专题1.3 集合的基本运算（9类必考点）2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

专题1.3 集合的基本运算 【知识梳理】 1 【考点1：并集的概念及运算】 2 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 3 【考点3：交集的概念及运算】 3 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 4 【考点5：全集与补集的概念及运算】 6 【考点6：交并补混合运算】 6 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 7 【考点8：集合的应用】 9 【考点9：集合的新定义】 11 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【考点3：交集的概念及运算】 1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 2．（2025·山西·模拟预测）已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 3．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设或，，，求的取值范围． 6．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（辽宁省辽南协作体2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷）若全集，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则 ，（ ． 【考点6：交并补混合运算】 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【考点8：集合的应用】 1．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 3．（多选）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 5．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【考点9：集合的新定义】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 2．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算 【知识梳理】 1 【考点1：并集的概念及运算】 2 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 4 【考点3：交集的概念及运算】 6 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 8 【考点5：全集与补集的概念及运算】 11 【考点6：交并补混合运算】 13 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 15 【考点8：集合的应用】 19 【考点9：集合的新定义】 23 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由已知集合，， 则. 故选：B 2．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的运算可求答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 【答案】C 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合的不等式，然后求这两个集合的并集. 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确集合的元素，再将集合与集合的元素合并起来得到并集. 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 6．（2025·全国·模拟预测）已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】由于，， 故， 故选：A 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 2．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合并集的定义，再结合数轴可得. 【详解】根据，结合数轴（如图）可知，在2的左侧或与2重合，故， 即实数的取值范围是． 故答案为： 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【分析】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值． 【详解】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出集合，再由按或或或分类讨论求解． 【详解】依题意，集合，由，得，则或或或， 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解； 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解， 所以实数的范围是． 故答案为： 6．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 【考点3：交集的概念及运算】 1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述法化简集合，再结合集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C. 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，然后由交集运算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合A，B的元素，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得或，， 由，则，所以， 故选A． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集运算，即可得到结果. 【详解】由集合，，得. 故选：A. 5．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 2．（2025·山西·模拟预测）已知集合，．若，则的最大值是（    ） A．2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】由题意得到，即可求解. 【详解】由，， 可知， 所以，即的最大值是1. 故选：D. 3．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由题意知，再列举出所有符合条件的集合即可. 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设或，，，求的取值范围． 【答案】或 【分析】根据，则有，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由于或， ， 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或． 6．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用集合的并运算求集合即可； （2）根据包含关系有，即可求参数范围； （3）由交集结果有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，故； （2）由，则，可得； （3）由，即， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上，. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：A. 2．（2025·广东揭阳·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为或， 所以，故. 故选：D. 3．（辽宁省辽南协作体2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷）若全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集，补集与子集的意逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，，故AD错误； 所以，，所以，，故B正确，C错误. 故选：B. 4．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由题设，则． 故选：A. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 【考点6：交并补混合运算】 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集、并集、 运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【详解】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 5．（多选）（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或. 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是或． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是或． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是或． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 【考点8：集合的应用】 1．（2025高一·全国·专题练习）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 3．（多选）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【答案】44 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则，    由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.    故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 【考点9：集合的新定义】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 2．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 3．（多选）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（   ） A． B．若，则 C． D．集合表示y轴所在直线 【答案】BCD 【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【详解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$