2026届高考数学思想方法大合集-解析几何中的分类与整合思想讲义

第07节 解析几何 在解析几何的领域中，分类讨论是一种非常实用的策略，尤其在处理斜率问题、轨迹问题以及定点、定值问题时显得尤为重要.通过这种方法，我们可以确保考虑到所有可能的情况，从而得到问题的全面解答. 对于斜率问题，在讨论直线的倾斜程度时，我们不能忽视那些与坐标轴平行的直线，因为它们在斜率的定义上与其他直线有所不同.当直线与坐标轴平行或重合时，斜率不存在或为0，这是一个特殊情况，需要单独考虑.对于两条直线的斜率关系问题，当直线倾斜角度不同，斜率也不同，这要求我们在分析时进行分类讨论. 对于轨迹问题，当点的运动受到不同条件限制时，轨迹可能发生变化，需要根据条件分类讨论，求解不同位置处的轨迹.在讨论轨迹的长度问题时，分类讨论不同位置的轨迹后，即可求出轨迹长度.还可以通过建立方程，表达不同位置处的轨迹，进而利用轨迹方程求出轨迹或轨迹长度. 对于圆锥曲线的定点、定值问题，常涉及直线和圆锥曲线的位置关系.需要对直线与圆锥曲线的位置关系进行分类讨论.当直线的斜率不存在时，直线与x轴垂直，利用几何知识讨论位置关系，求解问题；当直线斜率存在时，直曲联立建一元二次方程，结合韦达定理求解. 通过分类讨论，我们能够确保在解析几何问题的求解过程中，考虑到所有可能的情况，从而避免遗漏解，并确保问题得到全面而准确的解答.这种方法不仅有助于我们深入理解问题的本质，还能提高我们解决复杂几何问题的能力. 类型一 斜率问题 【典例1】（2024辽宁大连育明高中高三下期第一次模拟考试）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A．或    B．或    C．或    D．或 【解题策略】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详细解析】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 【典例2】（2024浙江绍兴上虞高三下期适应性教学质量调测）过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为______. 【解题策略】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【详细解析】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 【典例3】△AOB是等腰直角三角形，．动直线l过点P（1，1）与△AOB的斜边，直角边分别交于不同的点M、N（如图所示）． （1） 设直线l的斜率为k，求k的取值范围，并用k表示点M的坐标； （2） 试写出表示△AMN的面积S的函数解析式S（k），并求S（k）的最大值． 【解题策略】：由于l绕P点转动，则N点可落在OA上，也可落在OB上，的计算不一样，所以必须对l的斜率不同的取值分类讨论． 【详细解析】 （1） 由已知条件得A（1，0）、B（0，1），，设直线l的方程为，由得． （2） 当时，点N在直角边OA上，， ． 当时，点k在直角边OB上，， ． 所以 当时，S（k）递减，所以． 当时，． 综上所述，当时，． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何斜率问题中的应用主要体现在处理不同情况下的直线斜率问题.例如，当给定两条直线的方程时，我们需要根据直线的相对位置（平行、垂直、相交）来讨论它们的斜率关系.我们需要先直线的斜率是否存在，根据斜率是否存在得出直线的表达式，进而得出位置关系，求解问题. 【举一反三】 （2024陕西宝鸡金台高三上期第二次模拟考试） 1． 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1) 直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2) 已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3) 记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 2． 记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1) 求外接圆的面积； (2) 圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 类型二 轨迹问题 【典例1】（2024四川宜宾高三下期高考适应性考试（三模））已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（ ） A．一条抛物线    B．一个圆    C．一条直线    D．一段线段 【解题策略】设，切点为，利用导数的几何意义以及两点斜率公式可得是关于的方程的两根，结合垂直，可得，结合韦达定理可得，对比即可得解. 【详细解析】 设，显然抛物线C：的切线斜率不为0， 而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点， 设切点为， 或， 当时，，当时，， 所以无论如何都有， 所以，同理，注意到， 所以是关于的方程的两根，， 一方面：因为垂直，所以， 另一方面：由韦达定理有， 综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意. 故选：C. 【典例2】（2024广东梅州高三下期总复习质检（二模））在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为．已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为______． 【解题策略】利用已知条件，求解轨迹方程，然后画出图形即可求解面积． 【详细解析】设，由题意，，， 可知， 故当时，， 当时，， 当，， 当时，， 当时，， 轨迹方程的图形如图， 图形的面积为：． 故答案为：6． 【典例3】根据k的变化，讨论方程所表示的曲线的形状． 【解题策略】必须对这个大区域划分小区域或特殊值分类讨论，不重不漏． 【详细解析】由方程且，从k的特殊值入手讨论： （1） 当时，方程化为，表示两条平行于y轴的直线； （2） 当时，方程化为，表示两条相交于原点的直线； （3） 当且时，方程化为， 对两分母的符号再分三小类讨论： 1 当即时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线； 2 当即或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线； 3 当即时，由于． ∴当时，方程表示圆， 而当或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何轨迹问题中的应用广泛.需要根据不同的几何条件，将问题分为若干个互不相交的子集.利用斜率或者坐标的分类讨论，把不同情况下的轨迹用相应的方程表达出来，进而得出轨迹.最后，综合所有情况，得出完整的轨迹描述.在每种情况下，可能得到不同的轨迹方程，需要根据实际情况进行取舍和合并，以得到最终的轨迹描述. 【举一反三】 （2024山东济钢高中高三5月适应性考试） 3． 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． 点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 B． 点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 （2024届安徽池州普通高中高三教学质量统一监测） 4． 已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A． 若圆与圆内切，则圆与圆内切 B． 若圆与圆外切，则圆与圆外切 C． 若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D． 若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 类型三 定点、定值问题 【典例1】（2024湖南长沙周南中学高三下期第二次模拟）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点（点 异于），则直线的斜率之比（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解. 【详细解析】如图所示，设 ， 由题意得， 所以 ，所以 ， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 所以联立双曲线方程得： ， 消元得 ， 所以 ①， 因为 ， 所以 将①代入得 ， 因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 所以 比值为负数，所以， 当直线 斜率不存在时，容易验证 故选：C. 【典例2】考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有______个. 【解题策略】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案. 【详细解析】不妨设， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图③，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20. 故答案为：20. 【典例3】过点作直线l交双曲线于A，B两点，已知， （1） 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2） 是否存在这样的直线，使？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由． 【解题策略】本例的解题过程中需要在多个方面进行分类讨论，若设直线l为点斜式方程，则必需讨论斜率k不存在时的情况．在把直线l的点斜式方程代入双曲线方程后所得关于x的方程必须有两解，则必需对二次项系数是否为零加以讨论． 【详细解析】（1）设直线l的方程为，代入得． 当时，设， 则由韦达定理得，． ． 设P（x，y），，，两式相除得． 再将代入得．① 当时，满足①式； 当斜率不存在时，易知满足①式， 故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线； 当时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意． （3） ，∴平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即． 当k不存在时，A，B坐标分别为，不满足上式． 又， 化简得，此方程无实数解．故不存在直线l使OAPB为矩形． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何定点、定值问题中是一个重要的解题策略.首先，我们需要明确问题的条件和要求，然后根据不同的情况将问题进行分类.对于定点问题，我们通常需要考虑直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等基本图形的性质，以及它们之间的相互关系.对于定值问题，我们则需要关注距离、角度、面积、斜率等几何量的恒定性. 在分类讨论时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论.当斜率不存在时，为垂直横坐标轴的直线，进而求解问题；当直线斜率存在时，设出直线方程，直曲联立建一元二次方程，结合韦达定理解决问题. 【举一反三】 （2024西藏拉萨高三第二次模拟考试） 5． 已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1) 求抛物线的方程； (2) 若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. （2024福建泉州四校（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学） 6． 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. (1) 求椭圆的方程； (2) 设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. （2024陕西铜川王益中学高三下期高考猜题信息卷（二）） 7． 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： 1 直线的斜率的取值范围是； 2 点P到C的两条渐近线的距离之积为； 3 ； 4 ． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2024陕西榆林高三三模） 8． 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） 1 关于轴不对称 2 关于轴对称 3 直线与只有一个交点 4 上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2024新疆喀什地区普通高考5月份适应性检测） 9． 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1) 求的值； (2) 若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． （2024山西运城康杰中学高三第十九次大型考试） 10． 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于 (1) 过右焦点作于，求； (2) 求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07节 解析几何 在解析几何的领域中，分类讨论是一种非常实用的策略，尤其在处理斜率问题、轨迹问题以及定点、定值问题时显得尤为重要.通过这种方法，我们可以确保考虑到所有可能的情况，从而得到问题的全面解答. 对于斜率问题，在讨论直线的倾斜程度时，我们不能忽视那些与坐标轴平行的直线，因为它们在斜率的定义上与其他直线有所不同.当直线与坐标轴平行或重合时，斜率不存在或为0，这是一个特殊情况，需要单独考虑.对于两条直线的斜率关系问题，当直线倾斜角度不同，斜率也不同，这要求我们在分析时进行分类讨论. 对于轨迹问题，当点的运动受到不同条件限制时，轨迹可能发生变化，需要根据条件分类讨论，求解不同位置处的轨迹.在讨论轨迹的长度问题时，分类讨论不同位置的轨迹后，即可求出轨迹长度.还可以通过建立方程，表达不同位置处的轨迹，进而利用轨迹方程求出轨迹或轨迹长度. 对于圆锥曲线的定点、定值问题，常涉及直线和圆锥曲线的位置关系.需要对直线与圆锥曲线的位置关系进行分类讨论.当直线的斜率不存在时，直线与x轴垂直，利用几何知识讨论位置关系，求解问题；当直线斜率存在时，直曲联立建一元二次方程，结合韦达定理求解. 通过分类讨论，我们能够确保在解析几何问题的求解过程中，考虑到所有可能的情况，从而避免遗漏解，并确保问题得到全面而准确的解答.这种方法不仅有助于我们深入理解问题的本质，还能提高我们解决复杂几何问题的能力. 类型一 斜率问题 【典例1】（2024辽宁大连育明高中高三下期第一次模拟考试）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A． 或    B．或    C．或    D．或 【解题策略】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详细解析】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 【典例2】（2024浙江绍兴上虞高三下期适应性教学质量调测）过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为______. 【解题策略】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【详细解析】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 【典例3】△AOB是等腰直角三角形，．动直线l过点P（1，1）与△AOB的斜边，直角边分别交于不同的点M、N（如图所示）． （1） 设直线l的斜率为k，求k的取值范围，并用k表示点M的坐标； （2） 试写出表示△AMN的面积S的函数解析式S（k），并求S（k）的最大值． 【解题策略】：由于l绕P点转动，则N点可落在OA上，也可落在OB上，的计算不一样，所以必须对l的斜率不同的取值分类讨论． 【详细解析】 （1） 由已知条件得A（1，0）、B（0，1），，设直线l的方程为，由得． （2） 当时，点N在直角边OA上，， ． 当时，点k在直角边OB上，， ． 所以 当时，S（k）递减，所以． 当时，． 综上所述，当时，． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何斜率问题中的应用主要体现在处理不同情况下的直线斜率问题.例如，当给定两条直线的方程时，我们需要根据直线的相对位置（平行、垂直、相交）来讨论它们的斜率关系.我们需要先直线的斜率是否存在，根据斜率是否存在得出直线的表达式，进而得出位置关系，求解问题. 【举一反三】 （2024陕西宝鸡金台高三上期第二次模拟考试） 1． 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1) 直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2) 已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3) 记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 【答案】(1) (4) (5) 和， 【分析】（1）设直线，由可解不等式求得结果； (6) 根据方程的几何意义，将问题转化为圆在直线下方的部分（不含边界）的面积的求解，结合扇形和三角形面积公式可求得结果； (7) 根据已知等量关系可整理得到曲线的方程，将整理为，，通过讨论曲线上的点到的距离可构造不等关系求得结果. 【详解】（1）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为，即， ，解得：， 直线斜率的取值范围为. (8) ，， ，即， 点集表示圆在直线下方的部分（不含边界），如下图阴影部分所示， 设直线与圆交于两点， 则圆心到直线的距离为，， ，， 阴影部分面积， 即点集的面积为. (9) 设曲线上的动点为，则， 化简得曲线的方程为：和，其轨迹为两段抛物线弧； 由得：； 设曲线上的点，点到点的距离为， 则； 当时，； 当时，； 则曲线上的点到的距离的范围是， 曲线上总存在两点在曲线两侧， ，解得：，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线中的位置关系的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解新定义的含义，将所求式子利用几何意义进行转化，从而采用数形结合的方式来帮助求解. 2． 记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1)求外接圆的面积； (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理可得，进而结合辅助角公式求解可得，进而结合正弦定理可得，进而求解； （2）设，根据对称性质列出方程组求得，可得圆的方程，进而分直线的斜率存在和不存在讨论求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 因为，所以， 则，即，即， 又，则，所以，即， 则，即， 所以外接圆的面积为. （2）由圆，圆心为，半径为， 设，由题意得， 解得，即， 则圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 到直线距离为， 由，得， 解得，则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 类型二 轨迹问题 【典例1】（2024四川宜宾高三下期高考适应性考试（三模））已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（ ） A．一条抛物线    B．一个圆    C．一条直线    D．一段线段 【解题策略】设，切点为，利用导数的几何意义以及两点斜率公式可得是关于的方程的两根，结合垂直，可得，结合韦达定理可得，对比即可得解. 【详细解析】 设，显然抛物线C：的切线斜率不为0， 而两条相互垂直的切线，它们的斜率不为0，且一定存在，故切点不可能是原点， 设切点为， 或， 当时，，当时，， 所以无论如何都有， 所以，同理，注意到， 所以是关于的方程的两根，， 一方面：因为垂直，所以， 另一方面：由韦达定理有， 综合以上两方面，有，这意味着点在定直线上运动，此时满足，符合题意. 故选：C. 【典例2】（2024广东梅州高三下期总复习质检（二模））在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为．已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为______． 【解题策略】利用已知条件，求解轨迹方程，然后画出图形即可求解面积． 【详细解析】设，由题意，，， 可知， 故当时，， 当时，， 当，， 当时，， 当时，， 轨迹方程的图形如图， 图形的面积为：． 故答案为：6． 【典例3】根据k的变化，讨论方程所表示的曲线的形状． 【解题策略】必须对这个大区域划分小区域或特殊值分类讨论，不重不漏． 【详细解析】由方程且，从k的特殊值入手讨论： （1） 当时，方程化为，表示两条平行于y轴的直线； （2） 当时，方程化为，表示两条相交于原点的直线； （3） 当且时，方程化为， 对两分母的符号再分三小类讨论： 1 当即时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线； 2 当即或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线； 3 当即时，由于． ∴当时，方程表示圆， 而当或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何轨迹问题中的应用广泛.需要根据不同的几何条件，将问题分为若干个互不相交的子集.利用斜率或者坐标的分类讨论，把不同情况下的轨迹用相应的方程表达出来，进而得出轨迹.最后，综合所有情况，得出完整的轨迹描述.在每种情况下，可能得到不同的轨迹方程，需要根据实际情况进行取舍和合并，以得到最终的轨迹描述. 【举一反三】 （2024山东济钢高中高三5月适应性考试） 3． 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． 点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 B． 点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D    （2024届安徽池州普通高中高三教学质量统一监测） 4． 已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A． 若圆与圆内切，则圆与圆内切 B． 若圆与圆外切，则圆与圆外切 C． 若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D． 若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 【答案】C 【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误. 【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，. 当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于， 即，即，同理，圆与圆内切也等价于； 当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和， 即和，即和. 所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和. 下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）： 由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切； 若，则圆与圆外切，圆与圆内切. 这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误； 若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于， 而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确； 若，则，此时“圆与圆外切”等价于， 而根据双曲线定义，对应的轨迹为， 仅仅是双曲线的半支，D错误. 故选：C. 类型三 定点、定值问题 【典例1】（2024湖南长沙周南中学高三下期第二次模拟）已知分别为双曲线 的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点（点 异于），则直线的斜率之比（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】将所求的斜率之比用坐标表示，再设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，结合根与系数之间的关系进行坐标运算即可求解. 【详细解析】如图所示，设 ， 由题意得， 所以 ，所以 ， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 所以联立双曲线方程得： ， 消元得 ， 所以 ①， 因为 ， 所以 将①代入得 ， 因为过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点， 所以 比值为负数，所以， 当直线 斜率不存在时，容易验证 故选：C. 【典例2】考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有______个. 【解题策略】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案. 【详细解析】不妨设， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图③，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20. 故答案为：20. 【典例3】过点作直线l交双曲线于A，B两点，已知， （1） 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2） 是否存在这样的直线，使？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由． 【解题策略】本例的解题过程中需要在多个方面进行分类讨论，若设直线l为点斜式方程，则必需讨论斜率k不存在时的情况．在把直线l的点斜式方程代入双曲线方程后所得关于x的方程必须有两解，则必需对二次项系数是否为零加以讨论． 【详细解析】（1）设直线l的方程为，代入得． 当时，设， 则由韦达定理得，． ． 设P（x，y），，，两式相除得． 再将代入得．① 当时，满足①式； 当斜率不存在时，易知满足①式， 故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线； 当时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意． （3） ，∴平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即． 当k不存在时，A，B坐标分别为，不满足上式． 又， 化简得，此方程无实数解．故不存在直线l使OAPB为矩形． 【方法归纳】 分类讨论在高中解析几何定点、定值问题中是一个重要的解题策略.首先，我们需要明确问题的条件和要求，然后根据不同的情况将问题进行分类.对于定点问题，我们通常需要考虑直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等基本图形的性质，以及它们之间的相互关系.对于定值问题，我们则需要关注距离、角度、面积、斜率等几何量的恒定性. 在分类讨论时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论.当斜率不存在时，为垂直横坐标轴的直线，进而求解问题；当直线斜率存在时，设出直线方程，直曲联立建一元二次方程，结合韦达定理解决问题. 【举一反三】 （2024西藏拉萨高三第二次模拟考试） 5． 已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点 【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可； （2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明. 【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. （2024福建泉州四校（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学） 6． 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. (1)求椭圆的方程； (2)设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程； （2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意，，    且直线和直线斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为， 由题知，所以， 所以，同理，， 所以是方程的两根，所以. 设，设直线的方程为， 将代入，得， 所以，①，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以， 若，则直线，此时过点，舍去. 若，则直线，此时恒过点， 所以直线过定点. （2024陕西铜川王益中学高三下期高考猜题信息卷（二）） 7． 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： 1 直线的斜率的取值范围是； 2 点P到C的两条渐近线的距离之积为； 3 ； 4 ． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运算进行分析求解即可. 【详解】由题意知，，设，又点P在C上，所以， 所以，所以直线的斜率， 所以，令，， 所以 所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确； B． 的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误； ，故③正确； 当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为， 由得， 所以得，， 解得， 所以C在点P处的切线方程为，即． 当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为． 由，解得， 由解得 又，， 所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确． 故选：C． （2024陕西榆林高三三模） 8． 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） 1 关于轴不对称 2 关于轴对称 3 直线与只有一个交点 4 上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； 5 联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. 6 原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. （2024新疆喀什地区普通高考5月份适应性检测） 9． 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)-3 (2)存在，，或 【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解； （2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，，结合求解. 【详解】（1）由题可得双曲线E：， 则， ∴左、右焦点分别为，，直线l的方程为： 设， ，同理可得． ∴； （2）设，如图， 直线方程为， 代入双曲线方程可得：， 所以，则， 则， ， ， ． 同理， 即， 即， ∴或， 又， 若．无解，舍去． ∴，解得，，或，， 若，，由A在直线上可得，， ∴．此时， 若，，由A在直线上可得，， ∴此时 ∴存在点，或，满足． （2024山西运城康杰中学高三第十九次大型考试） 10． 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于 (1)过右焦点作于，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）延长交于点，即可得到，，再由双曲线的定义得到，即可得解； （2）当，直接求出、，当时，设，求出，，利用二倍角公式求出，即可得证. 【详解】（1）延长交于点，因为平分，， 所以，所以，， 所以为的中点，又为的中点，所以且， 又，所以， 所以. （2）依题意可知，， 当时，解得，不妨取，则， ，所以，满足； 当时，设，则， 所以，， 则， 所以， 又，，则， 所以， 综上可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$