专题09：期末满分冲刺 （重难点篇）-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末满分冲刺（重难点篇） 重难点一：三角恒等变换 1．（2021上·上海静安·高三校考期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得到与的范围，再利用正余弦函数的和差公式，对选项逐一进行化简，从而利用正余弦函数的性质即可判断. 【解析】因为、是不同的两个锐角，即， 所以，， 对于A，因为， 所以一定成立，故A错误； 对于D，可能成立，故D错误； 对于B，因为， 所以恒成立， 即一定不成立，故B正确； 对于C，可能成立，故C错误. 故选：B. 2．（2023下·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）若，且，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式得到，即可得到或，再将上式平方即可得解； 【解析】因为， 所以， 所以， 即， 解得或， 当时，，， 即，解得； 当时，，， 即，解得. 故选：D 3．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【解析】（1） （2）由题意可知 ， ， . 重难点二：解三角形最值与范围 4．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 5．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 6．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 重难点三：求w的值与范围 7．（2023上海高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A．（，] B．（，] C．[，） D．[，） 【答案】C 【解析】， 令，，则，， 函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选：C. 8．（2023上海高三专题练习）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根， ， 如图： ①当，则，得无解； ②当，则，求得； ③当时，则，求得； ④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意； 综上，可得或； 故选：D. 9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由函数的一个对称中心为， 可得， 所以，， ，， ， 由在区间上不单调， 所以在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以， 所以，， 又，所以， 所以， 当时，， 此时的最小正整数为. 故选：B 10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数，， 因为在区间上单调递增，由，则， 于是且，解得且，即， 当时，，因为在区间上只取得一次最大值， 因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 重难点四：三角函数性质综合 11．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 【答案】C 【分析】求出即可判断选项A；由正弦函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断C；判断，即可判断D． 【详解】对于A，若，则， ，不是最值， 所以不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则， 当时，，因为正弦函数在上不单调， 所以函数在上不是增函数，故B错误； 对于C，，则， 因为函数在上最大值为1， 所以，解得，故C正确； 对于D，若，函数， 因为， 所以函数的最小正周期不是，故D错误． 故选：C． 12．（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式化简的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为， 将函数的图像沿轴向右平移个单位得到， 又，所以为奇函数，故A错误； 因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误； 当时，因为在上单调递减， 所以函数在上是严格增减函数，故C错误； 当时，所以， 则，即函数在上的值域为，故D正确. 故选：D 13．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 重难点五：平面向量的最值与范围 14．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性表示，结合共面的性质，可得，即可利用基本不等式求解. 【详解】由可得, 四点共面且任意三点不共线，所以， 故， 由于均为正数，所以， 当且仅当，即等号成立， 故答案为：4 15．（20-21高三上·四川成都·阶段练习）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出，，得到与取得最大值时，与恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为，根据向量线性运算的几何意义，可得，， 即，， 所以，， 当时，由可得，即， 所以，因为向量夹角大于等于且小于等于，所以，故； 当时，由可得，即， 所以，故，所以， 此时与恰好反向，且模都取得最大值，所以的最小值是. 故选：B. 【点睛】思路点睛： 求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 16.（23-24上海高三阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 17．（2024七宝中学高一期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围. 【详解】设，则，因为， 所以， 又，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：D 18.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【解题思路】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【解答过程】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 19．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】作，根据已知可判断点C在以AB为直径的圆上，利用向量数量积的性质求和圆的半径，然后可得. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 作，因为， 所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E， 则， 因为，所以圆E的半径为2， 所以，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据平面向量的线性运算的几何意义，将问题转化为圆上动点到圆外定点的距离最大值问题. 20.若向量的模均为2，且，则的最大值（  ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算率，将展开，可得，然后根据模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，又，即， 故选：C 21．（23-24高一下·上海·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)正三角形，面积为 (2) 【分析】（1）根据题设判断为正三角形,再利用求出的边长即得； （2）由题意，以点A为原点建系，根据判断轨迹，并设点，将表示成关于的三角函数，结合图象即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意，因为OA = OB = OC，即点O是的外心． 又      OB⊥AC． 同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即说明点O是的垂心，   所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，O是的中心． 因为,解得 由正弦定理，,解得， 故的面积为. （2） 如图，取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系， 则有． 由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆, 故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点， 所以点M的坐标为， 故 ， 因，则得, 故当，即时，取得最大值1，故的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量在判断三角形形状、求向量模长上的应用，属于难题. 解题的关键在于运用向量的线性运算、数量积运算化简等式，进而判断三角形形状；对于动点轨迹的问题，一般建系后，利用几何意义，设参数得点坐标，将相关向量用参数表示求解. 22．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是 【答案】 【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解. 【详解】设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ 由上可得，④ ①④联立可得， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）已知向量模，对模平方可以建立向量与向量夹角余弦值的关系；（2）求向量夹角的余弦值，可以用向量数量积的定义建立向量模与余弦值的关系； 23．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解. 【详解】因为是平面内一组基底，即不共线， 设，显然、不共线，且均不为零向量， 设的夹角为，则，， 又因为，则， 即，整理得， 所以， 又因为，则， 所以与所成角的最大值为. 故答案为：. 重难点六：复数几何意义与模有关的最值与范围 24．（2024松江区高一期末）已知i为虚数单位，如果复数z满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先根据，结合复数模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据的几何意义，求得的最小值. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，因为，， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹为线段（包括端点），如图所示. 问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值.因此作于，则与之间的距离即为所求的最小值，即. 故选：A.      【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 25.（2023徐汇区高一期末）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 26.（2024普陀区高一期末）若复数，满足，，则的最小值为 6 ． 【解题思路】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可. 【解答过程】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    重难点七：新定义问题 27．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【解析】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 28．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）取特殊值验证得到答案. （2）根据三角函数的有界性得到，得到答案. （3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案. 【解析】（1），取，，则， 故是函数的“P区间”； （2）， 则， 故不是函数的“P区间”， （3），， 则，故， 故，，不妨设， 则，，故， 即在区间至少上有两个不同的偶数，，即， 当，区间为，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足； 综上所述： 29．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 30．（2022建平中学高一期末）对于一组复数z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么称zp是该复数组的“M复数”． （1）设zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围； （2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由； （3）若，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由． 解：（1）z1＝1+（1﹣x）i，z2＝2+（2﹣x）i，z3＝3+（3﹣x）i， ∵z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”， ∴|z3|≥|S3﹣z3|＝|z1+z2|，代入得≥， 化简，得x（x﹣2）≤0，解得0≤x≤2． （2）∵z1＝i，z2＝1+i，存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”， ∴， 设zk＝xk+yki，k＝1，2，3，则， 相加得（x1+x2+x3）2+（y1+y2+y3）2≤0，∴z1+z2+z3＝0， ∴z3＝﹣1﹣2i． （3）|zn|＝严格减． n为奇数时，z1＝1﹣i， z2+z3+•••+zn＝（）+＝＝[1﹣（）n﹣1， ∴|z1|＝，|z2+z3+•••+zn|＝[1﹣（）n﹣1]， ∴当n为奇数时，复数组z1，z2，z3，•••，zn存在“M复数”， z1是复数组z1，z2，z3，•••，zn的“M复数”， n（n≥3）为偶数时，|zP|max＝|z1|＝， |Sn﹣zp|min＝|Sn﹣z1|min＝|z2+z3+••+zn|＝|（）+（）2+•••+（）n﹣1+i|＝ ＝＝|z1|＝|zn|max， ∴|zn|max＜|Sn﹣zp|min， ∴当n为偶数时，复数组z1，z2，z3，…，zn不存在“M复数”． 31．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值. 【解析】（1）由题意可得：，则，解得：； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； （3）由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末满分冲刺（重难点篇） 重难点一：三角恒等变换 1．（2021上·上海静安·高三校考期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）若，且，则可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 重难点二：解三角形最值与范围 4．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 5．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 6．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 重难点三：求w的值与范围 7．（2023上海高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A．（，] B．（，] C．[，） D．[，） 8．（2023上海高三专题练习）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点四：三角函数性质综合 11．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 12．（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 13．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 重难点五：平面向量的最值与范围 14．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 15．（20-21高三上·四川成都·阶段练习）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16.（23-24上海高三阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024七宝中学高一期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 18.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 19．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 20.若向量的模均为2，且，则的最大值（  ） A． B．1 C．2 D． 21．（23-24高一下·上海·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 22．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是 23．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ． 重难点六：复数几何意义与模有关的最值与范围 24．（2024松江区高一期末）已知i为虚数单位，如果复数z满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 25.（2023徐汇区高一期末）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 26.（2024普陀区高一期末）若复数，满足，，则的最小值为 ． 重难点七：新定义问题 27．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 28．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 29．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 30．（2022建平中学高一期末）对于一组复数z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么称zp是该复数组的“M复数”． （1）设zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围； （2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由； （3）若，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由． 31．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$