清单01 幂的运算（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单01 幂的运算（6个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 清单03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 清单05 零指数幂与负指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点题型一 同底数幂相乘】（） 1．计算结果为的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不合题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不合题意； 、，该选项不合题意； 故选：． 2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 3．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可求解 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：6 4．若，，则 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则得到，，求出，，然后代数求解即可． 【详解】解：若， ， ， ， ． 故答案为：27． 5．计算： (1)（是正整数）； (2)（是大于1的整数）； (3)（是大于1的整数）； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【考点题型二 同底数幂乘法的逆用】（） 6．已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法法则．由，得，两边都乘以6得，进而可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算．先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，，  再由进行求解即可． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 8．已知，（m，n为正整数），则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式，然后将、整体代入计算即可． 【详解】解：∵，（m，n为正整数）， ∴． 故答案为：6． 9．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘法则，逆用同底数幂相乘法则是解本题的关键． （1）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （2）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （3）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可； （4）先利用同底数幂相乘法则，再逆用同底数幂相乘法法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2） （3） （4） 【考点题型三 用科学记数法表示数的乘法】（） 11．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 12．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 13．世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可． 【详解】解：． 故答案为： 14．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 15．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【考点题型四 幂的乘方运算】（） 16．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，根据幂的乘方法则，同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解∶， 故选∶D． 17．计算的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，直接运用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 18．若，，则 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘．根据幂的乘方得，再逆用同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：75． 19．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用幂的乘方和同底数幂的乘法对原式进行变形得，将代入求值即可． 【详解】解：由得， 将代入上式得， 原式， 故答案为：9． 20．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ 【考点题型五 幂的乘方的逆用】（） 21．计算，则m与n的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用、同底数幂的乘法，根据题意，将等号左右两边都改写成底数为3的乘方形式，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为m，n是正整数，且满足， 所以， 即 所以， 故选：D． 22．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解题关键是能熟练运用幂的乘方的逆用求解． 先将a、b、c、d都化为次方，再比较底数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ， ∴． 故选： B． 23．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘，解题关键是掌握幂的乘方的逆用法则． 先用将待求式子表示出来，再代入求值． 【详解】解：当时， ． 24．已知，，，为正整数，则 （用，表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 25．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)73 (2)576 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【考点题型六 积的乘方运算】（） 26．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，首先根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则可得：原式，再利用合并同类项的法则进行计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：D． 27．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，直接利用幂的乘方运算法则以及结合同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 28．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键． 根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 29．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （2）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （3）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （4）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式； （1）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式的法则计算即可； （3）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可； （4）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可； （5）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可； （6）先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【考点题型七 积的乘方的逆用】（） 31．的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可． 【详解】解：． 故选：B 32．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算进行计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 33．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 34．已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)72 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，代入计算即可； （2）根据，积的乘方，同底数幂的乘方，积的乘方的逆运算法则，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 已知， ∴原式； （2）解：， 已知， ∴原式． 35．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 【考点题型八 同底数幂的除法运算】（） 36．若（   ），则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，根据题意得出，然后根据同底数幂的乘法法则即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：括号内应填的单项式是， 故选：． 37．若，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 运用运算法则直接运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 38．已知方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的运算，幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方计算法则可把所求式子变形为，再根据同底数幂除法计算法则得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 39．如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．根据“助力数”的定义，将转化为，，进而求解出，在计算出的值，最后求出“助力数”． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 40．计算： (1)； (2)（n是正整数，）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂除法和积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法和积的乘方运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【考点题型九 同底数幂除法的逆用】（） 41．若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 42．若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A 43．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆用、幂的乘方，先根据幂的乘方以及同底数幂相除的运算法则将所求式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 44．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 把变形为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 45．当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)；；5；3； (2)见解析 【分析】本题考查幂的运算及逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）小明的做法利用幂的乘法的逆运算即可求解，小丽的做法利用同底数幂的除法的逆用求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【详解】（1）小明做如下尝试： ∵，， ∴， 小丽做如下尝试： ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：；；5；3；； （2）证明：小明： 两式的左边与左边相乘，右边与右边相乘，得 ∴ ∴． 小丽： ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十 幂的混合运算】（） 46．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 47．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 48．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 49．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则进行运算，然后再进行变形，整体代入求值即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ， 把代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 50．已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， . 即. （2）解：． 【考点题型十一 零指数幂】（） 51．计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等．由此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 52．若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂的运算法则，计算、、的值，再比较大小． 【详解】，， ． 故选：B． 53．若有理数m、n满足，则的值为 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则． 故答案为：． 54．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的计算，掌握其计算方法是关键． 先计算零次幂，化简绝对值，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0 ． 55．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【考点题型十三 幂的运算等于1的情况】（） 56．若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 57．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【详解】解： 若，解得：，此时符合题意； 若，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，符合题意； 综上：或． 故选：D． 58．若，则x的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 59．已知，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时，解得： 当时，解得：， 当且为偶数时，解得：， ∴的值为或或． 故答案为：或或． 60．已知a，b是有理数，且，求a，b的值． 【答案】或为任意有理数，或为偶数 【分析】本题主要考查了零指数幂运算法则，乘方运算，根据（），，，得出答案即可． 【详解】解：∵（），，， ∴当时，； 当为任意有理数时，； 当为偶数时，． 【考点题型十四 幂的运算中用x表示y】（） 61．若，用a，b的代数式表示． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键； 将转化为以2为底的幂的形式，然后代入求值即可 【详解】解： ， ，， ． 62．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）由题意得出，即可得出答案； （2）将代入可得答案． 【详解】（1）解：． ， ， ； （2）解：， ， ． 63．若（，，m，n都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利同底数幂的乘法逆运算法则可得出答案； （2）利用幂的乘方的逆用可得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键． 64．已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算： （1）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （2）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （3）利用积的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解：． 65．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 【考点题型十五 由幂的运算确定字母的关系】（） 66．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 67．若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的运算法则可将原式变形为，即为，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即； 故选：C. 68．已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 69．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【分析】本题考查幂的运算： （1）逆用同底数幂的乘法，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 70．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 【考点题型十六 新定义幂的运算】（） 71．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 72．若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 73．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 74．如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 75．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 1．每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．200 C．378 D．1400 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底且幂相等，则可得关于n的方程，解方程即可． 【详解】解：∵有个相加，表示为． ∴ ∴ 解得：． 故选：A． 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 4．若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，幂的乘方，正确推出，是解题的关键．先求出，则，再推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选A． 5．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 6．已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小关系，负整数指数幂，先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再比较底数的大小即可得出结果． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 7．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 由同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 8．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相除、幂的乘方的逆运算，根据题意得出，代入即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 9．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 10．在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出． 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 11．计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数和含乘方的有理数混合计算，整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 13．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 14．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法． （1）根据新定义列式求值即可； （2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值； （3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4，64； （2）解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴的值为． 15．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： (1)尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ① 250 0.004 2500 0.0004 (2)大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含 和 时，可以化为有限小数． (3)归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0） ①当时， 是一个有限小数； ②当时， 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 【答案】(1) (2)2，5 (3)， 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和分数的基本性质； （1）模仿示例写成分母中的因素2和5的乘方相同的形式，即分母是10的乘方的形式即可， （2）由（1）分母是10的乘方，可知当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． （3）根据（1）发现的规律和分式利用同底数幂乘法变形即可. 【详解】（1） （2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0） ①当时，是一个有限小数； ②当时，也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 幂的运算（6个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 清单03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 清单05 零指数幂与负指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点题型一 同底数幂相乘】（） 1．计算结果为的式子是（   ） A． B． C． D． 2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为 ． 4．若，，则 ． 5．计算： (1)（是正整数）； (2)（是大于1的整数）； (3)（是大于1的整数）； (4)（是正整数）． 【考点题型二 同底数幂乘法的逆用】（） 6．已知，，，那么a，b，c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（      ） A． B． C． D． 8．已知，（m，n为正整数），则 ． 9．已知，，则的值为 ． 10．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型三 用科学记数法表示数的乘法】（） 11．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 12．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 13．世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 14．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 15．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【考点题型四 幂的乘方运算】（） 16．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 17．计算的结果的是（    ） A． B． C． D． 18．若，，则 ． 19．若，则 ． 20．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为，求的值； 【考点题型五 幂的乘方的逆用】（） 21．计算，则m与n的关系是（   ） A． B． C． D． 22．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 23．已知，则 ． 24．已知，，，为正整数，则 （用，表示）． 25．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【考点题型六 积的乘方运算】（） 26．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 27．计算的结果是 ． 28．计算的结果是 ． 29．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点题型七 积的乘方的逆用】（） 31．的值等于（    ） A． B．8 C． D． 32．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 33．计算： ． 34．已知，求值： (1)； (2)． 35．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【考点题型八 同底数幂的除法运算】（） 36．若（   ），则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 37．若，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 38．已知方程，则 ． 39．如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 40．计算： (1)； (2)（n是正整数，）； (3)； (4)． 【考点题型九 同底数幂除法的逆用】（） 41．若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 42．若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 43．已知，，则的值为 ． 44．已知，则的值为 ． 45．当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【考点题型十 幂的混合运算】（） 46．计算： (1)； (2)； (3)． 47．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．计算：． 49．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 50．已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【考点题型十一 零指数幂】（） 51．计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 52．若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 53．若有理数m、n满足，则的值为 54．计算： ． 55．计算：． 【考点题型十三 幂的运算等于1的情况】（） 56．若成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 58．若，则x的值为 ． 59．已知，则 ． 60．已知a，b是有理数，且，求a，b的值． 【考点题型十四 幂的运算中用x表示y】（） 61．若，用a，b的代数式表示． 62．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 63．若（，，m，n都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 64．已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 65．（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【考点题型十五 由幂的运算确定字母的关系】（） 66．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 67．若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（   ） A． B． C． D． 68．已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是 ． 69．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 70．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【考点题型十六 新定义幂的运算】（） 71．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 72．若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 73．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 74．如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 75．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 1．每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．200 C．378 D．1400 2．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的关系是 ，（用“”连接） 7．若，，则 ． 8．若，，则的值为 ． 9．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 10．在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 11．计算： (1) (2)； 12．计算： (1)； (2) 13．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 14．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 15．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： (1)尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ① 250 0.004 2500 0.0004 (2)大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含 和 时，可以化为有限小数． (3)归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0） ①当时， 是一个有限小数； ②当时， 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$