）生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，检测排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．下列已经检测出的4个排球的质量中，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，绝对值，有理数比较大小，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个排球的绝对值得： ， ． 的绝对值最小． 所以这个球是最接近标准的球． 故选：B． 6．（2025·浙江丽水·模拟预测）比较大小： ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 7．（24-25六年级下·浙江温州·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且．给出下面四个结论： ①；②；③；④. 上述结论中，正确结论的序号有 . 【答案】①③④ 【分析】根据数轴上有理数的位置，不等式的基本性质，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则，不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且 ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∴，故④正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义， 根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答． 【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0， 则|或. 故答案为：4． 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 【答案】甜味 【分析】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， 因为， 所以最符合标准的一种食品是甜味， 故答案为：甜味． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示下列各数，并用“<”连接． ，，，，，0． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，在数轴上表示有理数，以及运用数轴比较有理数的大小，先化简，，，再在数轴上表示有理数，最后根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：，，． 在数轴上表示各数如图所示： ． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【答案】(1)26 (2)或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离． （1）最小的两位正整数为，得到，根据非负性，求出的值，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的两位正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、C两点间的距离为：； （2）∵，P、B两点间的距离是8，点P在数轴上， ①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，； ∴或． 13．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号； (2)见解析． 【分析】本题考查了绝对值的应用；理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 因为， 所以3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得 如果，那么结果为b的质量好一些， 如果，那么结果为a的质量好一些， 如果，那么两个篮球的质量一样好． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费（元） 含上网流量（M） 流量超出部分（元/M） 种 30 300 0.2 种 50 500 0.1 (1)设一个月内上网流量为（是正整数），列表说明：当在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费． 列表如下： 上网流量 A种方式计费/元 B种方式计费/元 (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 【答案】(1)见解析 (2)能，当时，选A种省钱；当时，两种方式计费一样，可任选；当时，选B种省钱． 【分析】（1）分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，分别列式表示计费即可； （2）根据表格，分别求出五种计算费，比较即可． 【详解】（1）解：填表如下： 上网流量 A种方式计费/元 B种方式计费/元 30 50 50 50 50 50 （2）解：由表格可得： 当时，选择A种； 当时， A种方式计费：元， B种方式计费：50元 ∵， ∴， ∴选择A种； 当时， A种方式计费：元， B种方式计费：50元 ∴选择A种B种方式计费一样； 当时， A种方式计费：元， B种方式计费：50元， ∵， ∴， ∴选择B种； 当时， A种方式计费：元， B种方式计费：元， ∵， ∴， ∴选择B种； 综上，当时，选A种省钱；当时，两种方式计费一样，可任选；当时，选B种省钱． 【点睛】本题考查列代数式，比较代数式值的大小，理解题意，正确分类，列出代数式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 绝对值与有理数的大小比较（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求一个数的绝对值 典型例题二 有理数大小比较 典型例题三 绝对值非负性 典型例题四 利用数轴比较有理数的大小 典型例题五 绝对值的几何意义 典型例题六 绝对值的其他应用 典型例题七 有理数大小比较的实际应用 知识点01 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点02 化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点03 绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点04绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【典型例题一 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，数轴上点对应的数的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江舟山·期末）请写一个绝对值小于2的整数 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下表是莲花中学趣味足球比赛得分记录表 班级名称 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 得分（分） 根据以上数据，得分最低的班级是 班； 【例5】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）在数轴上标出下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来： ，，，． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则 ． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“<”连接起来． ，0，，，． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）请选择合适的比例画出数轴，并将，，2，，0五个数在数轴上表示出来，并用“”把它们的大小关系表示出来． 【典型例题二 有理数大小比较】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）四个有理数，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用“”连接下列各数：，，，， ． 【例4】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）三个数的平均数是4，这三个数的比是，则这三个数中最大的数是 ． 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（   ）    A． B． C． D．1.7 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为4的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）比较大小：           4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【典型例题三 绝对值非负性】 【例1】（23-24七年级上·浙江舟山·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【例2】（23-24七年级上·浙江丽水·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【例4（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b满足则 ． 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）[教材练习3变式] (1)绝对值是6的数有几个，各是什么？ (2)绝对值是0的数有几个，各是什么？ (3)有没有绝对值是的数？为什么？ 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，现将、之间的距离记作，定义．若、满足． (1)点A表示的数______；点B表示的数_____；_____； (2)点P在数轴上对应的数是，则_______；如果，则_____； (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是？ 【典型例题四 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）墨迹污染小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨水遮盖住的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【例4】（2024·浙江衢州·模拟预测）已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m n．（填“<”、“>”或“=”）    【例5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来： 2，0，，，． 1．（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则，，，之间的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的个数有（    ）    ①如果，则一定会有；②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有；④如果，则一定会有． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，则的符号为 （填“正”或“负”或“零”） 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 【典型例题五 绝对值的几何意义】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）绝对值大于3且小于5的所有整数的和是 ． 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离为 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ； （2）数轴上表示和3的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； 【例5】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也就是说，表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【典型例题六 绝对值的其他应用】 【例1】（2025·河浙江温州·模拟预测）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） ，，，，，． 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值知识进行说明． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 4．（2024七年级上·浙江宁波·模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 5．（23-24七年级上·浙江温州·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 【典型例题七 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如下是鄞州区 12 月份 4 个周日中午 12 时的气温，当日气温最低的日期是（   ） 8号 15号 22号 29号 A．8号 B．15号 C．22号 D．29号 【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）今天上完数学课，老师让同学回家研究一下父亲身份证数字对应的信息是什么含义，小明发现自己父亲的身份证号码是：320307199010061311，所以研究出爸爸的生日是（    ） A．7月1日 B．10月6号 C．6月13日 D．1月31日 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，小康在超市买了4颗玻璃球，每个玻璃球在天平秤上称得的质量如下（其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，单位：）．从轻重的角度看，则质量最轻的球上标的数为 ．    【例4】（2024·浙江杭州·模拟预测）某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工10000个W型零件所需时间如表： 车床编号 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 甲、戊 所需时间（h） 13 9 10 12 8 则加工W型零件最快的一台车床的编号是 ． 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在一次班会上，主持人小宇和小莉进行小游戏，游戏规则如下：每人每次抽4张卡片，如果抽到的形状为“”，那么加上卡片上的数字；如果抽到的形状为“”，那么减去卡片上的数字．最终计算结果小的为大家表演节目．小宇和小莉抽取的卡片如图所示，本次游戏结束后由谁给大家表演节目？    1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D．    2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ． 4．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）如图每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两块木牌上的数字做乘法，结果记作P． (1)要使P的值最大，选择的两个数字为 ， ． (2)计算P的最大值． (3)计算P的最大值比P的最小值大多少． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·模拟预测）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，超出的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走_____________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为17度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下面各数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D．   3．（2025·浙江丽水·模拟预测）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江衢州阶段练习）生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，检测排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．下列已经检测出的4个排球的质量中，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江丽水·模拟预测）比较大小： ．（填“”“”或“”号） 7．（24-25六年级下·浙江温州·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且．给出下面四个结论： ①；②；③；④. 上述结论中，正确结论的序号有 . 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ ． 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 ． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 11．（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示下列各数，并用“<”连接． ，，，，，0． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 13．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点， (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费（元） 含上网流量（M） 流量超出部分（元/M） 种 30 300 0.2 种 50 500 0.1 (1)设一个月内上网流量为（是正整数），列表说明：当在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费． 列表如下： 上网流量 A种方式计费/元 B种方式计费/元 (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 学科网（北京）股份有限公司 $$