2026届高考数学思想方法大合集-数列中的分类与整合思想讲义

第05节 数列 在高中数学中，数列是研究数的有序排列的一类问题。分类讨论是一种重要的数学思想方法，它要求我们在解决问题时，根据不同的条件或情况，将问题分成几个部分分别讨论。在数列问题中，分类讨论可以帮助我们更准确地找到数列的通项公式、求和公式，以及解决与数列相关的其他问题。 对于数列的概念及其表示，我们需要利用n=1和或为奇数或偶数来分类讨论求通项公式；在解决数列的求和问题时，我们可能需要根据项数n的不同来分类讨论，如为奇数或偶数；在研究数列的新定义问题时，我们常常需要根据题目的相关条件，利用分类讨论进行分析，得出数列的性质进行求解. 通过分类讨论，我们可以更细致地分析问题，从而找到解决问题的多种可能性，确保我们的解答既全面又准确。在高中数学的数列问题中，灵活运用分类讨论的方法，可以帮助我们更好地理解和掌握数列的性质和规律。 类型一 数列的概念及其表示 【典例1】大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（ ） A．数列第16项为144    B．数列第16项为128 C．200是数列第18项    D．200不是数列中的项 【解题策略】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可判断各选项. 【详细解析】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 【典例2】在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是 【解题策略】由已知结合两角和的正切公式得，当时，可知均为锐角，结合正切函数的性质分析，当时，对前面的式子化简变形结合基本不等式可求得结果. 【详细解析】由已知得，则 所以 ， 若，则， 所以， 所以， 这与矛盾，故， 所以， 即，， 当且仅当时取等号， 所以B的取值范围是． 故答案为： 【典例3】 已知数列的通项公式且 （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列中最大值的项和最小值的项． 【解题策略】已知数列为前n项和的形式，求通项公式时必须对或分类讨论，若数列的通项为分段形式，则必须分类求最值再整合． 【详细解析】（1）， ． 当时，，，； 当时，． ． 综上， （3） 当时，， 当时，． 因为在时为增函数，所以必有． 由，可知． 因为， 所以数列的最大值项为，最小值项为． 【方法归纳】 分类讨论在数列的概念及其表示的应用主要体现在以下几个方面。首先，数列的定义可以分为有限数列和无限数列。有限数列有明确的项数，而无限数列则项数无限。在处理问题时，需要根据数列的类型选择合适的方法。其次，数列的通项公式可以是显式的，也可以是递推的。显式公式直接给出数列的第n项与n的关系，而递推公式则给出数列中相邻项之间的关系。在应用时，需要根据数列的通项公式形式来确定求解策略。数列的性质也可以根据其特点进行分类讨论。选择合适的工具和方法来处理数列相关的问题。 【举一反三】 1． 一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（    ） A． 第3层的塔数为3 B． 第4层与第5层的塔数相等 C． 第6层的塔数为9 D． 等差数列的公差为2 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，分，和三种情况讨论，结合等差数列的前项和公式分析得的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若，则这10层的塔数之和为， 则最多有座塔，不符合题意； 若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意； 所以，这10层的塔数之和为， 塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 依题意剩下2层的塔数为3与5， 所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19， 因此A，B，D正确，C错误． 故选：C. 2． 若数列满足：，其中且，若对任意成立，则实数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由已知去绝对值得，即，采用叠加法求出，分为奇偶讨论求出的分段函数，结合极限即可求解的最小值. 【详解】因为，且， 所以， 即， ，， ， 累加得 ， 又，所以， 即， 当为奇数时，单调递增，，， 当为偶数时，单调递减，，， 要使对任意成立，则，实数的最小值是. 故选：D 类型二 数列求和 【典例1】已知数列的前项和为，，，若，则（ ） A．48    B．49    C．50    D．51 【解题策略】根据题意，得到是等比数列，求得，结合，分为偶数和为奇数，列出方程，即可求解. 【详细解析】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当n为偶数时，，当n为奇数时，， 又由， 当为偶数时，由， 可得，解得或（舍去）； 当为奇数时，由， 可得，解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，． 故选：A. （2024届辽宁沈阳小三校高三上期10月联考） 【典例2】已知等比数列满足，公比为q，前n项和为，令，若为递增数列，则q的取值范围为 ． 【解题策略】需对和分类讨论，求出的通项公式，结合为递增数列，由即可求解. 【详细解析】由题可知，则有： 当时，，，， 要使为递增数列，则，显然满足，故符合题意； 当时，，则，， 要使为递增数列， ， 则，，故， 综上所述， 故答案为： 【典例3】数列中，，数列是公比为的等比数列．求数列的前2n项的和． 【解题策略】：由是等比数列可得的奇数项、偶数项分别成等比数列，求和时还要对，分类讨论． 【详细解析】 由数列是公比为q的等比数列，得． 这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又，则当时， ； 当时， ． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学数列求和的应用主要体现在解决不同类型的数列求和问题时，根据数列的特性将其分成若干个类别，然后分别求解。比如分类讨论n的奇偶来求解前n项和，讨论当时和当时的表达式等，这些需要通过分组求和、错位相减等技巧来处理，根据这些因素的不同，选择合适的求和方法。而对于含有参数的数列求和问题，需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论，以确保求和公式在各种情况下都适用。 【举一反三】 3． 设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）． (1) 求常数m与的值； (2) 用n、x表示数列的前n项和； (3) 若，试用n、x表示． 【答案】(1)， (4) (5) 【分析】（1）根据组合数与排列数的性质可求得的值，进而计算可求得； (6) 根据二项展开式的通项可求得的值，从而可求得． (7) 用倒序相加法及组合数的性质可求得． 【详解】（1）由题设可知：，所以，． (8) ，． 当时，，当且时，， 所以. (9) 当时，，① 又，② 由式①＋②得：，所以． 当且时， ， 所以. 4． 已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2)设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，是等比数列；当时，不是等比数列，证明见解析 (2)当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【分析】（1）先证明，然后判断的首项是否为零即可； （2）将命题等价转化为不等式，然后讨论参数之间的大小关系即可得到答案. 【详解】（1）我们有 . 所以是等比数列当且仅当，即. 综上，当时，是等比数列；当时，不是等比数列. （2）我们已经证明，而， 所以无论怎样都有. 这表明 . 故条件即为对任意正整数成立， 此即，即. 当为奇数时，有，； 而当为偶数时，有，. 故，而这两个不等号分别在和时取等， 故条件等价于且. 此即且. 由于，故且，从而条件等价于. 这表明存在的充要条件是，即，此时的取值范围是. 综上，当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对参数之间大小关系的分类讨论，在分类讨论时需要避免重复或遗漏. 类型三 新定义问题 （2024届上海普陀桃浦中学高三上期期末） 【典例1】对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ） A． 若为“s数列”，则为“t数列” B． 若，则为“t数列” C． 若，则为“s数列” D． 若等比数列为“t数列”则为“s数列” 【解题策略】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确； 设，取，可判定D错误. 【详细解析】设，此时满足， 也满足，， 即，，为“s数列”， 因为，所以A错误； 若，则，满足①， ，令， 若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足， 若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误； 若，则，满足①， ，， 因为，所以，，满足②，所以C正确； 不妨设，满足，且，， 当为奇数，取，使得； 当为偶数，取，使得，所以为“数列”， 但此时不满足，，不妨取， 则，而， 则为“数列”，所以D错误. 故选：C. 【典例2】已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题： 1 数列具有性质； 2 数列具有性质； 3 若数列具有性质，则； 4 若数列具有性质，则. 其中正确的命题有 . 【解题策略】利用数列新定义判断①, ②； 5 取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项,即可判断； 6 由题意可知与至少有一个是该数列中的一项，且，分是该数列中的一项和是该数列中的一项讨论即可. 【详细解析】 1 对于数列0，1，3，选取1，3，则3+1A，，所以数列0，1，3不具有性质P，故错误； 2 对于数列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），（6+0，6-0），（4+2，4-2），（6+2，6-2），（6+4，6-4）这6组数中的每一组至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质P.故正确； 3 若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项， 又由，所以，故③正确； 4 因为数列具有性质， 所以与至少有一个是该数列中的一项，且， 若是该数列中的一项，则， 因为，易知不是该数列的项， 所以，所以． 若是该数列中的一项，则或或， a、若同， b、 若，则，与矛盾， c、 ，则， 综上．故④正确． 故答案为：②③④. 【典例3】斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： （1） 若等比数列满足条件，求的公比q． （2） 若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． （3） 设，试写出斐波那契数列的通项公式． 【解题策略】 （1） 利用等比数列的定义解方程即可； （2） 分类讨论求等比数列基本量即可； （3） 利用（2）的结果直接相加即可. 【详细解析】 （1） 由题意可知，又， 则； （2） 设，的公比分别为，由可知显然， 结合（1），由于两数列结构相同，不妨令， 则， 所以， 交换公比，则有； （3） 由（2）可知. 【方法归纳】 在新定义的问题中，面对一些复杂或不熟悉的问题时，通过分类讨论可以将问题分解为几个更简单、更易于处理的部分。在具体应用时，需要明确问题的条件和结论，确定需要分类讨论的变量或参数，根据问题的性质，找出分类的标准。对每一类情况分别进行讨论，注意确保讨论的全面性，不遗漏任何可能的情况. 在解决含有绝对值的不等式问题时，需要根据绝对值内部表达式的正负来分类讨论；在研究函数的性质时，可能需要根据参数的不同取值范围来讨论函数的单调性、极值等。通过分类讨论，可以更系统地分析问题，找到解决问题的途径。 【举一反三】 5． 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1) 若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2) 若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3) 设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析 (4) 数列是“紧密数列”，理由见解析 (5) 【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可； (6) 利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”； (7) 先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1），所以不是“紧密数列”； (8) 数列为“紧密"数列；理由如下： 数列的前项和， 当时，； 当时，， 又，即满足，因此， 所以对任意， 所以， 因此数列为“紧密”数列； (9) 因为数列是公比为的等比数列，前项和为， 当时，有， 所以，满足题意； 当时.， 因为为“紧密"数列，所以.即或， 当时，， ， 所以，满足为“紧密”数列； 当时，，不满足为“紧密"数列； 综上，实数的取值范围是. 6． 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明 (2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可. 【详解】（1）点在函数的图象上，， 是“平方递推数列”．                         因为， 对两边同时取对数得， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，                              由数列的通项公式得， 当时，；当时，． 又由，得                  当且时，；                           当且时， ，                                    综上， （2024广东佛山顺德普通高中高三上期教学质量检测一） 7． 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 【答案】C 【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项， 进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值. 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. （2025届新疆高三上期11月新课标卷大联考） 8． 定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. （2024届山西太原高三模拟考试（三）（5月）） 9． 已知定义域是的函数 满足对于任意 都有 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】赋值法先求出的部分值，猜想出，利用裂项相消法求即可. 【详解】因为，， 所以令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 所以，， 所以 ， 故选：C. （2024九师联盟高三下期3月质量检测） 10． 将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，对分奇数和偶数进行讨论，进而可以得到的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，， 所以， 当时，， 则， 故数列的前2024项的和为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05节 数列 在高中数学中，数列是研究数的有序排列的一类问题。分类讨论是一种重要的数学思想方法，它要求我们在解决问题时，根据不同的条件或情况，将问题分成几个部分分别讨论。在数列问题中，分类讨论可以帮助我们更准确地找到数列的通项公式、求和公式，以及解决与数列相关的其他问题。 对于数列的概念及其表示，我们需要利用n=1和或为奇数或偶数来分类讨论求通项公式；在解决数列的求和问题时，我们可能需要根据项数n的不同来分类讨论，如为奇数或偶数；在研究数列的新定义问题时，我们常常需要根据题目的相关条件，利用分类讨论进行分析，得出数列的性质进行求解. 通过分类讨论，我们可以更细致地分析问题，从而找到解决问题的多种可能性，确保我们的解答既全面又准确。在高中数学的数列问题中，灵活运用分类讨论的方法，可以帮助我们更好地理解和掌握数列的性质和规律。 类型一 数列的概念及其表示 【典例1】大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（ ） A．数列第16项为144    B．数列第16项为128 C．200是数列第18项    D．200不是数列中的项 【解题策略】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可判断各选项. 【详细解析】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 【典例2】在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是 【解题策略】由已知结合两角和的正切公式得，当时，可知均为锐角，结合正切函数的性质分析，当时，对前面的式子化简变形结合基本不等式可求得结果. 【详细解析】由已知得，则 所以 ， 若，则， 所以， 所以， 这与矛盾，故， 所以， 即，， 当且仅当时取等号， 所以B的取值范围是． 故答案为： 【典例3】 已知数列的通项公式且 （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列中最大值的项和最小值的项． 【解题策略】已知数列为前n项和的形式，求通项公式时必须对或分类讨论，若数列的通项为分段形式，则必须分类求最值再整合． 【详细解析】（1）， ． 当时，，，； 当时，． ． 综上， （3） 当时，， 当时，． 因为在时为增函数，所以必有． 由，可知． 因为， 所以数列的最大值项为，最小值项为． 【方法归纳】 分类讨论在数列的概念及其表示的应用主要体现在以下几个方面。首先，数列的定义可以分为有限数列和无限数列。有限数列有明确的项数，而无限数列则项数无限。在处理问题时，需要根据数列的类型选择合适的方法。其次，数列的通项公式可以是显式的，也可以是递推的。显式公式直接给出数列的第n项与n的关系，而递推公式则给出数列中相邻项之间的关系。在应用时，需要根据数列的通项公式形式来确定求解策略。数列的性质也可以根据其特点进行分类讨论。选择合适的工具和方法来处理数列相关的问题。 【举一反三】 1． 一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（    ） A． 第3层的塔数为3 B． 第4层与第5层的塔数相等 C． 第6层的塔数为9 D． 等差数列的公差为2 2． 若数列满足：，其中且，若对任意成立，则实数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 类型二 数列求和 【典例1】已知数列的前项和为，，，若，则（ ） A．48    B．49    C．50    D．51 【解题策略】根据题意，得到是等比数列，求得，结合，分为偶数和为奇数，列出方程，即可求解. 【详细解析】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当n为偶数时，，当n为奇数时，， 又由， 当为偶数时，由， 可得，解得或（舍去）； 当为奇数时，由， 可得，解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，． 故选：A. （2024届辽宁沈阳小三校高三上期10月联考） 【典例2】已知等比数列满足，公比为q，前n项和为，令，若为递增数列，则q的取值范围为 ． 【解题策略】需对和分类讨论，求出的通项公式，结合为递增数列，由即可求解. 【详细解析】由题可知，则有： 当时，，，， 要使为递增数列，则，显然满足，故符合题意； 当时，，则，， 要使为递增数列， ， 则，，故， 综上所述， 故答案为： 【典例3】数列中，，数列是公比为的等比数列．求数列的前2n项的和． 【解题策略】：由是等比数列可得的奇数项、偶数项分别成等比数列，求和时还要对，分类讨论． 【详细解析】 由数列是公比为q的等比数列，得． 这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又，则当时， ； 当时， ． 【方法归纳】 分类讨论在高中数学数列求和的应用主要体现在解决不同类型的数列求和问题时，根据数列的特性将其分成若干个类别，然后分别求解。比如分类讨论n的奇偶来求解前n项和，讨论当时和当时的表达式等，这些需要通过分组求和、错位相减等技巧来处理，根据这些因素的不同，选择合适的求和方法。而对于含有参数的数列求和问题，需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论，以确保求和公式在各种情况下都适用。 【举一反三】 3． 设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）． (1) 求常数m与的值； (2) 用n、x表示数列的前n项和； (3) 若，试用n、x表示． 4． 已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1) 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2) 设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 类型三 新定义问题 （2024届上海普陀桃浦中学高三上期期末） 【典例1】对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ） A． 若为“s数列”，则为“t数列” B． 若，则为“t数列” C． 若，则为“s数列” D． 若等比数列为“t数列”则为“s数列” 【解题策略】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确； 设，取，可判定D错误. 【详细解析】设，此时满足， 也满足，， 即，，为“s数列”， 因为，所以A错误； 若，则，满足①， ，令， 若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足， 若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误； 若，则，满足①， ，， 因为，所以，，满足②，所以C正确； 不妨设，满足，且，， 当为奇数，取，使得； 当为偶数，取，使得，所以为“数列”， 但此时不满足，，不妨取， 则，而， 则为“数列”，所以D错误. 故选：C. 【典例2】已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题： 1 数列具有性质； 2 数列具有性质； 3 若数列具有性质，则； 4 若数列具有性质，则. 其中正确的命题有 . 【解题策略】利用数列新定义判断①, ②； 5 取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项,即可判断； 6 由题意可知与至少有一个是该数列中的一项，且，分是该数列中的一项和是该数列中的一项讨论即可. 【详细解析】 1 对于数列0，1，3，选取1，3，则3+1A，，所以数列0，1，3不具有性质P，故错误； 2 对于数列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），（6+0，6-0），（4+2，4-2），（6+2，6-2），（6+4，6-4）这6组数中的每一组至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质P.故正确； 3 若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项， 又由，所以，故③正确； 4 因为数列具有性质， 所以与至少有一个是该数列中的一项，且， 若是该数列中的一项，则， 因为，易知不是该数列的项， 所以，所以． 若是该数列中的一项，则或或， a、若同， b、 若，则，与矛盾， c、 ，则， 综上．故④正确． 故答案为：②③④. 【典例3】斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： （1） 若等比数列满足条件，求的公比q． （2） 若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． （3） 设，试写出斐波那契数列的通项公式． 【解题策略】 （1） 利用等比数列的定义解方程即可； （2） 分类讨论求等比数列基本量即可； （3） 利用（2）的结果直接相加即可. 【详细解析】 （1） 由题意可知，又， 则； （2） 设，的公比分别为，由可知显然， 结合（1），由于两数列结构相同，不妨令， 则， 所以， 交换公比，则有； （3） 由（2）可知. 【方法归纳】 在新定义的问题中，面对一些复杂或不熟悉的问题时，通过分类讨论可以将问题分解为几个更简单、更易于处理的部分。在具体应用时，需要明确问题的条件和结论，确定需要分类讨论的变量或参数，根据问题的性质，找出分类的标准。对每一类情况分别进行讨论，注意确保讨论的全面性，不遗漏任何可能的情况. 在解决含有绝对值的不等式问题时，需要根据绝对值内部表达式的正负来分类讨论；在研究函数的性质时，可能需要根据参数的不同取值范围来讨论函数的单调性、极值等。通过分类讨论，可以更系统地分析问题，找到解决问题的途径。 【举一反三】 5． 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”. (1) 若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (2) 若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3) 设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 6． 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1) 证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2) 设，定义，且记，求数列的前n项和． （2024广东佛山顺德普通高中高三上期教学质量检测一） 7． 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 （2025届新疆高三上期11月新课标卷大联考） 8． 定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． B． D． （2024届山西太原高三模拟考试（三）（5月）） 9． 已知定义域是的函数 满足对于任意 都有 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． （2024九师联盟高三下期3月质量检测） 10． 将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$