2026届高考数学思想方法大合集-空间图像中的分类与整合思想讲义

第08节 空间图形 分类讨论在空间图形中的应用主要体现在解决与空间几何相关的问题时，根据不同的条件或特征将问题分成几个类别，然后分别对每一类进行讨论和求解.这种方法有助于简化复杂问题，使其变得易于处理. 分类讨论表面积和体积的计算时，首先需要弄清几何体的类型和位置关系.每种几何体的表面积和体积计算公式不同，需要对位置进行分类讨论，确定位置后根据几何体的类型代入相应的公式进行计算.对于复合几何体，可能需要将几何体分解为几个基本几何体，分别计算它们的表面积和体积，最后将结果相加或相减得到最终答案. 在解决空间图形距离和角度范围问题时，分类讨论是一种重要的数学策略.需要先确定动点或动直线运动的范围，进而得出动点的轨迹，进而求解计算.需要注意的是，转折点是计算的关键，求解要确保所有可能的情况都被考虑到，并且每种情况的分析和计算是准确无误的. 类型一 表面积、体积有关的计算 【典例1】已知球的表面积为，其内接正四棱锥的底面边长为4，则（    ） A．    B．32或    C．或    D．或32 【解题策略】由球的表面积公式可得，由勾股定理可得，球心在正四棱锥的内部和外面两种情况分别求解即可. 【详细解析】设球的半径为，则，所以， 设，则，， 当球心在正四棱锥的内部时， ，； 当球心在正四棱锥的外面时， ，. 故选：. 【典例2】（2024上海市光明高三下学期三模）若四面体各棱的长为1或2，且该四面体不是正四面体，其体积的所有可能的值为 ． 【解题策略】先根据边长，分析四面体由3种情况：①一边为1，其余五边为2；②三边为1，其余三边为2；③二边为1，四边为2.对于①③，取的中点为，连结，计算，即可求体积；对于②过A作AO垂直底面于O，直接求底面积和高，即可求体积. 【详细解析】如图①所以，取中点，连接. 因为为中点，为等腰三角形， 所以， 且，平面， 所以平面. 所以 如图②所示，过点做底面与， 则为等边三角形的重心，则，， 所以. 如图③所示，取中点，连接. 因为为中点，为等腰三角形， 所以， 且，平面， 所以平面. . 故答案为：. 【典例3】已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，，，侧棱与底面成60°，求它的体积． 【解题策略】在证得平面ABC⊥平面，点在底面上的射影H在直线AB上，但点H在直线AB上的位置不能确定，所以要对点H的位置分类讨论． 【详细解析】，∴AC⊥平面．又∵AC（平面ABC，∴平面ABC⊥平面．则点在平面ABC上的射影一定在直线AB上，所以过作垂直BA，交BA的延长线于H．设． （1） 若点H在线段BA的延长线上，联结CH，如图3-10所示，则是与底面所成的角，即，． 在Rt△ACH中，． 在中，，，解得． ． （2） 若点H在线段AB上，如图3-11所示． 在中，，即，解得（此时点H与点B重合）．． （3） 若点H在线段AB的延长线上，在中，，，解得，但不合题意． 综上所述，斜三棱柱的体积为或． 【方法归纳】 分类讨论在高中讨论表面积或体积时，通常是指根据几何体的特征和条件，将问题分成几个不同的情况来分别解决.在计算不规则几何体的表面积或体积时，可能需要根据几何体的对称性、切割面或其他特征将问题分解成几个部分，然后分别计算每个部分的表面积或体积，最后将它们相加或相减得到整个几何体的表面积或体积.在解决实际问题时，分类讨论有助于更准确地分析问题，避免遗漏或错误. 【举一反三】 （2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）） 1． 已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π （2024吉林吉林地区普通高中高三第四次模拟考试） 2． 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 类型二 距离、角度范围问题 【典例1】正方体棱长为，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且面，则的长度范围为（    ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】取的中点，的中点，中点，根据面面平行的判定可证得平面平面，由此可确定点轨迹为，进而确定取得最大值和最小值时的位置，进而得到所求取值范围. 【详细解析】取的中点，的中点，连结，，， 取中点，连结， 点分别是棱长为的正方体中棱的中点， ，， ，，平面，平面，平面平面， 动点在正方形（包括边界）内运动，且面， 点的轨迹是线段， ，， ，当与重合时，的长度取最小值， ， 当与（或）重合时，的长度取最大值或， ． 的长度范围为． 故选：． 【典例2】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围 ． 【解题策略】画出图像，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，判断出在处线线角最小，在处线线角最大，并求出这两个最值. 【详细解析】画出图像如下图所示，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.则就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，为定值，故最值由来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于，故.而，故，所以.而，故.所以所求线线角的取值范围是. 【典例3】已知直线且相距28cm，EF在AB、CD所确定的平面α外，且相距17 cm，EF和平面α相距15cm，求EF与CD间的距离． 【解题策略】由于图形的位置关系不确定而引起分类讨论的立体几何问题，EF在平面α上的射影位置不同，则EF与CD的距离也不同，对各种情形都要讨论，否则就容易漏解或无从下手． 【详细解析】在EF上任取一点M，作于O，则垂足O的位置有两种可能： 1 在平行直线AB、CD之间，如图3-12（1）所示； 2 不在直线AB与CD之间，如图3-12（2）（3）所示． 在平面α内，过O作与AB、CD垂直的直线交CD于H，交AB于N，则为EF与平面α的距离，为EF与AB的距离．为平行直线AB、CD间的距离，MH为EF、CD间的距离，无论哪种情形，都有． 图3-12（1）中，，； 图3-12（2）中，，； 图3-12（3）中，，此情况不存在． 因此EF与CD间的距离为25cm或39cm． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学立体几何范围问题中是一个重要的解题策略.在处理立体几何问题时，我们常常需要根据不同的条件或情况来分别讨论，以确保问题得到全面的解决.解决范围问题的关键是确保动点的轨迹，特别是动点的转折点，确定各个部分的轨迹或者轨迹方程，进而求解长度或角度范围.在计算空间中的角时，需要根据角的类型（如二面角、线面角、面面角等）进行分类讨论.空间中两点间距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线间距离、直线与平面的距离、平面间距离等，根据不同的情况分别讨论. 【举一反三】 （2024北京八一学校高三下期开学摸底考试） 3． 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024届河南信阳高三下期高考考前押题） 4． 如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型三 轨迹问题 【典例1】立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ） A． 平面 B． ，，，四点共面 C． 点到平面的距离为 D． 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 【解题策略】 画出“阿基米德体”对应的正方体，由图可判断AB选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量来判断CD选项. 【详细解析】 “阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A 选项：由图可知平面，A选项正确； B 选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，∴，，，四点共面，B选择正确； C 选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即， ， ∴点到平面的距离，故C选项错误； 设且，所以， 设与的夹角为， 所以 当时，令， 因为当且仅当，即时取等号， 所以，即 当时，， 所以直线与直线所成角的余弦值范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 【典例2】圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 【解题策略】 据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详细解析】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 【典例3】已知空间中三点，，. （1） 求平行四边形的顶点的坐标； （2） 当与的夹角为钝角时，求的范围. 【解题策略】 （1） 根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2） 求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详细解析】（1）设， 因为是平行四边形，所以， 由，，. 得， 所以，故， （3） 依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 【方法归纳】 分类讨论在高中数学立体几何轨迹中的应用主要体现在解决复杂问题时，根据不同的条件或位置关系，将问题分解为几个较简单的情况分别求解.在求解轨迹问题时，可能需要根据点与给定平面、直线或其他几何体的位置关系，将问题分为点在平面内、点在平面上方、点在平面下方等不同情况进行讨论.通过分类讨论，可以更清晰地分析问题，避免遗漏或错误，从而准确地找到点的轨迹方程. 【举一反三】 （2024重庆八中高三下期高考强化训练一） 5． 如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1) 求证：平面ACDE； (2) 把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3) 记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． （2024上海交大附中高三下期四模） 6． 设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1) 计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2) 求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3) 是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. （2024届湖北武汉黄陂七中高三模拟考试（二）） 7． 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要．已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，三种不同规格的长方体．按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为的不同规格长方体的个数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．10 8． 直线AB与直二面角的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不在棱l上，设直线AB与所成的角分别为和，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． 9． 在正方体中，、分别在和上（异于端点），则过三点、、的平面被正方体截得的图形不可能是（    ） A． 正方形 B．不是正方形的菱形 B． 不是正方形的矩形 D．梯形 10． 如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米． 11． 如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为． (1) 求m的值； (2) 若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值； (3) 是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由． （2024安徽芜湖安徽师大附中高三第二次模拟考试） 12． 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1) 当时，求点的轨迹长度； (2) 当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08节 空间图形 分类讨论在空间图形中的应用主要体现在解决与空间几何相关的问题时，根据不同的条件或特征将问题分成几个类别，然后分别对每一类进行讨论和求解.这种方法有助于简化复杂问题，使其变得易于处理. 分类讨论表面积和体积的计算时，首先需要弄清几何体的类型和位置关系.每种几何体的表面积和体积计算公式不同，需要对位置进行分类讨论，确定位置后根据几何体的类型代入相应的公式进行计算.对于复合几何体，可能需要将几何体分解为几个基本几何体，分别计算它们的表面积和体积，最后将结果相加或相减得到最终答案. 在解决空间图形距离和角度范围问题时，分类讨论是一种重要的数学策略.需要先确定动点或动直线运动的范围，进而得出动点的轨迹，进而求解计算.需要注意的是，转折点是计算的关键，求解要确保所有可能的情况都被考虑到，并且每种情况的分析和计算是准确无误的. 类型一 表面积、体积有关的计算 【典例1】已知球的表面积为，其内接正四棱锥的底面边长为4，则（    ） A．    B．32或    C．或    D．或32 【解题策略】由球的表面积公式可得，由勾股定理可得，球心在正四棱锥的内部和外面两种情况分别求解即可. 【详细解析】设球的半径为，则，所以， 设，则，， 当球心在正四棱锥的内部时， ，； 当球心在正四棱锥的外面时， ，. 故选：. 【典例2】（2024上海市光明高三下学期三模）若四面体各棱的长为1或2，且该四面体不是正四面体，其体积的所有可能的值为 ． 【解题策略】先根据边长，分析四面体由3种情况：①一边为1，其余五边为2；②三边为1，其余三边为2；③二边为1，四边为2.对于①③，取的中点为，连结，计算，即可求体积；对于②过A作AO垂直底面于O，直接求底面积和高，即可求体积. 【详细解析】如图①所以，取中点，连接. 因为为中点，为等腰三角形， 所以， 且，平面， 所以平面. 所以 如图②所示，过点做底面与， 则为等边三角形的重心，则，， 所以. 如图③所示，取中点，连接. 因为为中点，为等腰三角形， 所以， 且，平面， 所以平面. . 故答案为：. 【典例3】已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，，，侧棱与底面成60°，求它的体积． 【解题策略】在证得平面ABC⊥平面，点在底面上的射影H在直线AB上，但点H在直线AB上的位置不能确定，所以要对点H的位置分类讨论． 【详细解析】，∴AC⊥平面．又∵AC（平面ABC，∴平面ABC⊥平面．则点在平面ABC上的射影一定在直线AB上，所以过作垂直BA，交BA的延长线于H．设． （1） 若点H在线段BA的延长线上，联结CH，如图3-10所示，则是与底面所成的角，即，． 在Rt△ACH中，． 在中，，，解得． ． （2） 若点H在线段AB上，如图3-11所示． 在中，，即，解得（此时点H与点B重合）．． （3） 若点H在线段AB的延长线上，在中，，，解得，但不合题意． 综上所述，斜三棱柱的体积为或． 【方法归纳】 分类讨论在高中讨论表面积或体积时，通常是指根据几何体的特征和条件，将问题分成几个不同的情况来分别解决.在计算不规则几何体的表面积或体积时，可能需要根据几何体的对称性、切割面或其他特征将问题分解成几个部分，然后分别计算每个部分的表面积或体积，最后将它们相加或相减得到整个几何体的表面积或体积.在解决实际问题时，分类讨论有助于更准确地分析问题，避免遗漏或错误. 【举一反三】 （2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）） 1． 已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（  ） A．49π B．56π C．65π D．130π 【答案】C 【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解. 【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得， 取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆， 则四边形是等腰梯形，，而， ，整理得，而，则， 设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则， 令分别为正四棱台上下底面的中心，则，， ，， 当球心在线段时，，解得，球的表面积为； 当球心在线段的延长线时，，无解， 所以所求外接球表面积是. 故选：C （2024吉林吉林地区普通高中高三第四次模拟考试） 2． 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 . 【答案】 27 【分析】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则可求出其表面积；该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，求出外接球半径为 ，两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，则中间部分的体积为 ，设其内切球半径为 ，由 ，求出 ，即可得到体积的比值. 【详解】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ; 该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看， 是 的中心， 是球心， 则 ，则 ， ， 设外接球半径为 ，则 ， 又 ，解得 , 两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形， 则其表面积为 ， 大正四面体的体积为 则每个小正四面体的体积为 ， 则中间部分的体积为 ， 设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ， 故外接球和内切球体积之比为 故答案为：；. 类型二 距离、角度范围问题 【典例1】正方体棱长为，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且面，则的长度范围为（    ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】取的中点，的中点，中点，根据面面平行的判定可证得平面平面，由此可确定点轨迹为，进而确定取得最大值和最小值时的位置，进而得到所求取值范围. 【详细解析】取的中点，的中点，连结，，， 取中点，连结， 点分别是棱长为的正方体中棱的中点， ，， ，，平面，平面，平面平面， 动点在正方形（包括边界）内运动，且面， 点的轨迹是线段， ，， ，当与重合时，的长度取最小值， ， 当与（或）重合时，的长度取最大值或， ． 的长度范围为． 故选：． 【典例2】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围 ． 【解题策略】画出图像，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，判断出在处线线角最小，在处线线角最大，并求出这两个最值. 【详细解析】画出图像如下图所示，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.则就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，为定值，故最值由来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于，故.而，故，所以.而，故.所以所求线线角的取值范围是. 【典例3】已知直线且相距28cm，EF在AB、CD所确定的平面α外，且相距17 cm，EF和平面α相距15cm，求EF与CD间的距离． 【解题策略】由于图形的位置关系不确定而引起分类讨论的立体几何问题，EF在平面α上的射影位置不同，则EF与CD的距离也不同，对各种情形都要讨论，否则就容易漏解或无从下手． 【详细解析】在EF上任取一点M，作于O，则垂足O的位置有两种可能： 1 在平行直线AB、CD之间，如图3-12（1）所示； 2 不在直线AB与CD之间，如图3-12（2）（3）所示． 在平面α内，过O作与AB、CD垂直的直线交CD于H，交AB于N，则为EF与平面α的距离，为EF与AB的距离．为平行直线AB、CD间的距离，MH为EF、CD间的距离，无论哪种情形，都有． 图3-12（1）中，，； 图3-12（2）中，，； 图3-12（3）中，，此情况不存在． 因此EF与CD间的距离为25cm或39cm． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学立体几何范围问题中是一个重要的解题策略.在处理立体几何问题时，我们常常需要根据不同的条件或情况来分别讨论，以确保问题得到全面的解决.解决范围问题的关键是确保动点的轨迹，特别是动点的转折点，确定各个部分的轨迹或者轨迹方程，进而求解长度或角度范围.在计算空间中的角时，需要根据角的类型（如二面角、线面角、面面角等）进行分类讨论.空间中两点间距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线间距离、直线与平面的距离、平面间距离等，根据不同的情况分别讨论. 【举一反三】 （2024北京八一学校高三下期开学摸底考试） 3． 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为. 故选：C （2024届河南信阳高三下期高考考前押题） 4． 如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，分析可知平面，，，结合垂直关系可知，结合范围分析最值即可. 【详解】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故选：C. 类型三 轨迹问题 【典例1】立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ） A． 平面 B． ，，，四点共面 C． 点到平面的距离为 D． 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 【解题策略】 画出“阿基米德体”对应的正方体，由图可判断AB选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量来判断CD选项. 【详细解析】 “阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A 选项：由图可知平面，A选项正确； B 选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，∴，，，四点共面，B选择正确； C 选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即， ， ∴点到平面的距离，故C选项错误； 设且，所以， 设与的夹角为， 所以 当时，令， 因为当且仅当，即时取等号， 所以，即 当时，， 所以直线与直线所成角的余弦值范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 【典例2】圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 【解题策略】 据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详细解析】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 【典例3】已知空间中三点，，. （1） 求平行四边形的顶点的坐标； （2） 当与的夹角为钝角时，求的范围. 【解题策略】 （1） 根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2） 求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详细解析】（1）设， 因为是平行四边形，所以， 由，，. 得， 所以，故， （3） 依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 【方法归纳】 分类讨论在高中数学立体几何轨迹中的应用主要体现在解决复杂问题时，根据不同的条件或位置关系，将问题分解为几个较简单的情况分别求解.在求解轨迹问题时，可能需要根据点与给定平面、直线或其他几何体的位置关系，将问题分为点在平面内、点在平面上方、点在平面下方等不同情况进行讨论.通过分类讨论，可以更清晰地分析问题，避免遗漏或错误，从而准确地找到点的轨迹方程. 【举一反三】 （2024重庆八中高三下期高考强化训练一） 5． 如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1) 求证：平面ACDE； (2) 把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3) 记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． 【答案】(1)证明见解析 (4) (5) 【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到，再根据面面垂直的性质证明； (6) 以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的坐标运算根据，列方程求解即可； (7) 利用向量法求面面角，然后根据列不等式求解. 【详解】（1），， 所以，，， ，则， 又因为平面平面ABC，平面平面面， 故平面ACDE； (8) 以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由，可得，， 所以 所以，， 设，则， 设，则，， 由题知，， 解得，，故； (9) ，设， 则，， 可取平面ABC的法向量， 则， ， 则， 整理得，故， ，，， 记平面CDF的法向量为，则有， 可得， 记平面CBD的法向量为，则有， 可得， 记平面BCD与平面CFD所成角为， 则，， 所以，， 故． （2024上海交大附中高三下期四模） 6． 设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1) 计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2) 求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3) 是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. 【答案】(1)正方体“球形比例系数”，正四面体的“球形比例系数”. (4) (5) 存在，该题答案不唯一，比如该几何体由圆柱和一个半球组合而成， 底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍. 【分析】（1）利用球的表面积公式和体积公式即可得到，再利用正方体和正四面体的表面积和体积公式计算出即可； (6) 计算得，再利用比值换元法结合导数即可得到其值域； (7) 考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为，圆柱的高为，首先计算得，再有得，利用计算器即可得到，即可得到答案. 【详解】（1）设球的半径为，正方体的棱长为，正四面体的棱长为， 则，正方体的系数为， 正四面体的表面积为， 如图，设为正三角形的中心，连接， 连接，设正四面体的棱长为，则， 故．则其体积为， 则正四面体的系数为 所以，正方体“球形比例系数”， 正四面体的“球形比例系数”. (8) 设圆柱底面半径为，高为，则全面积为，体积为， 于是，设， 则，当时，；当时，； 即时，单调递减；时，单调递增. 即时，圆柱体的系数最小为， 所以，圆柱体的球形比例系数的值域为. (9) 考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为，圆柱的高为， 于是组合体的全面积，体积 ， ，而，当时，， 注：上海试卷可以使用计算器. 故存在球形比例系数为的几何体，其由圆柱和一个半球组合而成， 底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍. （2024届湖北武汉黄陂七中高三模拟考试（二）） 7． 房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要．已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，三种不同规格的长方体．按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为的不同规格长方体的个数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．10 【答案】D 【分析】分别列出第1次、第2次和第3次截取的不同规格长方体，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面， 截取1次后共可以得到三种规模长方体为：，，，体积为660，一共3种； 按照上述方式对第1次所截得的3种长方体进行第2次截取，得到的体积为330的不同规格长方体有： ，，，，，，一共6种； 再对第2次所截得的6种长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165的不同规格长方体有： ，，，，，， ，，，，一共10种． 故选：D． 8． 直线AB与直二面角的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不在棱l上，设直线AB与所成的角分别为和，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【解析】根据直线AB与平面的位置，分两种情况：当时，；当与l不垂直时，分别过点A，B向平面作垂线，垂足为，，连接，，由已知，可知，，由，知 【详解】当时，. 当与l不垂直时，如图，分别过点A，B向平面作垂线，垂足为，，连接，. 由已知，所以，，因此，. 由，知，即 综上可知， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查二面角及线面角，解题的关键是通过面面垂直的性质定理转化为线面垂直即可找到线面角，考查学生的数形结合思想及转化与化归思想，属于基础题. 9． 在正方体中，、分别在和上（异于端点），则过三点、、的平面被正方体截得的图形不可能是（    ） A． 正方形 B．不是正方形的菱形 B． 不是正方形的矩形 D．梯形 【答案】A 【解析】作出图形，设正方体的棱长为，设，利用勾股定理可判断A选项中的截面图形不可能，结合A选项的推导可判断B选项中的截面图形可能，取可判断C选项中图形可能，取可判断D选项中截面图形可能.综合可得出结论. 【详解】对于A选项，设正方体的棱长为，如下图所示：    设，平面平面，平面平面，平面平面，，同理， 若截面为正方形，则， 过点作交于点，易知，，则， ，，， 由勾股定理得，即，解得， 所以，截面不可能是正方形； 对于B选项，由A选项可知，当时，截面是不为正方形的菱形； 对于C选项，如下图所示，当时，由于平面，，平面，平面，， 平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得， ，，， 此时，四边形为矩形但不是正方形； 对于D选项，如下图所示， 平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得， 当时，过点作交于点，易知且， 此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题. 10． 如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为 平方米． 【答案】 【分析】水槽的投影为正方形和正方形在桌面上的投影，故找到侧面与水平面的夹角即可求出投影. 【详解】如图，过作于，易知， 则，因为水平面与桌面平行， 所以，平面和平面分别与桌面所成角的余弦值分别为 ， 水槽的投影为：正方形和正方形在桌面上的投影. 所以投影面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点是要找到侧面与水平面的夹角，从而求得投影面积. 11． 如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为． (1) 求m的值； (2) 若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值； (3) 是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由． 【答案】(1) (4) (5) 不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可得出的值； (6) 根据题意可求得点的坐标，根据两点间的距离公式，利用二次函数的基本性质，即可得出函数的最小值； (7) 由（2）可知，当时，当取得最小值时，求得，由异面直线与垂直时，可得，从而可得出结论. 【详解】（1）解：由四棱锥是底面边长为的正方形，则， 则， 所以； (8) 解：因为平面OABC， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 即， 因为点到平面OABC的距离为， 则点， 由是抛物线Q上的动点，则，即， 则， 令，设，对称轴为直线， 1 当时，即当时， 函数在上单调递增， 则，此时； 2 当时，即当时， 此时函数在取得最小值， 即， 此时， 综上； (9) 解：当时，此时点与原点重合， 则直线与为相交直线，不符； 当时，则当取最小值时，， 不妨设，则， ， 则， 当异面直线与垂直时，， 即，无解， 综上所述，不存在一个实数，使得异面直线与垂直. （2024安徽芜湖安徽师大附中高三第二次模拟考试） 12． 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长； （2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可. 【详解】（1）作交于， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，，、平面，， 所以平面，又因为平面，所以． 分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，因为，所以， 又，， 所以，即， 设中点为，则，如图： 又，所以， 因此，的轨迹为圆弧，其长度为； （2）由（1）知，可设，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得． 为平面的一个法向量，令二面角为角， ，又， 解得，（舍去）或，， 则或， 从而可得三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$