2026届高考数学思想方法大合集-平面向量中的分类与整合思想讲义

第04节 平面向量 在高中数学中，平面向量是个重要的概念，它涉及到几何、代数以及三角等多个数学分支.分类讨论是解决数学问题的一种常用方法，它要求我们根据不同的条件或情况，对问题进行分门别类的讨论，以确保问题的全面解决.在平面向量的应用中，分类讨论可以帮助我们处理向量问题中的不同情况，从而得到正确的结论. 在线性运算中，可以通过对点不同位置的分类讨论，得出位置关系，进而求解问题；在求解坐标运算时，可以建立坐标系，分类讨论角度或范围，利用坐标运算来求解；在处理数量积问题时，通过建立一元二次方程或不等式，分类讨论求解问题. 通过分类讨论，我们可以确保在处理平面向量问题时，考虑到所有可能的情况，从而避免遗漏解或得出错误的结论.这种方法在解决复杂的数学问题时尤其重要，它有助于提高解题的准确性和完整性.在解决这些问题时，分类讨论可以帮助我们更全面地考虑问题的所有可能性，从而避免遗漏解或错误判断. 类型一 线性运算 【典例1】（2024天津河北高三总复习质量检测（二））是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解. 【详细解析】 设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示， 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是. 故选：B. 【典例2】（2024黑龙江哈尔滨六中高三下学期第二次模拟考试）已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数 . 【解题策略】由已知等式可得，两边平方后，结合数量积运算，即可求得答案. 【详细解析】由题意知，，故， 则，即， 即，解得或， 时，，不合题意，故， 故答案为： 【典例3】已知，求△ABC为等腰直角三角形的充要条件. 【解题策略】直角顶点未明确，必须对哪一角为直角进行分类讨论. 【详细解析】 （1） 当时，△ABC为等腰直角三角形且. （2） 当时，△ABC为等腰直角三角形且，，或 （3） 当时，△ABC为等腰直角三角形 且，，或 综上所述， △ABC为等腰直角三角形的充要条件是或或或或 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量线性运算中的应用主要体现在解决涉及向量方向和大小变化的问题上.当问题涉及到向量在不同象限时，需要根据向量的实际方向来判断其分量的正负.在涉及向量长度变化的问题中，需要根据向量长度的不同区间来分析问题.在涉及向量夹角的问题中，需要根据夹角的不同范围来讨论向量的性质. 在实际操作中，要根据具体问题的条件和要求，合理地划分不同的情况，逐一分析每种情况下的向量性质和运算结果，最后综合所有情况得出结论. 【举一反三】 1． 平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当圆与的切点在延长线上时，求出临界点时，从而得到的取值范围，即可得解. 【详解】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B （2024陕西安康市高新中学、安康中学高新分校高三下期5月模拟预测） 2． 已知的内角的对边分别为为的中点.，，则的值为（    ） A．或 B． C． D．1或4 【答案】A 【分析】因为为的中点，所以为上的中线，用向量解决中线问题，得到，两边同时平方得到一个关于的方程，解出，再利用余弦定理得到的值. 【详解】由题意，知，所以， 所以且，即，解得或. 当时，，即； 当时，，即. 故选：A. 类型二 坐标表示及运算 【典例1】（2024天津四十七中高三下期高考模拟）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详细解析】 由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 【典例2】在中，分别为的中点，为与的交点，且若，则 ；若在上的投影向量的模长为1，则在上的投影向量的模长为 . 【解题策略】根据题意，由平面向量基本定理可得，即可得到结果；由投影向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详细解析】 由题意知，是的重心，所以，因， 所以，又因为，所以， 则， 即，则； 因为在上的投影向量的模长为， 且在上的投影向量的模长为，且， 所以，解得或，则或. 故答案为：；或. 【典例3】在△ABC中，，点. （1） 若C（2，0），且A、B、C能构成直角三角形，求点B的坐标； （2） x轴上是否存在点B、C，满足？若存在，求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题策略】 第（1）问，△ABC中哪一个角是直角？必须分类讨论，即使某角不可能是直角，也必须说明理由.第（2）问，点B、C在x轴上的位置关系未定，也会有两种不同的情况. 【详细解析】 （1） 设点B（x，y），则，，. ，，. ，. 当时，，，又，或2. ∴点B的坐标为（0，0）或（2，2）. 当时，，，即.又，.∴点B的坐标为（0，0）或（2，2）或或. 综上所述，点B的坐标为（0，0）或（2，2）或或. （2） 依题意可设点B（b，0），C（c，0）.则，. ，，，.或.∴点B，C的坐标分别为（0，0），（2，0）或（2，0），（0，0）. 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量坐标表示及运算的方法主要涉及以下几个方面.可以用坐标法可以将任意向量坐标表示，建立方程来求解；可以用向量的坐标运算代替平面向量的线性运算，进而利用分类讨论求解问.在进行向量运算时，需要根据具体问题的条件，选择合适的运算方法，并注意向量运算的几何意义和代数规则. 【举一反三】 （2024山东济钢高中高三5月适应性考试） 3． 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． 点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 B． 点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D    （2024安徽合肥六中高三最后一卷） 4． 已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A． ， B．， B． ， D．， 【答案】C 【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解. 【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得； 当时，，即，解得． 故选：C 类型三 数量积问题 【典例1】（2024贵州高三下期高考模拟信息卷（一））已知向量，，且，则的坐标可以是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】设，根据题设得到和，联立求解，即可求出结果. 【详细解析】设， 因为， 所以①， 又，得到， 又，所以②， 联立①②解得或， 所以的坐标可以是， 故选：A. 【典例2】（2024湖北宜荆荆高三下期五月高考适应性考试）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 . 【解题策略】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可. 【详细解析】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：. 【典例3】已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为. （1）求的方程； （2）过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值. 【解题策略】（1）利用展开计算求最值可得的值； （2）设直线的方程为，直线的方程为，根据与圆相切求出满足的二次方程，求出直线斜率的斜率，利用导数求解最值. 【详细解析】（1）连接，由题意知 ，当点与点重合时取等号， 得， 所以的方程为； （2）由题意知， 连接，则， 所以. 又当时，圆与轴相切，不满足题意； 当时，圆与轴相切，不满足题意， 故且. 设直线的方程为， 因为直线为圆的切线，所以， 整理得.② 设直线的方程为， 同理可得， 所以是关于的方程的两个根， 所以.设， 由得，同理可得， 所以直线的斜率为， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 所以直线斜率的最大值为. 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量数量积中的方法主要涉及以下几个方面.首先，根据两个向量的夹角进行分类讨论.当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于零；当夹角为钝角时，数量积小于零；当夹角为直角时，数量积等于零.其次，根据向量的模长进行分类讨论.如果两个非零向量的模长相等，那么它们的数量积等于它们夹角的余弦值乘以任一向量的模长的平方；如果模长不等，数量积则为两向量模长乘积与夹角余弦值的乘积.再次，根据向量的方向进行分类讨论.如果两个向量方向相同，数量积为正；如果方向相反，数量积为负；如果方向垂直，数量积为零.在应用分类讨论方法时，需要明确讨论的依据和条件，确保每种情况都被考虑到，避免遗漏或重复. 【举一反三】 （2024江西新余高三第二次模拟） 5． 已知，，若与的夹角为，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量积的运算律计算，再利用向量数量积的定义计算，列出相关等式可得的值. 【详解】因为，， 所以， ， ， 因为， 又， 所以， 解得或， 因为，所以， 解得， 所以. 故选：. （2024广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学高三下期第五次六校联考） 6． 已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用向量数量积的运算性质可得，从而点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解. 【详解】设，， 则是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 对于，即， 两边平方得，化简得， 因此可以得到与的夹角，在构成等边三角形时取等号， 在如图所示的圆中，点在圆上，其中劣弧的度数为， 点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部， 若点在圆上，根据正弦定理， 可得圆的半径满足，即， 设为的中点，则， 当时，长达到最大值，此时为等边三角形， 可知，即， 当点在圆的内部时，则重合时，， 此时取最小值，又， 综上所述，的取值范围为. 故选：D 7． 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案. 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 8． 在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，分类讨论可能的情况，结合向量数量积的坐标运算公式求解答案. 【详解】在等腰直角中，，则， 如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，    1 为线段靠近的三等分点，则， 此时，，则； 2 为线段靠近的三等分点，则， 此时，，则. 所以的值可能为2或. 故选：BD 9． 平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N． 【答案】 【分析】根据平衡状态，求得，结合向量数量积求解即可； 【详解】由题意得：， 所以 ， 故答案为：. 10． 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. (1) 求的余弦值； (2) 设，求的值； (3) 若点自点A逆时针沿正方形的边再运动到点A，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (4) (5) 或 【分析】（1）建立平面坐标系，利用夹角的坐标表示计算即可； (6) 利用向量共线的充要条件待定系数计算即可； (7) 分类讨论P的位置，利用向量垂直的充要条件及模长公式计算即可. 【详解】（1）以点A为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 所以， 因为是与的夹角， 所以 所以的余弦值为. (8) 因为，所以，则， 又三点共线，所以设， 即，则， 解得. (9) 由（1）得，假设存在点，使得. 1 当点在上时，设， 所以， 则，解得，故， 2 当点在上时，设， 所以， 则，解得（舍去）； 3 当点在上时，设， 所以， 则，解得（舍去）； 4 当点在上时，设， 则， 则，则，故， 所以， 综上，存在符合题意的点或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04节 平面向量 在高中数学中，平面向量是个重要的概念，它涉及到几何、代数以及三角等多个数学分支.分类讨论是解决数学问题的一种常用方法，它要求我们根据不同的条件或情况，对问题进行分门别类的讨论，以确保问题的全面解决.在平面向量的应用中，分类讨论可以帮助我们处理向量问题中的不同情况，从而得到正确的结论. 在线性运算中，可以通过对点不同位置的分类讨论，得出位置关系，进而求解问题；在求解坐标运算时，可以建立坐标系，分类讨论角度或范围，利用坐标运算来求解；在处理数量积问题时，通过建立一元二次方程或不等式，分类讨论求解问题. 通过分类讨论，我们可以确保在处理平面向量问题时，考虑到所有可能的情况，从而避免遗漏解或得出错误的结论.这种方法在解决复杂的数学问题时尤其重要，它有助于提高解题的准确性和完整性.在解决这些问题时，分类讨论可以帮助我们更全面地考虑问题的所有可能性，从而避免遗漏解或错误判断. 类型一 线性运算 【典例1】（2024天津河北高三总复习质量检测（二））是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解. 【详细解析】 设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示， 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是. 故选：B. 【典例2】（2024黑龙江哈尔滨六中高三下学期第二次模拟考试）已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数 . 【解题策略】由已知等式可得，两边平方后，结合数量积运算，即可求得答案. 【详细解析】由题意知，，故， 则，即， 即，解得或， 时，，不合题意，故， 故答案为： 【典例3】已知，求△ABC为等腰直角三角形的充要条件. 【解题策略】直角顶点未明确，必须对哪一角为直角进行分类讨论. 【详细解析】 （1） 当时，△ABC为等腰直角三角形且. （2） 当时，△ABC为等腰直角三角形且，，或 （3） 当时，△ABC为等腰直角三角形 且，，或 综上所述， △ABC为等腰直角三角形的充要条件是或或或或 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量线性运算中的应用主要体现在解决涉及向量方向和大小变化的问题上.当问题涉及到向量在不同象限时，需要根据向量的实际方向来判断其分量的正负.在涉及向量长度变化的问题中，需要根据向量长度的不同区间来分析问题.在涉及向量夹角的问题中，需要根据夹角的不同范围来讨论向量的性质. 在实际操作中，要根据具体问题的条件和要求，合理地划分不同的情况，逐一分析每种情况下的向量性质和运算结果，最后综合所有情况得出结论. 【举一反三】 1． 平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． （2024陕西安康市高新中学、安康中学高新分校高三下期5月模拟预测） 2． 已知的内角的对边分别为为的中点.，，则的值为（    ） A．或 B． C． D．1或4 类型二 坐标表示及运算 【典例1】（2024天津四十七中高三下期高考模拟）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详细解析】 由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 【典例2】在中，分别为的中点，为与的交点，且若，则 ；若在上的投影向量的模长为1，则在上的投影向量的模长为 . 【解题策略】根据题意，由平面向量基本定理可得，即可得到结果；由投影向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详细解析】 由题意知，是的重心，所以，因， 所以，又因为，所以， 则， 即，则； 因为在上的投影向量的模长为， 且在上的投影向量的模长为，且， 所以，解得或，则或. 故答案为：；或. 【典例3】在△ABC中，，点. （1） 若C（2，0），且A、B、C能构成直角三角形，求点B的坐标； （2） x轴上是否存在点B、C，满足？若存在，求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题策略】 第（1）问，△ABC中哪一个角是直角？必须分类讨论，即使某角不可能是直角，也必须说明理由.第（2）问，点B、C在x轴上的位置关系未定，也会有两种不同的情况. 【详细解析】 （1） 设点B（x，y），则，，. ，，. ，. 当时，，，又，或2. ∴点B的坐标为（0，0）或（2，2）. 当时，，，即.又，.∴点B的坐标为（0，0）或（2，2）或或. 综上所述，点B的坐标为（0，0）或（2，2）或或. （2） 依题意可设点B（b，0），C（c，0）.则，. ，，，.或.∴点B，C的坐标分别为（0，0），（2，0）或（2，0），（0，0）. 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量坐标表示及运算的方法主要涉及以下几个方面.可以用坐标法可以将任意向量坐标表示，建立方程来求解；可以用向量的坐标运算代替平面向量的线性运算，进而利用分类讨论求解问.在进行向量运算时，需要根据具体问题的条件，选择合适的运算方法，并注意向量运算的几何意义和代数规则. 【举一反三】 （2024山东济钢高中高三5月适应性考试） 3． 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． 点的轨迹为圆 B．点到原点最短距离为2 B． 点的轨迹是一个正方形 D．点的轨迹所围成的图形面积为24 （2024安徽合肥六中高三最后一卷） 4． 已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A． ， B．， B． ， D．， 类型三 数量积问题 【典例1】（2024贵州高三下期高考模拟信息卷（一））已知向量，，且，则的坐标可以是（ ） A.    B.    C.    D. 【解题策略】设，根据题设得到和，联立求解，即可求出结果. 【详细解析】设， 因为， 所以①， 又，得到， 又，所以②， 联立①②解得或， 所以的坐标可以是， 故选：A. 【典例2】（2024湖北宜荆荆高三下期五月高考适应性考试）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 . 【解题策略】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可. 【详细解析】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：. 【典例3】已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为. （1）求的方程； （2）过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值. 【解题策略】（1）利用展开计算求最值可得的值； （2）设直线的方程为，直线的方程为，根据与圆相切求出满足的二次方程，求出直线斜率的斜率，利用导数求解最值. 【详细解析】（1）连接，由题意知 ，当点与点重合时取等号， 得， 所以的方程为； （2）由题意知， 连接，则， 所以. 又当时，圆与轴相切，不满足题意； 当时，圆与轴相切，不满足题意， 故且. 设直线的方程为， 因为直线为圆的切线，所以， 整理得.② 设直线的方程为， 同理可得， 所以是关于的方程的两个根， 所以.设， 由得，同理可得， 所以直线的斜率为， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 所以直线斜率的最大值为. 【方法归纳】 分类讨论在高中数学平面向量数量积中的方法主要涉及以下几个方面.首先，根据两个向量的夹角进行分类讨论.当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于零；当夹角为钝角时，数量积小于零；当夹角为直角时，数量积等于零.其次，根据向量的模长进行分类讨论.如果两个非零向量的模长相等，那么它们的数量积等于它们夹角的余弦值乘以任一向量的模长的平方；如果模长不等，数量积则为两向量模长乘积与夹角余弦值的乘积.再次，根据向量的方向进行分类讨论.如果两个向量方向相同，数量积为正；如果方向相反，数量积为负；如果方向垂直，数量积为零.在应用分类讨论方法时，需要明确讨论的依据和条件，确保每种情况都被考虑到，避免遗漏或重复. 【举一反三】 （2024江西新余高三第二次模拟） 5． 已知，，若与的夹角为，则（    ） A．-1 B．1 C． D． （2024广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学高三下期第五次六校联考） 6． 已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8． 在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C． D． 9． 平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N． 10． 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. (1) 求的余弦值； (2) 设，求的值； (3) 若点自点A逆时针沿正方形的边再运动到点A，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$