专题08：期末满分冲刺 （综合题专训篇）-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题08 期末满分冲刺（综合题专训） 题型一：诱导公式与三角恒变换 1．（22·23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 2．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知：.求： (1)的值； (2)的值 3．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小. 题型二：解三角形 4．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 7．（20-21高三上·上海浦东新·期中）在中，已知. （1）若外接圆的直径长为，求的值； （2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围． 8．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 9.（2024闵行区高三阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，，且. (1)求； (2)求面积的最大值. 题型三：三角函数性质的综合应用 10．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 11．（21-22高三上·上海静安·期中）设函数，且是最大值. (1)求的最小值； (2)在（1）的条件下，如果在区间上的最小值为，求的值. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 13．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 题型四：平面向量综合 14.（24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 15.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 16．（24-25高一下上海阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 17.（24-25高一上上海阶段练习）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 18．（23-24高一下上海·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 19．（2022复旦附中高一期末）在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 20．（2023松江区高一期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 21．（21-22高二下·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中． (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值． 题型五：复数综合题 22.（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 23．已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 24．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 25．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 26.（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 题型六：新定义问题 27．（21-22高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 28．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 29．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 30．（21-22高三上·上海普陀·期中）已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. 31.（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 32．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 33．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 34．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 35．已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题08 期末满分冲刺（综合题专训） 题型一：诱导公式与三角恒变换 1．（22·23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【解析】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 2．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知：.求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）利用两角差的正切公式计算即可； （2）将目标式变形，然后利用将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可. 【解析】（1）由已知， 解得； （2）， 带入得 3．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解的值； （2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小. 【解析】（1），由，，， 又，，， . （2）由（1）可知，，， ， ，. 题型二：解三角形 4．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【解析】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 7．（20-21高三上·上海浦东新·期中）在中，已知. （1）若外接圆的直径长为，求的值； （2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围． 【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）先求出，再利用正弦定理可得的值； （2）由三角形面积得，利用正弦定理可把的表达式利用辅助角公式可二倍角公式结合正弦函数的性质可求的取值范围． 【解析】（1）由已知，又，∴， 故，， 由正弦定理得，∴． （2）由（1）可得，，则，∴． 由正弦定理得， ， 其中为锐角且，故. 由锐角三角形可得，，故， 故，所以， 故，所以， ∴的范围是． 8．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【解析】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 9.（2024闵行区高三阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，，且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角，并结合余弦定理即可求解.（2）由三角形面积公式，再结合余弦定理算出的最大值即可. 【详解】（1）因为，注意到且结合正弦定理 有，整理得， 所以由余弦定理可得. （2）由（1）可知，且注意到，所以有， 利用基本不等式得，即有最大值16，当且仅当时取到； 又由（1）可知，所以， 综上所述：；即面积的最大值为. 题型三：三角函数性质的综合应用 10．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【解析】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 11．（21-22高三上·上海静安·期中）设函数，且是最大值. (1)求的最小值； (2)在（1）的条件下，如果在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据是最大值，求得的值. （2）由题意根据，根据的最小值为，求出a的值. 【解析】（1）解：∵函数 ，且是最大值， ∴，. 解得，，故的最小值为， 故. （2）解：如果在区间上的最小值为， 因为，所以， ∴当时，函数取得最小值为， 解得. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【解析】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 13．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 题型四：平面向量综合 14.（24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、求投影向量 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 15.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以. （2）因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 16．（24-25高一下上海阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【解题思路】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【解答过程】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 17.（24-25高一上上海阶段练习）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案； （2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案； （3）设，结合及（1）可得 ，即可得出结果. 【详解】（1）由三点共线，则存在使得， 则，整理可得， 由三点共线，则存在使得， 则，整理可得； 根据平面向量基本定理可得，解得； 因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得； 又，则, 则， ， ； 则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则， 由共线，设， 又，可得， 则，可得； 所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 18．（23-24高一下上海·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【解题思路】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【解答过程】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19．（2022复旦附中高一期末）在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）当时，则，为的三等分点，，， 所以， ． （2）当时，，， ， ． （3）当时，，， ， 同理，， ， 令， 当，2，3时，， 当或3时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 20．（2023松江区高一期末）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【解析】（1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. （2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. （3）设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 21．（21-22高二下·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中． (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)根据向量的线性运算即可求得答案; (2) 当时，利用向量的线性运算可推得对任意正整数，且， 有,由此可得,结合向量的坐标以及模的计算,可得答案; (3)利用向量的坐标运算求得的表达式,设,分类讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【解析】（1）由题意得当时，, . （2）当时,, 故对任意正整数 ，且， 有 ， , 所以 ,而,故, 所以当时， , 即当时，求. （3）当时， , , , , 故 ，设 , 当时， 当时，上式有最小值 ， 当时， ， 当时,, 当 时，上式有最小值, 综上 的最小值是. 【点睛】难点点睛：本题主要考查了向量的线性运算以及向量模的最值问题，难点在于第三问的最小值问题，解答时利用向量的坐标运算求得其表达式，由于表达式含有两个变量，因此要转化为一元函数问题，即确定取某个值时取得最小值，再结合二次函数知识求解即可. 题型五：复数综合题 22.（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【解题思路】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【解答过程】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 23．已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【解析】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以，，. 24．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【解析】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 25．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析. 【分析】（1）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解. （2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解. 【详解】（1）， 若，即时， 为方程，（）的两个根， 则， 由根与系数的关系，得，， 因此， 当时，， 当时，， 当，即时， 方程的根为共轭复数，， 综上可得，； （2）作出的图象，如图： 当，函数关于直线对称， 当时，点关于直线对称点为， 由于，即 所以函数的图象关于直线对称 当时，为增函数，且； 当时，为减函数，且. 所以当，方程在区间上有唯一解， 在区间上也有唯一解， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查了方程的复数根，解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想. 26.（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 【解题思路】（1）设出的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答. （2）利用复数的加减及乘法运算计算作答. （3）根据给定条件，求出的范围，再将表示为的函数，求出函数的值域作答. 【解答过程】（1）设，则，又是虚数，即有， 因为、是一个实系数一元二次方程的两个根，则、互为共轭复数， 因此，解得， 所以，或，. （2）由（1）知，，则， 对任意整数，. （3）由知，又，即，则， ， 所以. 题型六：新定义问题 27．（21-22高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明； （2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可 【解析】（1）， 所以，， 令， 因为，，所以由零点存在定理可得在有解， 所以存在，使得， 即函数在是“1跃点”函数． （2）由题意得 ， 因为， 所以，当且仅当取等号， 所以的取值范围为． （3），即， 化简得，的最小正周期为， 当，；当（为正整数），； 所以从在上的值可得 ①当时，在有个“跃点”， 故，所以； ②当时，在有个“跃点”，故，无解； ③当或时，在上有个“跃点”，故， 综上，或或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 28．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 29．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)当时，，且； (3)存在，. 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【解析】（1）依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. （2）因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. （3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 30．（21-22高三上·上海普陀·期中）已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意知，结合条件即求； （2）由题可得当时，，再结合函数的单调性可求； （3）结合条件及三角函数的性质即求. 【解析】（1）由题意知对恒成立， 故． （2）由题意知对恒成立． 对于任意自然数，当时， ． 由于在上单调递增，故在上单调递增， 因此对于任意自然数均有，解得． 进一步，对于任意自然数均有， 化简得，又，解得， 综上知实数的取值范围是． （3）若存在，则对恒成立． 注意，故函数的值域为，函数的值域为， 因此，． 当时，有对恒成立，故； 当时，有对恒成立，故． 综上可知或 31.（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见详解；② 【知识点】充要条件的证明、数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 32．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值. 【解析】（1）由题意可得：，则，解得：； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； （3）由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为. 33．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 34．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)， (2)①③错误，②正确，证明见解析 (3)证明见解析，答案见解析 【分析】 （1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得； （3）设满足条件的，，、，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【解析】（1）因为，， 所以， （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，， ， 因为，， 所以 ，故②正确； ，， ，， 设，，， 则，， ， 所以，故，即③错误； （3）设满足条件的，，、， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，则， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 35．已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【解析】（1）依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. （2）依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. （3）因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$