第02讲集合间的基本关系（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断集合的子集个数 典型例题二 求集合的子集 典型例题三 判断两个集合的包含关系 典型例题四 根据集合的包含关系求参数 典型例题五 判断两个集合是否相等 典型例题六 根据两个集合相等求参数 典型例题七 空集的概念及性质 典型例题八 根据两个集合想的关系进行计算 知识点 1 子集与真子集 1、 韦恩图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如． （2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【典型例题一 判断集合的子集个数】 【例1】1．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 【例2】若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据子集的定义直接求解即可. 【详解】若集合有个元素，则其子集个数为， 所以的子集个数为. 故选：A 1．已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 2．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得或或， 则满足题意的的个数是3. 故选：B. 3．设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】列举集合含有两个元素的子集，可得结果. 【详解】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个， 所以集合有3中情况. 故选：C 4．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 5．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 6．已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的定义求得其元素，再求子集的个数即可. 【详解】，根据集合的定义，故可得，则其子集个数有个. 故选：C. 7．设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 8．满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】将问题转换为求给定集合的真子集的个数即可求解. 【详解】原问题等价于求的真子集的个数，故所求为. 故选：C. 【典型例题二 求集合的子集】 【例1】满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】列举出满足条件的集合，即可得出结果. 【详解】满足题设条件的集合有：、、、、、 、，共个. 故选：C. 【例2】满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 1．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集B．任何集合都有真子集C． D． 【答案】A 【分析】根据集合、子集的含义及集合间的关系判断. 【详解】对于A，任何集合都有子集，A正确； 对于B，没有真子集，B错误； 对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误； 对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误. 故选：A 2．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 5．设集合，，则（   ） A． B．⊆ C．⊆ D． 【答案】B 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则⊆，故⊆. 故选：B 6．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 7．下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等和集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，故，A错； 对于B选项，，， 故，B对； 对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错； 对于D选项，， 故，D错. 故选：B. 8．若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定集合及元素的特征，结合元素、集合的关系判断得解. 【详解】由，得是无理数，由，得集合是不超过45的自然数形成的集合， 因此，集合不包含于集合，D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误. 故选：D 【典型例题三 判断两个集合的包含关系 】 【例1】若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 【例2】已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合间的包含关系求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以实数的取值范围是， 故选:D. 3．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系列出方程，求解检验即得. 【详解】由题意，，则有或，解得或， 显然当时，集合中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾， 而时，，，满足. 故选：B. 4．已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【分析】由得或求出值，并根据集合元素互异性检验得解. 【详解】因为，当，即时，，，符合题意； 当，即时，，，符合题意． 综上，或． 故选：D． 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 6．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 7．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 8．下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 【典型例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合常用数集、元素与集合的关系、相等集合的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，与是不同的有序数对，B错误； 对于C，中不含任何元素，C错误； 对于D，是无理数，D错误. 故选：A 【例2】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 1．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 2．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 3．已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得. 【详解】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 4．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解. 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 5．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 6．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 7．下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 8．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【典型例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABC，根据空集的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：C 【例2】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 1．在下列格式中错误的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，结合空集、子集概念判断正误即可. 【详解】，，，，即， 所以①③⑤对，②④错. 故选：B 2．已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【答案】D 【分析】分，两种情况解方程，可求的值. 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 3．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 4．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：由分母不等于0即可判断；对于B：当时，由集合中元素的互异性即可判断；对于C：当时，即可判断；对于D：当，时，即可判断. 【详解】解：对于A：由是集合，所以， ∴选项A错误； 对于B：当时，，与集合中元素的互异性相矛盾， ∴选项B错误； 对于C：当时，，，不合题意， ∴选项C错误； 对于D：当，时，，符合题意， ∴选项D正确. 故选：D. 5．已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 6．下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 7．已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 8．集合的非空子集的个数为 . 【答案】7 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 【例2】2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 【答案】 【分析】根据集合中元素的个数为，则该集合的非空真子集个数为求解即可. 【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：. 1．已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 2．设集合，若集合A同时满足下列三个条件：（1）；（2）若，则；（3）若，则.则集合 . 【答案】或或或 【分析】根据集合间关系和集合和补集定义，分类讨论得出结果。 【详解】因为集合，由（1）；（2）若，则；（3）若，则， 当时，则有，即，则，即，但元素3与集合A的关系不确定，故或； 当时，有，但元素3与集合A的关系不确定，故或. 综上所述，集合或或或. 故答案为：或或或 3．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】或2 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值. 【详解】因为，所以. 根据集合中元素的互异性，可知且. 若，此时，，满足. 若或（舍去）. 此时，，满足. 综上或2. 故答案为：或2 4．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 5．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【分析】解出集合，利用集合相等的概念可得出结果. 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 6．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【分析】根据相等集合的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 7．集合相等 定义：一般地，如果集合A的 一个元素都是集合B的元素，同时集合B的 一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，符号表示：若 ，且 ，则. 【答案】 任何 任何 【分析】略 【详解】略 8．集合相等 【答案】任何  任何     【分析】略 【详解】略 【典型例题七 空集的概念及性质】 【例1】，若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 【例2】设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 1．已知集合，则 . 【答案】-1 【分析】根据相等集合的概念以及集合中元素的互异性可得，从而求解. 【详解】由题意得，，解得或， 当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：-1. 2．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 3．已知.若，则 . 【答案】0 【分析】利用集合的相等推得，求出值并验算即得. 【详解】由，可得， 由，解得或； 当时，，显然与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：0. 4．若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 5．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．若集合，，且，则 . 【答案】4 【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解. 【详解】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 7．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 【答案】3或 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意，或. 故答案为：3或. 8．已知，且，则＝ ． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 【典型例题八 根据两个集合想的关系进行计算】 【例1】已知集合．若，则实数 ． 【答案】1 【分析】由集合相等得，解方程即可. 【详解】由，，可得，. 故答案为：1 【例2】．已知关于x的方程的解集为，则的值为 ． 【答案】1． 【分析】把代入方程求得值，再代入值求得代数式的值． 【详解】由题意，， 所以． 故答案为：1 1．已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等，元素相同，即可求得的值. 【详解】集合，，， ，. 故答案是：. 2．设，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】根据集合相等即对应元素相同可知，从而得出，，从而得出，进而计算出. 【详解】由题意 若，则无意义，故不符合题意，故只能，所以，，， 故答案为：0 3．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 4．写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 5．（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 6．．( ) 【答案】错误 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】根据集合的包含关系可得. 故答案为：错误. 7．．( ) 【答案】错误 【分析】根据元素不同可知集合不相等. 【详解】由题意，，，以上两个集合都是数集，且不相等； 集合是点集，故三个集合互不相等； 故答案为：错误. 8．．( ) 【答案】错误 【分析】根据元素不同可知集合不相等. 【详解】，， 是点集，所以三个集合均不相等. 故答案为：错误. 一、单选题 1．满足条件的集合有种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意知集合必包含，再根据列举出集合即可. 【详解】因为， 所以集合可以为 ， ， 共个. 故选：. 【点睛】本题主要考查的是子集的性质，是基础题. 2．集合A＝{a，b，c，d}非空子集的个数是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】根据集合A的元素个数求解. 【详解】∵集合A＝{a，b，c，d}中有4个元素， ∴非空子集的个数为：24﹣1＝15， 故选：C. 3．设集合，，则使成立的的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】根据集合A，B，以及B⊆A即可得出，从而求出a＝﹣1． 【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A； ∴ ∴a＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义，属于基础题． 4．当集合，，满足，时，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据集合交集和并集的运算性质，结合子集的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以有， 又因为，所以有，因此有. 故选：C 【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算性质，考查了子集的性质，属于基础题. 5．已知为非空数集，，且中至少含有一个奇数元素，则这样的集合共有． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】先得到所有子集的个数,且中至少含有一个奇数元素,即不能为的子集,故减去的子集个数即可 【详解】集合的所有子集共有（个）,集合的所有子集共有2个, 所以满足要求的集合共有（个）. 故选A 【点睛】本题考查子集的定义,考查子集的个数,当集合有个元素时,该集合子集的个数为个 6．设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，即. 【详解】，即..故B正确. 考点：集合间的关系. 7．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（  ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】D 【分析】由集合S＝{0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案. 【详解】∵当xA时，若有x－1A，且x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”， ∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为{0，1，2，3，4，5}，共1个，故S中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D. 【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数. 8．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合B，再写出集合B的真子集，即得真子集的个数. 【详解】由题得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}. 所以集合的真子集如下： ∴集合的真子集个数7个. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题 9．已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可. 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 10．下列叙述正确的是（    ） A．集合N中的最小数是1 B． C．方程的解集是 D．与是相等的集合 【答案】BCD 【分析】利用自然数集元素的大小判断A；利用集合的包含关系判断B；利用方程的解判断C；利用集合的基本性质判断D. 【详解】对于A，集合N中的最小数是0，不是1，故A错误； 对于B，满足集合的包含关系，故B正确； 对于C，方程的解为，故其解集是，故C正确； 对于D，与是相同的集合，满足集合的基本性质，故D正确. 故选：BCD 11．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 三、填空题 12．若集合，，且，则 ． 【答案】0 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 13．已知集合A={x|=a}，当A为非空集合时a的取值范围是 . 【答案】a≥0 【分析】由题意只需方程有解即可. 【详解】解析要使集合A为非空集合，则方程有解， 故只须a≥0. 故答案为：a≥0 14．设集合，则满足的集合为 ；m的取值范围为 ． 【答案】 或或， 或或 【解析】由题意，得到是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数的关系，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，可得集合是集合的子集 又由， 当是空集时，即方程无解，则满足， 解得，即，此时显然符合题意； 当中仅有一个元素，即只有一个实数根，此时， 解得，此时不符合题意，舍去； 当中有两个元素时，即只有两个实数根，由根与系数的关系，可得两根之积为，所以只有都符合题意，此时或， 综上集合可能为或或， 实数的取值范围为或或 故答案为：或或；或或. 【点睛】根据集合的运算求参数问题的方法： 1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解， 2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； 3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 四、解答题 15．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据真子集的定义，来进行判断； （2）根据真子集的定义，能看懂范围的区间表示，进行判断； （3）根据真子集的定义，理解等边三角形和等腰三角形的区别，进行判断． 【详解】（1）解：中唯一元素， 又， ； （2）解：， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， ； （3）解：是等边三角形}，是等腰三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； ． 16．若，求的值. 【答案】或或. 【解析】由集合间的包含关系,得到关于的方程,再利用集合中元素的互异性进行取舍. 【详解】由题意知，或或， 或或或， 当时，不符合集合中元素的互异性，（舍去）， 或或. 【点睛】本题考查集合的包含关系及集合中元素的互异性;属于基础题、常考题型. 17．你能说出集合与集合的关系吗？ 【答案】 【分析】可以表示成，或，，代入集合便可得到，，从而可看出集合的表达形式同集合的相同，进而可判断集合，的关系 【详解】； 或，； 或，，； 又，； ． 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的表示形式，以及描述法表示集合的含义和形式，集合相等的概念，属于基础题. 18．已知集合，，判断这两个集合之间的关系. 【答案】 【分析】由，，得到，然后由，，得到，从而可判断这两个集合之间的关系． 【详解】因为，，所以. 因为，，所以. 故，， 所以. 【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了函数定义域和值域的求法，是基础题． 19．已知，集合，， （1）求证：； （2）如果，用列举法表示集合. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】 （1）若，则成立，则必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论． （2）由，，结合方程根与系数关系可求，，进而可求，然后代入整理可求． 【详解】 证明：（1）若，则成立， 则必成立， 即， 故． 解：（2） ，3是方程的根 ，即，， ，代入， 得， 或， 解得，，，， 【点睛】 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用，考查集合相等、子集性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断集合的子集个数 典型例题二 求集合的子集 典型例题三 判断两个集合的包含关系 典型例题四 根据集合的包含关系求参数 典型例题五 判断两个集合是否相等 典型例题六 根据两个集合相等求参数 典型例题七 空集的概念及性质 典型例题八 根据两个集合想的关系进行计算 知识点 1 子集与真子集 1、 韦恩图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如． （2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【典型例题一 判断集合的子集个数】 【例1】1．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【例2】若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 1．已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 2．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 5．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 7．设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 8．满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典型例题二 求集合的子集】 【例1】满足的集合共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 1．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集B．任何集合都有真子集C． D． 2．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设集合，，则（   ） A． B．⊆ C．⊆ D． 6．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 7．下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题三 判断两个集合的包含关系 】 【例1】若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 4．已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 8．下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 1．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 2．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 4．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 5．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 6．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【典型例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【例2】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 1．在下列格式中错误的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 3．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 4．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 6．下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，则的非空子集的个数是 . 8．集合的非空子集的个数为 . 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】若集合，A的子集个数是 个． 【例2】2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个. 1．已知集合．若，则a的最大值为 ． 2．设集合，若集合A同时满足下列三个条件：（1）；（2）若，则；（3）若，则.则集合 . 3．已知集合，，若，则实数 ． 4．已知集合，，且，则实数的值为 . 5．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 6．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 7．集合相等 定义：一般地，如果集合A的 一个元素都是集合B的元素，同时集合B的 一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，符号表示：若 ，且 ，则. 8．集合相等 【典型例题七 空集的概念及性质】 【例1】，若，则+= . 【例2】设集合，，若，则 . 1．已知集合，则 . 2．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 3．已知.若，则 . 4．若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 5．若集合，则实数的取值范围是 . 6．若集合，，且，则 . 7．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 8．已知，且，则＝ ． 【典型例题八 根据两个集合想的关系进行计算】 【例1】已知集合．若，则实数 ． 【例2】．已知关于x的方程的解集为，则的值为 ． 1．已知集合，，若，则 . 2．设，，若集合，则 . 3．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 4．写出集合的所有子集和真子集. 5．（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 6．．( ) 7．．( ) 8．．( ) 一、单选题 1．满足条件的集合有种 A． B． C． D． 2．集合A＝{a，b，c，d}非空子集的个数是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．设集合，，则使成立的的值是（    ） A． B． C． D．或 4．当集合，，满足，时，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 5．已知为非空数集，，且中至少含有一个奇数元素，则这样的集合共有． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 6．设，，则 A． B． C． D． 7．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（  ） A．16 B．17 C．18 D．20 8．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 10．下列叙述正确的是（    ） A．集合N中的最小数是1 B． C．方程的解集是 D．与是相等的集合 11．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 三、填空题 12．若集合，，且，则 ． 13．已知集合A={x|=a}，当A为非空集合时a的取值范围是 . 14．设集合，则满足的集合为 ；m的取值范围为 ． 四、解答题 15．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 16． 若，求的值. 17． 你能说出集合与集合的关系吗？ 18． 已知集合，，判断这两个集合之间的关系. 19．已知，集合，， （1）求证：； （2）如果，用列举法表示集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$