8.3 基本事实与定理 课件 2024--2025学年 鲁教版（五四制）七年级数学下册

第八章 平行线的有关证明 8.3 基本事实与定理 素养目标 1.了解基本事实、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解教科书所采用的基本事实. 2.通过介绍欧几里得的《原本》感受公理化方法对数学发展和促进人类文化进步的价值. 复习回顾 命题 概念 判断一件事情的句子，叫做________ 结构 组成 条件 是________的事项 结论 是由已知事项推断出的________ 结论 如果 “如果”引出的部分是________ 那么 “那么”引出的部分是________ 命题 已知 事项 条件 结论 分类 真命题 正确的命题称为________命题 假命题 不正确的命题称为________命题 判断 方法 举反例 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例 真 假 走进欧几里得《原本》，领略公理化思想的魅力！ 欧几里得与《原本》 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得编写《原本》，将几何学成果整理成逻辑体系。 公理化思想 他挑选部分数学名词和真命题作依据，推导其他命题，让几何学有了公理化体系。 基本概念 这里面涉及公理、定理等概念，为数学发展奠定了基础。 探索新知 公理与定理 一 不需要证明 公理=基本事实 数学名词称为原名，公认的真命题公理 (axiom). 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 演绎推理的过程称为证明 经过证明的真命题称为定理 每个定理都只能用公理（基本事实）、定义和已经证明为真的命题来证明 证明意义 公理与定理：数学大厦的基石探秘 1 公理的含义 公理是通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题。比如欧几里得将“两点确定一条直线”等作为公理。 2 定理的含义 定理是通过推理得到证实的真命题。像由已知公理证明出的“等角的补角相等”就是定理。 3 二者区别 公理是不需要证明的基本事实，是证明其他命题的起始依据；定理是需要经过推理证明的。 4 举例说明 “同位角相等，两直线平行”是公理，可直接用；“等角的余角相等”需证明后才能用，是定理。 1．下列说法中错误的是( ) A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题 C．所有的公理都是命题 D．所有的命题都是定理 D D 2．下列说法正确的是( ) A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．真命题都是公理 D．定理都是真命题 3．下列语句中属于定理的是( ) A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 D 及时练习 教科书里的基本事实大盘点 1 直线相关 两点确定一条直线；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2 线段相关 两点之间线段最短。 3 三角形全等相关 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)；三边分别相等的两个三角形全等(SSS)。 4 平行线相关 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 初中介绍到的9个基本事实，我们已经学了8个： 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如 1）如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”. 2）如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据. 总结归纳 证实其他命题的正确性 推 理 演绎推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、公理 一些条件 + (2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据. 定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系： (1)联系：这四者都是命题． 4.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题 5.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ） A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题 B C B 6．“过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”是一个( ) A．需要证明的命题　　B．公理 C．定理 D．定义 及时练习 例1 证明下面的定理：(写出已知、求证、证明过程) （1）同角（等角）的补角相等.（2）同角（等角）的余角相等. 典型例题 ① 已知：∠B和∠C是∠A的补角, 求证：∠B=∠C 证明：∵ ∠B和∠C是∠A的补角, ∴∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A. ∴∠B=∠C（等量代换）. ∴同角的补角相等. ② 已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角. 求证：∠C=∠D 证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角. ∴∠C=180°-∠A，∠D=180°-∠B. ∵∠A=∠B（已知）. ∴∠C=∠D（等量代换）. ∴等角的补角相等. 例1 证明下面的定理： （1）同角（等角）的补角相等.（2）同角（等角）的余角相等. ③ 已知：∠B和∠C是∠A的余角, 求证：∠B=∠C 证明：∵ ∠B和∠C是∠A的余角, ∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A. ∴∠B=∠C（等量代换）. ∴同角的余角相等. ④ 已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角. 求证：∠C=∠D 证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角. ∴∠C=90°-∠A，∠D=90°-∠B. ∵∠A=∠B（已知）. ∴∠C=∠D（等量代换）. ∴等角的余角相等. 试证明定理“对顶角相等”. 例2 如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角. 求证：∠1 =∠2. 如图,∠1与∠2是直线AB和直线CD相交于点O的得到的对顶角. ∵直线AB与直线CD相交于点O（已知） ∴∠AOB=∠COD=180°（平角的定义） ∴∠1+∠3=180°（补角的定义） ∠2+∠3=180°（补角的定义） ∴∠1=∠2（等量代换） 已知： 求证： 证明: ∠1=∠2. A C 3 O 1 2 B D 例3 已知：b∥c，a⊥b． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1 = 90°（垂直的性质）. 又 b∥c（已知）， ∴∠2 =∠1 = 90°（两直线平行，同位角相等）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. a b c 1 2 证明的一般步骤： 总结归纳 ①根据题意，画出图形； ②根据条件和结论，结合图形写出已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 实战演练 1. 下列命题中，属于定义的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 同角的余角相等 C. 互补的两个角和为 180° D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D A 2．下列说法不正确的是( ) A．若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角 B．若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2 C．若∠1＝∠2，则∠1＋∠3＝∠2＋∠3 D．若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠2 3. 下列句子中，是定理的是______，是公理的是____. ① 两点确定一条直线； ② 对顶角相等； ③ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. ②③ ① 4．如图，点A，O，B在一条直线上，OC平分∠BOD，OE⊥OC，垂足为点O.试判断∠AOE与∠DOE有怎样的数量关系，并说明理由． 解：∠AOE＝∠DOE. 理由：如图，∵OE⊥OC， ∴∠1＋∠3＝90°.又∠AOB＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°，又∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4，即∠AOE＝∠DOE 命题 证明：推理的过程 真命题和假命题 定理：经过证明的真命题 分类 公理(基本事实)：公认的真命题 课堂小结 定义、公理 反映大小关系的有关性质 定理 运算和运算法则 证明的依据 $$