2025年海南省中考数学复习专训---专项 二次函数与线段问题课件

2025海南数学 二次函数与线段问题 2025年海南中考数学复习专训---专项 一阶 函数微技能 例1　 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m. 满分技法 设动点坐标的方法：设出动点的横坐标，代入对应的函数表达式得到动点的纵坐标； 能力点一　设抛物线上动点坐标 (1)点P的坐标为____________________(用含m的代数式表示)，m的取值范围为　　　　； 0＜m＜3 (m，－m2＋2m＋3) 满分技法 特点：竖直方向直线上点的横坐标相等 计算方法：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长 能力点二　表示竖直方向的线段长 (2)如图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，则点D的坐标为　　　　 ，点E的坐标为_______________，并分别写出PD，PE的长(用含m的代数式表示)； 图① PD＝－m2＋2m＋3，PE＝－m2＋3m (m，－m＋3) (m，0) 【解法提示】如解图， 解图 ∵点P在直线BC上方的抛物线上，横坐标为m， ∴P(m，－m2＋2m＋3). 解图 ∵PD⊥x轴， ∴D(m，0)，易得点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3. ∵点D的坐标为(m，0)， ∴点E的坐标为(m，－m＋3)， ∴PD＝yP＝－m2＋2m＋3， PE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m. 满分技法 特点：水平方向直线上点的纵坐标相等 计算方法：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长 能力点三　表示水平方向的线段长 (3)如图②，过点P作PF∥x轴，交BC于点F，交y轴于点G，则点F的坐标为_______________________，点G的坐标为___________________，并分别写出PF，PG的长(用含m的代数式表示)； 图② PG＝m，PF＝－m2＋3m (0，－m2＋2m＋3) (m2－2m，－m2＋2m＋3) 【解法提示】如解图， 解图 由(2)知直线BC的表达式为y＝－x＋3， ∵PF∥x轴，且与y轴交于点G， ∴yF＝－m2＋2m＋3，PG＝xP＝m. 解图 ∵点F在直线BC上， ∴－m2＋2m＋3＝－xF＋3，解得xF＝m2－2m， ∴PF＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m. 综上所述，点F，G的坐标分别为 (m2－2m，－m2＋2m＋3)，(0，－m2＋2m＋3)， PG＝m，PF＝－m2＋3m. 遇到斜直线的解题步骤 第一步：以所求解线段长为一边构造直角三角形； 第二步：找与其相似的直角三角形(一般情况下，二次函数图象与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似)； 第三步：利用三角函数或相似三角形的性质列等量关系式求解 满分技法 能力点四　表示不与坐标轴平行的线段长 (4)如图③，过点P作PH⊥BC于点H，请求出PH的长(用含m的代数式表示). 图③ (4)如解图，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E， 解图 令y＝0， 则x1＝－1，x2＝3， ∴B(3，0)，令x＝0，则y＝3， ∴C(0，3)， PE＝－m2＋3m， ∴OC＝OB＝3. ∵∠BOC＝90°， ∴在Rt△OBC中，BC＝＝＝3. ∵PD⊥x轴， ∴PD∥OC，∴∠OCB＝∠HEP. 解图 ∵PH⊥BC， ∴∠PHE＝∠BOC，∴△PEH∽△BCO， ∴＝， ∴PH＝＝＝－(m2－3m). 二阶 设问突破 例2　已知抛物线y＝－x2＋x＋4与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线BC，P是抛物线上的一个动点(不与点A，B，C重合). (1)如图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝DE时，求点P的坐标； 图① 【思维教练】利用点P和点E的坐标表示出线段长，列方程求解即可. 解：(1)令－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝－2，x2＝4， ∴A(－2，0)，B(4，0)， 当x＝0时，y＝4， ∴C(0，4). 由点B，C的坐标得， 直线BC的函数表达式为y＝－x＋4. 设点P(t，－t2＋t＋4)， 图① ∵PE⊥x轴，∴E(t，－t＋4). ∵PE＝DE， ∴｜－t2＋t＋4－(－t＋4)｜＝｜－t＋4｜， 解得t＝2或t＝4或t＝－2. 图① ∵点P不与点A，B，C重合， ∴t的值为2，∴点P(2，4). (2)如图②，若点P是第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点G，当PG最大时，求点P的坐标； 图② 【思维教练】利用点P的坐标表示出PG的长，根据二次函数的性质求解. (2)由(1)知直线BC的函数表达式为y＝－x＋4； 设P(m，－m2＋m＋4)，∴G(m，－m＋4)， ∴PG＝－m2＋m＋4－(－m＋4) ＝－m2＋2m＝－(m－2)2＋2. ∵－＜0，∴抛物线开口向下， ∴当m＝2时，PG取得最大值2， 此时点P的坐标为(2，4). 图② (3)如图③，若点P是第一象限内一动点，当点P到直线BC的距离PM最大时，求点P的坐标； 【思维教练】利用点P的坐标和三角函数表示出PM的长，根据二次函数的性质求解. 图③ (3)如图③，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G， G ∴∠PGM＝∠OCB. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝∠PGM＝45°， 在Rt△PMG中，PM＝PG·sin∠PGM＝PG·sin 45°＝PG， 设P(n，－ n2＋n＋4)，则G(n，－n＋4)， 由(2)可知PG＝－(n－2)2＋2， 图③ G ∴PM＝－(n－2)2＋. ∵－＜0， ∴当n＝2时，PM取得最大值，此时点P的坐标为(2，4). (4)如图④，点Q为抛物线对称轴上一动点，连接AQ，CQ，求AQ＋CQ的最小值. 【思维教练】根据对称性可确定AQ＋CQ的最小值为BC的长，利用勾股定理即可求出BC的长. 图④ (4)∵点A与点B关于抛物线对称轴对称， ∴当点Q在BC与对称轴的交点处时， AQ＋CQ的值最小，最小值即为BC的长， 在Rt△BOC中，∵OB＝4，OC＝4， ∴BC＝＝4，∴AQ＋CQ的最小值为4. (5)如图⑤，若点P是第一象限内一动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线分别交BC于点S，T，求CS＋BT的最小值. 【思维教练】求CS＋BT的最小值，转化为求TS的最大值，通过表示ST，PT的长度，利用勾股定理和二次函数性质求出最值. 图⑤ (5)∵B(4，0)，C(0，4)， ∴OB＝OC＝4， ∴BC＝4，∠OCB＝45°. ∵PS∥x轴，PT∥y轴， ∴PS⊥PT， ∴∠PTC＝∠PSB＝45°， ∴△PTS是等腰直角三角形. 图⑤ 设P(p，－ p2＋p＋4)， 则T(p，－p＋4)， ∴PT＝－p2＋p＋4－(－p＋4)＝－p2＋2p， ∴ST＝PT＝×(－p2＋2p)＝－p2＋2p， ∴CS＋BT＝BC－ST＝4－(－p2＋2p)＝p2－2p＋4 ＝(p－2)2＋2. 图⑤ ∵＞0， ∴当p＝2时，CS＋BT取得最小值，最小值为2， ∴CS＋BT的最小值为2. 谢谢 $$