第01讲集合的概念（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第01讲集合的概念（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断元素是否构成集合 典型例题二 判断元素和集合的关系 典型例题三 根据元素和集合的关系求参数 典型例题四 描述法表示集合 典型例题五 列举法表示集合 典型例题六 根据集合中元素个数求参数 典型例题七 根据两个集合相等求参数 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如0＜x＜5，x∈N构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 【典型例题一 判断元素是否构成集合】 【例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 4．下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 5．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 6．下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 7．下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 8．已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题二 判断元素和集合的关系】 【例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且a∈P，b∈Q，则有（   ） A．a+b∈P B．a+b∈Q C． D．不属于中的任意一个 2．设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 4．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 7．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【典型例题三 根据元素和集合的关系求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 1．（2025高三·全国·专题练习）（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 5．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 6．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【典型例题四 描述法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 4．若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 5．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 7．（多选题）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知集合，则的值可能为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【典型例题五 列举法表示集合】 【例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．已知集合，且，则实数的值为 ． 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．（2025·河南新乡·三模多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 3．（25-26高一上·全国·课后作业多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 4．集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称为 ，常用大写拉丁字母 表示． 5．若，若实数的值为 . 6．若，的值为 . 7．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 8．方程组的解集为 . 【典型例题六 根据集合中元素个数求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 2．已知集合，则 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 2．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 4．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 5．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 6．已知集合、．若，则 ． 7．已知，，若集合，则的值为 ． 8．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【典型例题七 根据两个集合相等求参数】 【例1】25．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 2．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 1．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 4．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 5．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 6．若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 7．已知集合A中含有两个元素a和，则实数a的取值范围是什么? 8（判断题）．在集合中，可用符号表示为．( ) 一、单选题 1．所给下列关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．以下各组对象不能组成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形 3．已知集合，，则集合中所含元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 5．已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 7．定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,,则（　　） A． B． C． D． 8．已知均为非零实数，集合，则集合的元素的个数为． A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 10．[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 11．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 三、填空题 12．用描述法表示“被除余的正整数构成的集合为 ． 13．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 14． 已知集合，则集合用列举法表示为 四、解答题 15．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集哪些是有限集，哪些是空集： (1)英文单词mathematics的所有字母组成的集合； (2)被4除余3的所有整数组成的集合； (3)方程的所有实数根组成的集合； (4)在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合． 16．已知集合，集合中的元素满足，，且，写出集合. 17．用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 18．已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲集合的概念（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断元素是否构成集合 典型例题二 判断元素和集合的关系 典型例题三 根据元素和集合的关系求参数 典型例题四 描述法表示集合 典型例题五 列举法表示集合 典型例题六 根据集合中元素个数求参数 典型例题七 根据两个集合相等求参数 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如0＜x＜5，x∈N构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 【典型例题一 判断元素是否构成集合】 【例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 2．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 4．下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【分析】根据集合中元素的特性即可判断. 【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 5．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 6．下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 7．下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 8．已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 【典型例题二 判断元素和集合的关系】 【例1】1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且a∈P，b∈Q，则有（   ） A．a+b∈P B．a+b∈Q C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当a∈P，b∈Q时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 2．设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 2．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 4．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 5．以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需要注意集合中的元素的形式，本题的A选项和C选项与集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可选出正确答案D. 【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对）， 选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除； 再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上. 故选D． 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系判断得解. 【详解】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 7．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的概念可得集合C中的元素. 【详解】由题意得但 ∴． 故选：A. 【典型例题三 根据元素和集合的关系求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 2．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 1．（2025高三·全国·专题练习）（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据“影子关系”集合概念，举反例说明即可；对于D：根据“影子关系”集合概念，分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 5．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 6．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，即可求出集合. 【详解】由，解得，，故. 故选：C． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 8．集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可. 【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为. 故选：C. 【典型例题四 描述法表示集合】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 2．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 4．若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 5．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 6．（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选题）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 8．（多选题）已知集合，则的值可能为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】BD 【分析】根据只有个元素对进行分类讨论，结合判别式求得，由此求得. 【详解】∵集合，只有个元素， ∴或， 解得或， ∴或 故选：BD. 【典型例题五 列举法表示集合】 【例1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 2．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 2．（2025·河南新乡·三模多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 4．集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称为 ，常用大写拉丁字母 表示． 【答案】 元素 集 A，B，C， 【分析】略 【详解】略 5．若，若实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数的值. 【详解】因为，故或，故或， 若时，，与元素的互异性矛盾； 当，，符合题意； 故， 故答案为： 6．若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 7．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 8．方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 【典型例题六 根据集合中元素个数求参数】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 2．已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 4．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 5．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 6．已知集合、．若，则 ． 【答案】 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 7．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 8．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案. 【详解】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 【典型例题七 根据两个集合相等求参数】 【例1】25．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 2．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等，结合集合的互异性，即可求得，则问题得解. 【详解】要使得有意义，则，由集合， 故可得，此时， 故只需或， 若，则集合不满足互异性，故舍去. 则只能为. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合相等求参数，以及集合的互异性，属综合基础题. 1．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】让依次等于，得出相应的进行讨论即可求解. 【详解】若，则，此时，故满足题意； 若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意； 若，则，此时，故满足题意； 故所求集合为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 4．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 5．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 6．若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 【答案】或 【分析】根据集合元素个数可得，即可求参数值. 【详解】由a和构成的集合只有一个元素，所以，即或. 7．已知集合A中含有两个元素a和，则实数a的取值范围是什么? 【答案】且 【分析】根据集合中元素个数列不等式求参数范围. 【详解】因为集合A中含有两个元素a和，所以，即且． 8（判断题）．在集合中，可用符号表示为．( ) 【答案】错误 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】在集合中，可用符号表示为. 故答案为：错误. 一、单选题 1．所给下列关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的意义可得选项. 【详解】显然，，故①、②正确； 是自然数,但不是正整数,故③不正确； 而，故④不正确. 故选：B 【点睛】此题考查几个常用集合的意义，是基础题. 2．以下各组对象不能组成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形 【答案】B 【解析】根据集合的元素特征，逐个判断即可得解. 【详解】根据集合元素的确定性， 易知：B答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合， 而A，C，D项中集合的元素均确定， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的确定性，是概念题，属于基础题. 3．已知集合，，则集合中所含元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】让分别取中的每一个元素代入计算，注意．用列举法写出中所有元素． 【详解】因为， 所以满足条件的有序实数对为，，，．共四个元素． 故选：B． 【点睛】本题考查集合的概念，考查集合中的元素，解题时注意条件限制后用列举法写出所有元素即可． 4．下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 【答案】D 【分析】根据字母代表的集合即可判断元素与集合的关系. 【详解】因为是自然数，故A错误；因为是无理数，故B错误；因为是实数，故C错误；因为是整数，故D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了常用数集的符号表示，元素与集合的关系，属于容易题. 5．已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因集合是方程的解集，欲使集合至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对进行讨论求解即可． 【详解】解：集合至多有一个元素， 分类讨论： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，要至多有一个元素， 则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根， ，得：，， 综上所述：或． 故选：． 【点睛】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题． 6．如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值. 【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解. 当，，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述：或，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题. 7．定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,,则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：首先求出，的并集再去掉交集即得.同理可得. 考点：新定义及集合基本运算. 8．已知均为非零实数，集合，则集合的元素的个数为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】当，时，；当，时，，当，时，，；当时，，故的所有值组成的集合为，故选A. 二、多选题 9．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分x，y都大于零，x，y中一个大于零，另一个小于零和x，y都小于零求解判断即可 【详解】当x，y都大于零时，； 当x，y中一个大于零，另一个小于零时，； 当x，y都小于零时，． 根据元素与集合的关系，可知，，，． 故选：AB． 10．[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 11．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 三、填空题 12．用描述法表示“被除余的正整数构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据集合的表示方法直接可得解. 【详解】用描述法表示“被被除余的正整数构成的集合”为， 故答案为：． 13．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N 【分析】略 【详解】略 故答案为：确定性；互异性；无序性；属于；；不属于；；N. 14．已知集合，则集合用列举法表示为 【答案】 【分析】由，，可得是12不小于3的因数，列出因数，求解即可 【详解】由，，则是12不小于3的因数，则可为3,4,6,12，即为0,1,3,9， 则集合用列举法表示为 【点睛】本题考查描述法与列举法的转换，列举法表示集合，数集的应用 四、解答题 15．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集哪些是有限集，哪些是空集： (1)英文单词mathematics的所有字母组成的集合； (2)被4除余3的所有整数组成的集合； (3)方程的所有实数根组成的集合； (4)在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是无限集 (3)，是空集 (4)，是无限集 【分析】根据题意，分别用列举法或描述法表述，再指出是无限集，有限集，空集即可. 【详解】（1）英文单词mathematics的所有字母组成的集合为：，是有限集； （2）被4除余3的所有整数组成的集合为：，是无限集； （3）方程的所有实数根组成的集合为：， ∵方程的，∴方程没有实数根，则集合为空集； （4）在平面直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的所有点组成的集合为：，是无限集. 16．已知集合，集合中的元素满足，，且，写出集合. 【答案】 【分析】先按是否取零进行讨论，再根据乘积结果，利用集合元素互异性进行取舍. 【详解】当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，. 所以. 17．用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）小于10的正整数有，再写成集合即可； （2）解方程，然后写成集合即可； （3）直线与y轴的交点为，再写成集合即可； （4）所有的正整数有1，2，3，4，，写成集合即可. 【详解】（1）设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么. （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么. （3）将代入，得，即交点是，故交点组成的集合是. （4）正整数有1，2，3，4，，故由所有正整数组成的集合为. 18．已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对分类讨论：，解出即可判断出是否满足题意．时，中至少有一个元素，满足，解得范围即可得出． （2）对分类讨论：，直接验证是否满足题意．时，由中至多有一个元素，可得，解得范围即可得出． 【详解】解：（1），由，解得，满足题意，因此． 时，中至少有一个元素，，解得，． 综上可得：的取值范围是． （2），由，解得，满足题意，因此． 时，中至多有一个元素，，解得． 综上可得：的取值范围是． 【点睛】本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$