2026届高考数学思想方法大合集-排列组合、概率统计中的分类与整合思想讲义

第06节 排列组合、概率、数学期望 分类讨论是解决数学问题的一种重要方法，尤其在高中数学中应用广泛.它要求我们根据问题的不同情况，将问题分成几个类别，然后对每一类分别进行讨论和求解.而在高中数学排列组合、概率、数学期望中，分类讨论有重要作用. 在排列组合问题中，分类讨论是一种非常实用的策略，尤其适用于处理那些看似复杂、但实际上可以分解为几个互斥子事件的情况.在概率问题中，分类讨论同样发挥着重要作用.它帮助我们处理那些具有多种可能性的事件.当一个事件的发生依赖于几个互斥的条件时，我们可以分别计算每个条件下事件发生的概率，然后利用概率的加法规则求得总概率.在计算数学期望时，分类讨论同样是一种不可或缺的工具，它允许我们处理随机变量取值的多种情况，尤其是当这些取值依赖于几个互斥的事件时，分类求概率，进而求数学期望. 类型一 在排列组合的应用 【典例1】2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ） A．1440 种    B．1360种 C．1282种    D．1128种 【解题策略】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详细解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有（种）． 故选：D． 【典例2】（2024浙江宁波高三上期高考模拟考试）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 . 【解题策略】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解. 【详细解析】若第一轮在第一轮中得1分， 若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2， 若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3， 若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4， 若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有， 因此第一轮中甲得1分的概率为， 在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为， 因此甲在两轮中共得2分的概率为， 故答案为： 【典例3】在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点（均除O点外），连同O点共个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有多少个？ 【解题策略】本题可用直接解法也可用间接解法，但都需要与分类讨论思想方法相结合，若用直接解法，可利用组合的概念分类求解，再运用加法原理．若用间接法也要利用分类讨论思想，排除三点共线的情况，可以发现间接解法相对简单． 【详细解析】解法一：可以分三类： 1 从OA边上（不包括O点）任取一点与OB边上（不包括O点）任取两点，可构造个三角形； 2 从OA边上（不包括O点）任取两点与OB边上（不包括O点）任取一点，可构造个三角形； 3 从OA边上（不包括O点）任取一点与OB边上（不包括O点）任取一点，与O点可构造个三角形． 由加法原理共有个三角形． 解法二：从个中点中任取三点共有种，其中三点均在射线OA上（包括O点）有种，三点均在射线OB上（包括O点）有种， ∴三角形个数为个． 【方法归纳】 分类讨论是解决排列组合问题的一种重要方法，它要求我们根据问题的不同情况，分别进行讨论，然后将各种情况的结果相加或相乘.当涉及多个条件时，可能需要根据不同的条件进行分类讨论.当排列问题中存在重复元素时，需要根据重复元素的不同排列方式来分类讨论.在组合问题中，如果存在限制条件，如某些元素必须相邻或不能相邻，就需要根据这些条件进行分类讨论.对于分步完成的排列组合问题，每一步可能有不同的情况，需要对每一步进行分类讨论. 在使用分类讨论方法时，需要注意，确保分类是完备的，即所有可能的情况都被考虑到.各种情况之间应该是互斥的，即一种情况的发生不会影响到其他情况.对于每种情况，要正确应用排列组合的公式进行计算.最后，将各种情况的结果按照加法原理或乘法原理进行合并.通过合理运用分类讨论的方法，可以有效地解决高中数学排列组合中的一些复杂问题. 【举一反三】 （2024广东部分学校高三上期11月联考） 1．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．1441 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 2． 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球， （1） 从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2） 若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？ 类型二 在概率的应用 【典例1】（2025届广东普通高中毕业班第二次调研考试）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A．4    B．8    C．16    D．24 【解题策略】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可. 【详细解析】 样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. （1） 若，则，即，， 此时不满足； （2） 若，则，且，又因为， 所以或，即或3； 1 若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； 2 若，，同理有个满足条件的事件； 3 若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； 4 若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 【典例2】（2025届广东部分学校高三大联考模拟预测）一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【解题策略】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【详细解析】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 【典例3】（2024届河南信阳罗山三校联考高三下期二模）某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表： 男居民 女居民 合计 满意 25 60 不满意 a 2a 合计 90 （1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率； （2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异? 附：． 【解题策略】（1）根据总人数解得，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案. （2）计算，对比临界值表得到答案. 【详细解析】（1）由已知，解得， 所以列联表如下： 男 女 合计 满意 35 25 60 不满意 10 20 30 合计 45 45 90 用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人， 所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为； （2）由， 所以在犯错的概率不超过0.05的前提下， 可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 【方法归纳】 分类讨论是解决高中数学概率问题的一种重要方法.在处理复杂事件的概率计算时，将事件按照不同情况进行划分，可以简化问题，使计算更加清晰.首先确定需要计算概率的事件，理解事件的含义和条件.根据事件的不同特征或条件，确定分类的标准，确保分类互斥且完备.对每一类事件单独计算概率，注意使用正确的概率公式和定理.将各类事件的概率按照加法原理或乘法原理合并，得到最终结果. 在概率中，分类讨论的关键在于合理划分事件，避免遗漏和重复，确保计算的准确性.通过这种方法，可以有效地解决高中数学概率中的一些复杂问题. 【举一反三】 （2024届辽宁名校联盟高考模拟卷（信息卷）（三）） 3． 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 （2024届陕西师大附中高三下期第十次模考） 4． 设是坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 类型三 在数学期望的应用 【典例1】将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】求出甲框中球的个数X可能值及对应的概率，求出期望值. 【详细解析】甲框中球的个数X可能为1，3，4， 由小明等概率从甲乙中依次取出球，甲框最先被取完， 若，则第一次就从甲框中取球的概率为， 若第一次从乙框，第二次从甲框中取球的概率为， 若第一、二次从乙框，第三次从甲框中取球的概率为， 若第一、二、三次从乙框，第四次从甲框中取球的概率为， 则甲框中只有一球，且先被取完的概率为； 若，前三次均在甲框中取球，概率为， 前三次有1次从乙框中取球，第四次从甲框中取球，则概率为， 故甲框中只有三球，且先被取完的概率为; 若，则前四次均要从甲框中取球， 故甲框中只有四球，且先被取完的概率为， 所以甲框最先被取完且甲框中不为两个球的概率， 在此前提下，， 则甲框中小球个数的期望. 故选：B. 【典例2】（2025届四川大数据精准教学联盟高三上期一模）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 . 【解题策略】根据题意可知可取，然后再分别算出相应的概率值，再结合从而可求解. 【详细解析】由题意可知可取， 所以，， ， 又因为， 所以 . 故答案为：. 【典例3】某足球赛事中甲、乙两球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术，顽强防守0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为，现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求： （1） 求乙球以4：3点球取胜的概率有多大？ （2） 设足球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望． 【解题策略】概率分布和数学期望本质上体现了分类与整合的思想方法． 【详细解析】（1）乙队以4∶3点球取胜的概率为 ． （3） 乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P 数学期望为：． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学中数学期望的应用主要体现在解决一些涉及随机变量的离散型或连续型分布问题时，需要根据不同的情况分别计算期望值，然后将这些期望值按照各自情况发生的概率加权求和得到总的期望值. 在解决一些涉及分段函数的随机变量期望问题时，我们通常需要根据随机变量的不同取值范围，将问题分成几个部分，分别计算每个部分的期望值.然后，根据每个部分发生的概率，将这些期望值加权求和，得到整个随机变量的期望值.通过分类讨论，可以更准确地计算出随机变量的期望值，从而解决实际问题. 【举一反三】 （2024四川仁寿高三上期一模诊断） 5． 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1) 求的分布列； (2) 以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? （2024届河南新高考联盟5月联考模拟预测） 6． 随着多元化的发展，大学校园中的少数民族学生日益增多为了迎接这些来自不同文化背景的新生，某高校举办了一场特别的少数民族学生（除汉族外）迎新活动，旨在促进不同民族学生间的交流与融合，同时展现学校对多元文化的尊重与包容．学生会统计了参加迎新活动的学生人数，得到相关数据如下： 年级 回族 壮族 满族 蒙古族 其他民族 大一学生 73 6 7 5 7 大二学生 60 12 10 8 15 (1) 从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生进行互动，求至少有一名学生为其他民族的概率； (2) 从参加活动的大一、大二壮族学生中随机抽取3名，记为抽取到的大一学生的人数，求的分布列和期望． （2024届江西新余四中高三下期全真模拟） 7． 小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． （2025届广东广州华南师大附中高三上期10月阶段检测） 8． 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 （2024届福建泉州五中高三下期适应性监测（二）） 9．2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． （2025届甘肃靖远高三第一次全县联考） 9． 某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1) 若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2) 现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 10． 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． (1) 求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； (2) 记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (3) 若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06节 排列组合、概率、数学期望 分类讨论是解决数学问题的一种重要方法，尤其在高中数学中应用广泛.它要求我们根据问题的不同情况，将问题分成几个类别，然后对每一类分别进行讨论和求解.而在高中数学排列组合、概率、数学期望中，分类讨论有重要作用. 在排列组合问题中，分类讨论是一种非常实用的策略，尤其适用于处理那些看似复杂、但实际上可以分解为几个互斥子事件的情况.在概率问题中，分类讨论同样发挥着重要作用.它帮助我们处理那些具有多种可能性的事件.当一个事件的发生依赖于几个互斥的条件时，我们可以分别计算每个条件下事件发生的概率，然后利用概率的加法规则求得总概率.在计算数学期望时，分类讨论同样是一种不可或缺的工具，它允许我们处理随机变量取值的多种情况，尤其是当这些取值依赖于几个互斥的事件时，分类求概率，进而求数学期望. 类型一 在排列组合的应用 【典例1】2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ） A．1440 种    B．1360种 C．1282种    D．1128种 【解题策略】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详细解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有（种）． 故选：D． 【典例2】（2024浙江宁波高三上期高考模拟考试）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 . 【解题策略】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解. 【详细解析】若第一轮在第一轮中得1分， 若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2， 若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3， 若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4， 若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有， 因此第一轮中甲得1分的概率为， 在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为， 因此甲在两轮中共得2分的概率为， 故答案为： 【典例3】在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点（均除O点外），连同O点共个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有多少个？ 【解题策略】本题可用直接解法也可用间接解法，但都需要与分类讨论思想方法相结合，若用直接解法，可利用组合的概念分类求解，再运用加法原理．若用间接法也要利用分类讨论思想，排除三点共线的情况，可以发现间接解法相对简单． 【详细解析】解法一：可以分三类： 1 从OA边上（不包括O点）任取一点与OB边上（不包括O点）任取两点，可构造个三角形； 2 从OA边上（不包括O点）任取两点与OB边上（不包括O点）任取一点，可构造个三角形； 3 从OA边上（不包括O点）任取一点与OB边上（不包括O点）任取一点，与O点可构造个三角形． 由加法原理共有个三角形． 解法二：从个中点中任取三点共有种，其中三点均在射线OA上（包括O点）有种，三点均在射线OB上（包括O点）有种， ∴三角形个数为个． 【方法归纳】 分类讨论是解决排列组合问题的一种重要方法，它要求我们根据问题的不同情况，分别进行讨论，然后将各种情况的结果相加或相乘.当涉及多个条件时，可能需要根据不同的条件进行分类讨论.当排列问题中存在重复元素时，需要根据重复元素的不同排列方式来分类讨论.在组合问题中，如果存在限制条件，如某些元素必须相邻或不能相邻，就需要根据这些条件进行分类讨论.对于分步完成的排列组合问题，每一步可能有不同的情况，需要对每一步进行分类讨论. 在使用分类讨论方法时，需要注意，确保分类是完备的，即所有可能的情况都被考虑到.各种情况之间应该是互斥的，即一种情况的发生不会影响到其他情况.对于每种情况，要正确应用排列组合的公式进行计算.最后，将各种情况的结果按照加法原理或乘法原理进行合并.通过合理运用分类讨论的方法，可以有效地解决高中数学排列组合中的一些复杂问题. 【举一反三】 （2024广东部分学校高三上期11月联考） 1．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．1441 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【分析】分情况讨论，结合排列组合知识计算即可. 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 2． 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球， （1） 从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2） 若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？ 【答案】（1）115（2）186 【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个， 红球4个，取法有种， 红球3个和白球1个，取法有种； 红球2个和白球2个，取法有种； 根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种． （3） 使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白. 第1种， 4红1白，取法有种； 第2种， 3红2白，取法有种， 第3种， 2红3白，取法有种， 根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 类型二 在概率的应用 【典例1】（2025届广东普通高中毕业班第二次调研考试）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A．4    B．8    C．16    D．24 【解题策略】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可. 【详细解析】 样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. （1） 若，则，即，， 此时不满足； （2） 若，则，且，又因为， 所以或，即或3； 1 若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； 2 若，，同理有个满足条件的事件； 3 若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； 4 若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 【典例2】（2025届广东部分学校高三大联考模拟预测）一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【解题策略】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【详细解析】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 【典例3】（2024届河南信阳罗山三校联考高三下期二模）某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表： 男居民 女居民 合计 满意 25 60 不满意 a 2a 合计 90 （1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率； （2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异? 附：． 【解题策略】（1）根据总人数解得，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案. （2）计算，对比临界值表得到答案. 【详细解析】（1）由已知，解得， 所以列联表如下： 男 女 合计 满意 35 25 60 不满意 10 20 30 合计 45 45 90 用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人， 所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为； （2）由， 所以在犯错的概率不超过0.05的前提下， 可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 【方法归纳】 分类讨论是解决高中数学概率问题的一种重要方法.在处理复杂事件的概率计算时，将事件按照不同情况进行划分，可以简化问题，使计算更加清晰.首先确定需要计算概率的事件，理解事件的含义和条件.根据事件的不同特征或条件，确定分类的标准，确保分类互斥且完备.对每一类事件单独计算概率，注意使用正确的概率公式和定理.将各类事件的概率按照加法原理或乘法原理合并，得到最终结果. 在概率中，分类讨论的关键在于合理划分事件，避免遗漏和重复，确保计算的准确性.通过这种方法，可以有效地解决高中数学概率中的一些复杂问题. 【举一反三】 （2024届辽宁名校联盟高考模拟卷（信息卷）（三）） 3． 甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 【答案】D 【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】由题意知， 一二局甲胜的概率为：， 一三局甲胜的概率为：， 二三局甲胜的概率为：， 因此最终甲胜的概率为， 故选：D. （2024届陕西师大附中高三下期第十次模考） 4． 设是坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作出图象，利用几何概型概率计算公式进行计算即可. 【详解】如图，作出的图象， 在区域内随机取一点，记该点为， 则直线的倾斜角不大于的点存在于图中阴影部分内， 该部分的面积为： ， 区域的面积为： ， 则则直线的倾斜角不大于的概率为 ， 故选：A. 类型三 在数学期望的应用 【典例1】将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】求出甲框中球的个数X可能值及对应的概率，求出期望值. 【详细解析】甲框中球的个数X可能为1，3，4， 由小明等概率从甲乙中依次取出球，甲框最先被取完， 若，则第一次就从甲框中取球的概率为， 若第一次从乙框，第二次从甲框中取球的概率为， 若第一、二次从乙框，第三次从甲框中取球的概率为， 若第一、二、三次从乙框，第四次从甲框中取球的概率为， 则甲框中只有一球，且先被取完的概率为； 若，前三次均在甲框中取球，概率为， 前三次有1次从乙框中取球，第四次从甲框中取球，则概率为， 故甲框中只有三球，且先被取完的概率为; 若，则前四次均要从甲框中取球， 故甲框中只有四球，且先被取完的概率为， 所以甲框最先被取完且甲框中不为两个球的概率， 在此前提下，， 则甲框中小球个数的期望. 故选：B. 【典例2】（2025届四川大数据精准教学联盟高三上期一模）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 . 【解题策略】根据题意可知可取，然后再分别算出相应的概率值，再结合从而可求解. 【详细解析】由题意可知可取， 所以，， ， 又因为， 所以 . 故答案为：. 【典例3】某足球赛事中甲、乙两球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术，顽强防守0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为，现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求： （1） 求乙球以4：3点球取胜的概率有多大？ （2） 设足球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望． 【解题策略】概率分布和数学期望本质上体现了分类与整合的思想方法． 【详细解析】（1）乙队以4∶3点球取胜的概率为 ． （3） 乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P 数学期望为：． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学中数学期望的应用主要体现在解决一些涉及随机变量的离散型或连续型分布问题时，需要根据不同的情况分别计算期望值，然后将这些期望值按照各自情况发生的概率加权求和得到总的期望值. 在解决一些涉及分段函数的随机变量期望问题时，我们通常需要根据随机变量的不同取值范围，将问题分成几个部分，分别计算每个部分的期望值.然后，根据每个部分发生的概率，将这些期望值加权求和，得到整个随机变量的期望值.通过分类讨论，可以更准确地计算出随机变量的期望值，从而解决实际问题. 【举一反三】 （2024四川仁寿高三上期一模诊断） 5． 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【答案】(1)答案见解析 (2)应选 【分析】（1）由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解； （2）分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答. 【详解】（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14， 则， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 （2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280， 则，， ， ， ， 则. 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160， 则，， ， ， ， 显然， 所以应选择. （2024届河南新高考联盟5月联考模拟预测） 6． 随着多元化的发展，大学校园中的少数民族学生日益增多为了迎接这些来自不同文化背景的新生，某高校举办了一场特别的少数民族学生（除汉族外）迎新活动，旨在促进不同民族学生间的交流与融合，同时展现学校对多元文化的尊重与包容．学生会统计了参加迎新活动的学生人数，得到相关数据如下： 年级 回族 壮族 满族 蒙古族 其他民族 大一学生 73 6 7 5 7 大二学生 60 12 10 8 15 (1)从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生进行互动，求至少有一名学生为其他民族的概率； (2)从参加活动的大一、大二壮族学生中随机抽取3名，记为抽取到的大一学生的人数，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出从参加活动的大一、大二学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族的概率，结合相互独立事件与对立事件的概率公式计算即可得； （2）由题目条件确定的所有可能取值后，求出对应概率，即可得分布列，借助分布列即可得其期望. 【详解】（1）设“从参加活动的大一学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”， “从参加活动的大二学生中随机抽取1名学生，该学生为其他民族”， “从参加活动的大一、大二学生中各随机抽取1名学生，至少有一名学生为其他民族”， 则，， 则； （2）由表可知参加活动的大一、大二壮族学生分别为人，人， 则的可能取值为，，，， ， ， ， ， 故其分布列为： . （2024届江西新余四中高三下期全真模拟） 7． 小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用隔板法求出，再根据部分平均分组法计算出，即可求解. 【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 利用隔板法共有种放法，所以； 将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 可以将个球分成组，有和两种分组方法， 按分组时，有种放法，按分组时，有种放法， 所以，所以. 故选：B （2025届广东广州华南师大附中高三上期10月阶段检测） 8． 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】利用古典概型分别求出，由可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个， 其中事件有，共12个， 事件有，共12个，事件有，共4个基本事件， 所以, 所以，故相互独立， 答选：C （2024届福建泉州五中高三下期适应性监测（二）） 9．2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列组合公式，还需要用到分类计数加法原理和分步计数乘法原理，因为遇到不相邻问题，还得用插空法原理. 【详解】由题意知这6幅作品排成两排挂在同一面墙上的不同挂法有：种， 由于美术作品不相邻，按以下情形分类： 1 美术作品挂在第一排的不同挂法有：种； 2 美术作品分挂在两排的不同挂法有：种； 所以美术作品不相邻的概率是：， 故选：C. （2025届甘肃靖远高三第一次全县联考） 9． 某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【答案】(1) (2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析， 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）设导弹击中目标的个数为，根据题意，利用相互独立重复事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，，所以. （2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标. 设导弹击中目标的个数为，则， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 10． 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． (1) 求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； (2) 记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (3) 若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】(1) (4) 分布列及期望见解析. (5) 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； (6) 参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. (7) 根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【详解】（1）设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. (8) 依题意知服从超几何分布，且 ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . (9) 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$