专题10：期末满分冲刺 （押题篇）-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题10 期末满分冲刺（押题篇） 题型一：填空题 1．（2024华师大二附中期末）与2023°终边重合的最小正角是 　　． 2．（2022松江区期末）已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为　　cm． 3．（2024松江区期末）化简：＝　　． 5．（2024华师大二附中期末）已知tanx＝﹣2，则sin2x＝　　． 4．（2023上海市实验学校期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝　　． 5．（2024上海实验学校期末）在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状是 　　三角形． 6. （2023静安区期末）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角A的余弦值是_____. 7．（2024普陀区二模）函数的最小正周期为______． 8．（2024静安区一模）已知函数f（x）＝sin（π﹣ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x）在（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 　　． 9．（2024建平中学期末）已知，，则在向上的数量投影为 　　． 10．（2024黄浦区二模）已知、满足||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3|的最小值为 　　． 11．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 12.（23-24高一下上海阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 13．（23-24七宝中学高一期末）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 14．（2024建平中学期末）如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝　　． 14．（2024上海高一课时作业）已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，，若，则实数λ的值为 　　． 15.（2024上海高一课时作业）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 16．（2024建平中学期末）定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是 　． ①若，则与共线； ②； ③； ④． 17．（2024建平中学期末）△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sinB＝cosA•sinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为 　　． 18．（2024大同中学期末）i是虚数单位，则＝　　． 19．（2024建平中学期末）关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝　　． 20．（2024格致中学期末）定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为 　　． 21．（2024华师大二附中期末）已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　　． 题型二：选择题 22．（2024·上海·模拟预测）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 23. （2024静安区期末）若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 24．（2024华师大二附中期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2 25．（2024上海高一课时作业）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 26.（2024上海高一课时作业）已知复数，则下列结论不正确的（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 27．（2024上海高一课时作业）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 28．（2024建平中学期末）如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（　　） A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 28．（2024上海高一课时作业）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型三：解答题 29．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 30．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 31. （2024上海高一课时作业）已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 32.（2024上海高一课时作业）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 33．（2024闵行区高一期末）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 34．（2022松江区期末）已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）． （1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； （2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值． 35.（2024上海高一课时作业）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 题型四：综合压轴题 36．（2024复旦附中高一期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）． （1）若一根为1﹣2i，求a，b的值； （2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件； （3）设a＝b＝2，z0是虚数根，记z0，，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值． 37．（2024复兴高级中学高一期末）已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2． （1）若t＝0且，求x的值； （2）设t＝f（x），已知，求． 38．（2023松江二中高一期末）已知x∈R，，． （1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围； （2）求证：与不平行； （3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围． 39．（2024华师大二附中期末）已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]． （1）若θ＝，P1的坐标为（20，21），求； （2）若θ＝，||＝6，求||的最大值； （3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cosα，sinα）时，△P1P2P3为等边三角形，求θ的所有可能值． 题型五：新定义问题 40.（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 41．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题10 期末满分冲刺（押题篇） 题型一：填空题 1．（2024华师大二附中期末）与2023°终边重合的最小正角是 　　． 解：因为2023°＝5×360°+223°， 所以与2023°终边重合的最小正角是223°． 故答案为：223°． 2．（2022松江区期末）已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为　　cm． 解：由题意，扇形的弧长为＝πcm， ∴扇形的周长为（40+π）cm． 故答案为：40+π． 3．（2024松江区期末）化简：＝　　． 解：＝•＝1． 故答案为：1． 5．（2024华师大二附中期末）已知tanx＝﹣2，则sin2x＝　　． 解：因为tanx＝﹣2， 所以sin2x＝＝＝＝﹣． 故答案为：﹣． 4．（2023上海市实验学校期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝　　． 解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α， 即2sin2α＝4sinαcosα； 又α∈（0，π），所以sinα≠0， 所以sinα＝2cosα＞0； 由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1， 解得cosα＝． 故答案为：． 5．（2024上海实验学校期末）在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状是 　　三角形． 解：由正弦定理可得 sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB， ∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 6. （2023静安区期末）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角A的余弦值是_____. 【答案】 7．（2024普陀区二模）函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案. 【解析】函数的最小正周期为 故答案为： 8．（2024静安区一模）已知函数f（x）＝sin（π﹣ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x）在（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 　　． 解：∵函数f（x）＝sin（π﹣ωx）+cos（ωx）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+）（ω＞0）， 当x∈（π，2π）时，ωx+∈（ωπ+，2ωπ+）， f（x）在（π，2π）内没有零点，∴2ωπ+≤π，或ωπ+≥π且2ωπ+≤2π， 解得0＜ω≤，或≤ω≤． 综上可得，ω的取值范围是（0，]∪[，]． 故答案为：（0，]∪[，]． 9．（2024建平中学期末）已知，，则在向上的数量投影为 　　． 解：∵，， ∴（）•＝2||²﹣＝8﹣＝0，∴＝8， ∴向量在向量方向上的数量投影|||cos＜，＞＝＝＝4． 故答案为：4． 10．（2024黄浦区二模）已知、满足||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3|的最小值为 　　． 解：因为||＝4，在方向上的数量投影为﹣2，所以||cosθ＝﹣2，其中θ为，夹角， 即＝﹣2，∴＝﹣2||＝﹣8， 则|﹣3|＝＝＝＝10． 则|﹣3|的最小值为10，当θ＝0时取等号． 11．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算即得. 【详解】依题意，，， ，， 因此，而， 所以向量与的夹角。 故答案为： 12.（23-24高一下上海阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【解答过程】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由 ； 由 ； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为：. 13．（23-24七宝中学高一期末）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【解题思路】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【解答过程】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 14．（2024建平中学期末）如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝　　． 解：以D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设BD＝a，∠OBD＝θ，则D（0，0），B（﹣a，0），O（﹣a+2cosθ，2sinθ），A（﹣2a+4cosθ，4sinθ）， ∴＝（a﹣4cosθ，﹣4sinθ），＝（2a，0）， ∵OD＝1，∴（﹣a+2cosθ）2+4sin2θ＝1，整理得：a2﹣4acosθ＝﹣3， ∴＝2a2﹣8acosθ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 14．（2024上海高一课时作业）已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，，若，则实数λ的值为 　　． 解：， ， 所以， 解得 ． 故答案为：． 15.（2024上海高一课时作业）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【解答过程】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为：. 16．（2024建平中学期末）定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是 　． ①若，则与共线； ②； ③； ④． 解：由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，∴与共线，∴①对； 例如：＝﹣，与（或）不共线，+＝，∴②中等式左边为0，右边不为0，∴②错； 当λ＜0时，③中等式左边为负，右边为正，∴③错； ④中等式左边＝||2||2sin2＜，＞+||2||2cos2＜，＞ ＝||2||2（sin2＜，＞+cos2＜，＞）＝||2||2＝右边．∴④对． 故答案选：①④． 17．（2024建平中学期末）△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sinB＝cosA•sinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为 　　． 解：由△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列得2b＝a+c，由正弦定理得2sinB＝sinA+sinC， 由sinB＝cosA•sinC得sin（A+C）＝cosAsinC得C＝，由2sinB＝sinA+sinC得2cosA＝sinA+1， 代入sin2A+cos2A＝1可得sinA＝，cosA＝，由，得bccosA＝16，得bc＝20， 可令a＝3，b＝4，c＝5，以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图： 则A（4，0），B（0，3），C（0，0），设P（s，t）， 根据得（s﹣4，t）＝λ（﹣s，3﹣t）∴3s+4t＝12， 由得（s，t）＝（2x，0）+（0，3y），∴， ∴12＝6x+4y≥2，得xy≤，∴xy的最大值为 ． 故答案为：． 18．（2024大同中学期末）i是虚数单位，则＝　　． 解：∵＝＝＝﹣i， （﹣i）4＝1，（﹣i）2021＝[（﹣i）4]505×（﹣i）＝﹣i， ∴＝＝＝﹣i， 故答案为：﹣i． 19．（2024建平中学期末）关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝　　． 解：∵x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+）， ∴（1+ni）2+m（1+ni）+2＝0， 整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni＝0， ∵n＞0， 根据复数相等的条件可得，m+2＝0，3+m﹣n2＝0， ∴m＝﹣2，n＝1， 则m+n＝﹣1， ∴＝﹣2． 故答案为：﹣2． 20．（2024格致中学期末）定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为 　　． 解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z'＝b+ai， z′+z＝（a+b）+（a+b）i，＝（a+b）+（a﹣b）i， ∵，∴a2+b2＝2， ∴|（z′+z）（）|＝|（z′+z）||（）|＝ ＝＝． 当且仅当a＝b时等号成立． 故答案为：． 21．（2024华师大二附中期末）已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　　． 解：设w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R）， ∵﹣＝，∴（﹣）•（w1﹣w2）＝4，即（（a﹣b）﹣（c﹣d）i）（（a﹣b）+（c﹣d）i）＝4， 即（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，故w1、w2对应平面内距离为2的点，如图F、G， ∵|wj﹣za|∈{1，3}，∴za与w1、w2对应的点的距离为1或3， 构成了点A、B、C、D、E共5个点， 故k的最大值为5， 故答案为：5． 题型二：选择题 22．（2024·上海·模拟预测）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 23. （2024静安区期末）若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 【答案】B 24．（2024华师大二附中期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2 解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数， ∴，∴a＝2， 故选：A． 25．（2024上海高一课时作业）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 26.（2024上海高一课时作业）已知复数，则下列结论不正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【解答过程】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：B 27．（2024上海高一课时作业）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】由 ， 则图像向右平移个单位长度可得， ， 因为， 所以不是图像的一条对称轴，A错； 由，得的最小正周期为，B错； 由， 所以点是图像的一个对称中心，C正确； 由，则， 所以在上有增有减，D错. 故选：C 28．（2024建平中学期末）如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 解：建立如图所示平面直角坐标系， 则B（0，0），A（0，2），O（1，1）， 设C（m，0），D（n，2），（m＞1，n＞1）， 则CD所在直线方程为，即2x+（m﹣n）y﹣2m＝0， 由题意，，整理得m+n﹣mn＝0（m，n＞1）， ，，，， ∴＝2﹣n，当AD的长度增加时，n增大，则越来越小，故①正确； ＝（m+n﹣4，0）， ＝＝|mn﹣4|， 当AD的长度增加时，n增大，|mn﹣4|是变化的，故②错误． 故选：C． 28．（2024上海高一课时作业）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解. 【解析】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH， 所以 作，则, 因为，所以， 所以，同理可得其余各点坐标， ， 对于A ，，故A正确； 对于B ，，故B正确； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D ,，， ，故D不正确. 故选：D. 题型三：解答题 29．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【解析】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 30．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【解析】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 31. （2024上海高一课时作业）已知. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在中，若，，求. 【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【小问1详解】 ， 故函数的最小正周期为，最大值为. 【小问2详解】 由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 32.（2024上海高一课时作业）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以. （2）因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 33．（2024闵行区高一期末）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 34．（2022松江区期末）已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）． （1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； （2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值． 解：（1）∵z2＝2﹣（3a+1）i，∴＝2+（3a+1）i， z1﹣＝a+2+（a2﹣3）i﹣（2+（3a+1）i）＝a+（a2﹣3a﹣4）i， 又∵复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限， ∴a＞0且a2﹣3a﹣4＞0， 解得a＞4，即实数a的取值范围为（4，+∞）， （2）∵虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，∴虚数也是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根， 则，解得m＝13． 35.（2024上海高一课时作业）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【解题思路】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【解答过程】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 题型四：综合压轴题 36．（2024复旦附中高一期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）． （1）若一根为1﹣2i，求a，b的值； （2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件； （3）设a＝b＝2，z0是虚数根，记z0，，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值． 解：（1）若一根为1﹣2i，则（1﹣2i）2+a（1﹣2i）+b＝0，∴a+b﹣3﹣（2a+4）i＝0， ∴，∴， （2）设模为1的虚数根为m+ni（m，n∈R且n≠0）， 则（m+ni）2+a（m+ni）+b＝0，∴m2﹣n2+am+b+（2mn+an）i＝0， ∴，∴b＝1，a＝﹣2m， ∵m2+n2＝1，∴m∈（﹣1，1）， ∴a＝﹣2m∈（﹣2，2），b＝1． （3）若a＝b＝2，则实系数一元二次方程为x2+2x+2＝0， ∵x＝＝﹣1±i， ①若z0＝﹣1+i，∴＝﹣2i，＝﹣1+3i，∴A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（﹣1，3）， ∴＝1﹣3＝﹣2， ②若z0＝﹣1﹣i，∴＝2i，＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3）， ∴＝1﹣3＝﹣2， 综上，＝1﹣3＝﹣2． 37．（2024复兴高级中学高一期末）已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2． （1）若t＝0且，求x的值； （2）设t＝f（x），已知，求． 解：（1）t＝0，z1＝z2． ∴sin2x＝a+（a﹣cos2x）i， ∴sin2x＝a，a﹣cos2x＝0， ∴sin2x﹣cos2x＝0， ∴tan2x＝， ∵， ∴0＜2x＜， ∴2x＝，或2x＝， 解得x＝，或x＝． （2）z1＝z2． ∴sin2x+ti＝a+（a﹣cos2x）i， ∴sin2x＝a，t＝a﹣cos2x＝， ∴t＝sin2x﹣cos2x＝f（x）， ∴f（α）＝sin2α﹣cos2α＝， ∴sin2α﹣cos2α＝， ∴sin（2α﹣）＝， ∴＝sin[2（2α﹣）+]＝﹣cos[2（2α﹣）]＝﹣[1﹣2]＝2×﹣1＝﹣． 38．（2023松江二中高一期末）已知x∈R，，． （1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围； （2）求证：与不平行； （3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围． 【解答】（1）解：＝2sinxcosx+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）． 当sin（2x﹣）＝1时f（x）取得最大值，此时2x﹣＝2kπ+得x＝kπ+，∴函数f（x）取最大值时x的取值范围是 {x|x＝kπ+，k∈Z}． （2）证明：2＝（2sinx，2（sinx﹣cosx））， 假设∥2，则2cosx•2（sinx﹣cosx）﹣2sinx（sinx+cosx）＝0， 得2sinxcosx﹣2cos2x﹣sin2x﹣sinxcosx＝0， sin2x﹣sin2x﹣cos2x﹣1﹣+cos2x＝0， （1﹣）（sin2x﹣cos2x）＝1+， 得sin（2x﹣）＝7+4，显然无解． ∴与不平行； （3）解：∵△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴ac＝a2+c2﹣accosB≥2ac﹣2accosB， ∴cosB≥，∴B∈（0，]，∴x∈（0，]． 令g（x）＝+，则g（x）＝+＝2sin（2x﹣）+． 由x∈（0，]得2x﹣∈（﹣，]，令2x﹣＝m∈（﹣，]， 函数g（x）即为h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]， 若关于x的方程有且仅有一个实根， 则函数h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]与y＝t有且仅有一个交点， ∵函数h（m）＝2sinm+，在（﹣，]上单调递增，值域为（﹣，]， ∴实数t的范围是（﹣，]． 39．（2024华师大二附中期末）已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]． （1）若θ＝，P1的坐标为（20，21），求； （2）若θ＝，||＝6，求||的最大值； （3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cosα，sinα）时，△P1P2P3为等边三角形，求θ的所有可能值． 解：（1）若θ＝，则＝（cos，sin）＝（0，1）， 则＝2[﹣（•）]＝2{（20，21）﹣[（0，1）•（20，21）]（0，1）}＝2[（20，21）﹣（0，21）]＝（40，0）， 所以＝2[﹣（•）]＝2{（40，0）﹣[（1，0）•（40，0）]（1，0）}＝（0，0）； （2）因为||＝6，不妨设＝6（cosα，sinα）， 由向量＝（cosθ，sinθ）， 得＝2[﹣（•）] ＝2[6（cosα，sinα）﹣6cos（α﹣θ）（cosθ，sinθ）] ＝12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ）） 所以＝2[﹣（•）] ＝2[12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣12sinθsin（θ﹣α）（1，0）] ＝24（0，cosθsin（α﹣θ））， 若θ＝，则cosθ＝﹣，sinθ＝， 则||＝12|sin（α﹣）|＝12|sin（α+）|， 所以，当|sin（α+）|＝1时，||取最大值12； （3）＝2[﹣（•）] ＝2[（cosα，sinα）﹣（cosαcosθ+sinαsinθ）（cosθ，sinθ）] ＝2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））， ＝2[﹣（•）] ＝2[2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣2sinθsin（θ﹣α）（1，0）] ＝4（0，cosθsin（α﹣θ））， 所以＝（2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα，2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα）， ＝（2sinθsin（α﹣θ），2cosθsin（α﹣θ））， 因为△P1P2P3为等边三角形， 所以||＝||＝2|sin（α﹣θ）|＝1， cos＜，＞＝＝﹣， 所以|sin（α﹣θ）|＝， 2sinθsin（α﹣θ）[2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα]+2cosθsin（α﹣θ）[2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα]＝﹣， 即﹣4sin²θsin²（α﹣θ）﹣2sinθcosαsin（α﹣θ）+4cos²θsin²（α﹣θ）﹣2cosθsinαsin（α﹣θ）＝﹣， 即4sin²（α﹣θ）（cos²θ﹣sin²θ）﹣2sinθcosαsinαcosθ+2sinθcosαcosαsinθ﹣2cosθsinαsinαcosθ+2cosθsinαcosαsinθ＝﹣， 即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2cos²θsin²α＝﹣， 即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α（1﹣sin²θ）＝﹣， 即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α+2sin²αsin²θ＝﹣， 即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θ﹣2sin²α＝﹣， 即cos²θ+sin²θ﹣2sin²α＝﹣， 即1﹣2sin²α＝﹣， 即cos2α＝﹣，且2α∈[0，2π）， 所以α＝或， 当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或， 当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或， 所以θ的所有可能值为、、． 题型五：新定义问题 40.（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见详解；② 【知识点】充要条件的证明、数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 41．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【解析】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$