2026届高考数学思想方法大合集-复数中的分类与整合思想讲义

第03节 复数 在高中数学中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理含有参数的复数问题时，这种方法显得尤为重要.复数问题中的分类讨论通常涉及以下三个方面：求复数方程的根、复数的运算和复数的几何意义的探索. 在解决复数方程时，方程的解可能依赖于参数的不同取值.因此，需要对参数的不同取值进行分类讨论，以求得方程的所有可能解.在解决复数运算问题时，参数的取值范围可能会影响复数的性质，例如复数的模、辐角等.在复平面上讨论几何问题时，例如点的位置、线段的长度、角度的大小等，可能需要根据参数的不同取值进行分类讨论. 类型一 复数范围内方程的根 【典例1】（2024黑龙江大庆实验中学实验二部高三下期阶段考试（二））在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ） A．1    B．    C．    D． 【解题策略】先求出两复数根，分类讨论，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解. 【详细解析】 根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 【典例2】若复数是方程的根，则复数的模为 ． 【解题策略】 设复数，代入方程中，分类讨论，根据复数的运算及复数相等概念列方程组解的值，从而可得复数的模. 【详细解析】 设复数，若复数是方程的根， 则，整理得 所以， 若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意 故，从而解得， 所以复数，故复数的模为. 故答案为：. 【典例3】设、是方程的两根，求（用含a的解析式表示）． 【解题策略】在复数集内解一元二次方程，必须对、分类求解．在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值分类讨论． 【详细解析】 若，即或，此时． ． 由得或， ∴当或时，． 当时，． 若，即，此时，、为一对共轭虚根． ． 综上所述， 【方法归纳】 首先，确定复数方程的类型，比如是否为二次方程.对于二次方程可以使用求根公式来求解.当判别式小于0时，方程有两个复数根.接下来，进行分类讨论.，如果方程的系数a、b、c都是实数，那么根据复数的性质，实部和虚部必须分别相等.将方程的根表示为，代入原方程，得到两个实数方程，分别对应实部和虚部.注意，如果方程的系数中含有复数，则需要先将方程化为实系数方程，再求解. 【举一反三】 1． 方程在复数集中的解有 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2． 已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､. (1) 若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解； (2) 若，求实数a的值. 类型二 复数的运算 【典例1】（2024江西新余四中高三下期高考全真模拟（四））已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个. A．    B．    C．    D． 【解题策略】法一：设该复数，借助复数的运算法则计算出后结合纯虚数定义即可得；法二：借助复数的三角形式及其几何意义计算即可得. 【详细解析】 法一：设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有，解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 法二：设的辐角为，， 表示将复数在复平面内逆时针旋转， 由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称， 则解得：或或或， 易知：时，，舍去， 故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 【典例2】已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【解题策略】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详细解析】 表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【典例3】已知复数z满足，z2的虚部为2. （1） 求复数z； （2） 设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积. 【解题策略】（1）设，根据已知条件列方程求得，由此求得. （3） 求得的坐标，从而求得三角形的面积. 【详细解析】 （1） 设， ①， 的虚部为，所以②， 由①②解得或. 所以或. （2） 当时，，， 所以， ， 所以三角形的面积为. 当时，，， 所以， ，所以三角形的面积为. 【方法归纳】 在高中数学复数运算中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理含有复数的方程或不等式时.可以对参数分类讨论，探求复数的个数；也可通过对位置的分类讨论，探求复数所在的象限；还可利用复数的实部虚部的关系，求解面积问题.通过以上分类讨论，可以确保在解决复数问题时，不遗漏任何可能的情况，从而得到完整且准确的答案. 类型三 复数的几何意义 【典例1】（2024陕西榆林高三第四次模拟检测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ） A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 【解题策略】 【详细解析】 【答案】B 【分析】先根据复数的除法和乘法计算化简，再根据实部和虚部确定复数对应点的象限. 【详解】， 若，则，∴复数z可能在第一象限； 若，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B； 若，则，∴复数z可能在第三象限； 若，则，∴复数z可能在第四象限． 故选：B. 【典例2】在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是 . 【解题策略】 当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详细解析】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）， 如图： 当时，点P的坐标为， 当时，点P的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称， 所以的面积等于的面积（因为这两个三角形同底且等高）， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积. 因为∠=2×=， 所以扇形的面积为等于. 故答案为：. 【典例3】设两复数集，． （1） 若，求实数λ的取值范围； （2） 当实数λ在（1）中变化时，进一步讨论集合的元素个数，并当λ取定值时，求； （3） 本题的几何意义是什么？ 【解题策略】 第（1）问，，即两集合有公共元素，利用两复数相等的充要条件，再消去m，即可得λ关于sinθ的三角函数，进而求值域．第（2）问，可通过函数与方程的思想方法结合方程根的情况进行分类讨论，分类要全面，防止遗漏．第（3）问，求出集合M、集合N在复平面上的点的轨迹，即把数的问题转化为形的问题，其中集合N的对应的轨迹含参数λ，当λ变化时，该曲线在运动，从而探求两曲线相关的不同情况．本小题若考虑用数形结合，则直观易解，不妨一试．本例涉及函数与方程、分类讨论、数形结合多种数学思想，是一道既新颖又具典型性的好题． 【详细解析】 解法一：（1）由，得． 消去m，得． 由，得． （4） 由．令，考虑． 1 当时，，而， ∴集合有两个元素． 2 当， 此时，sinθ在内有一解，而有两解． ∴集合有两个元素． 3 当，此时有，即， （舍），． ，此时有一个元素． 4 当，此时有，即， ，．当时，；当时，． ． 5 当，此时有四个元素． （5） 令知，集合M在复平面上的点的轨迹为抛物线，集合N在复平面上的点的轨迹为椭圆． 本题讨论的是，当λ变化时，椭圆上下移动时与抛物线相交的不同情况． 解法二：由． 令，以及． 如图3-8所示，可知 （1）时，；（2）由数形结合可得相应结果，过程略． 【方法归纳】 在高中数学中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理复数几何问题时，它可以帮助我们更清晰地理解问题并找到解决方案.复数几何意义通常涉及复平面，即在平面上用实部和虚部来表示复数. 在复平面上，复数可以表示为一个点或一个向量从原点到该点的箭头.当我们在复数几何中应用分类讨论时，我们可能需要根据不同的条件来分析问题.如果的实部和虚部都不为零，我们可以直接计算出.如果的实部或虚部为零，我们需要分别考虑这些情况，因为它们将影响最终的结果.在解决复数几何问题时，分类讨论可以帮助我们识别不同的情况，确保我们没有遗漏任何可能的解，并且能够针对每种情况给出正确的答案. 【举一反三】 （2024届江苏盐城联盟五校高三上期第一次学情调研检测） 3． 已知函数，且． (1) 求函数的解析式； (2) 为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围． 4． 已知复数满足，的虚部为2. （1） 求复数； （2） 设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 5． 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ） A． B． C． D． 6． 复数z的虚部为，模为2，则复数z2的对应点位于复平面内（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第二或三象限 7． 瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（    ） A． B． C． D． 8． 已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03节 复数 在高中数学中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理含有参数的复数问题时，这种方法显得尤为重要.复数问题中的分类讨论通常涉及以下三个方面：求复数方程的根、复数的运算和复数的几何意义的探索. 在解决复数方程时，方程的解可能依赖于参数的不同取值.因此，需要对参数的不同取值进行分类讨论，以求得方程的所有可能解.在解决复数运算问题时，参数的取值范围可能会影响复数的性质，例如复数的模、辐角等.在复平面上讨论几何问题时，例如点的位置、线段的长度、角度的大小等，可能需要根据参数的不同取值进行分类讨论. 类型一 复数范围内方程的根 【典例1】（2024黑龙江大庆实验中学实验二部高三下期阶段考试（二））在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ） A．1    B．    C．    D． 【解题策略】先求出两复数根，分类讨论，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解. 【详细解析】 根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 【典例2】若复数是方程的根，则复数的模为 ． 【解题策略】 设复数，代入方程中，分类讨论，根据复数的运算及复数相等概念列方程组解的值，从而可得复数的模. 【详细解析】 设复数，若复数是方程的根， 则，整理得 所以， 若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意 故，从而解得， 所以复数，故复数的模为. 故答案为：. 【典例3】设、是方程的两根，求（用含a的解析式表示）． 【解题策略】在复数集内解一元二次方程，必须对、分类求解．在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值分类讨论． 【详细解析】 若，即或，此时． ． 由得或， ∴当或时，． 当时，． 若，即，此时，、为一对共轭虚根． ． 综上所述， 【方法归纳】 首先，确定复数方程的类型，比如是否为二次方程.对于二次方程可以使用求根公式来求解.当判别式小于0时，方程有两个复数根.接下来，进行分类讨论.，如果方程的系数a、b、c都是实数，那么根据复数的性质，实部和虚部必须分别相等.将方程的根表示为，代入原方程，得到两个实数方程，分别对应实部和虚部.注意，如果方程的系数中含有复数，则需要先将方程化为实系数方程，再求解. 【举一反三】 1． 方程在复数集中的解有 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【解析】设，代入方程，化简后按或进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项. 【详解】设，代入方程得， 化简得①， 所以或， 当时，由①得， 即， 对应的复数为. 当时，由①得，解得或， 对应的复数为、. 综上所述，共有个解. 故选：C 【点睛】本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题. 2． 已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､. (1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解； (2)若，求实数a的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解； （2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案. 【详解】（1）解：若该方程没有实根， 则，解得， 由，得， 所以，即， 所以在复数范围内对； （2）解：当，即时， 则都是实数， 由韦达定理可知， 故都是非负数， 所以，所以； 当，即时，方程有两个共轭虚根，设为， 则， 故，解得或（舍去）， 综上所述，或. 类型二 复数的运算 【典例1】（2024江西新余四中高三下期高考全真模拟（四））已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个. A．    B．    C．    D． 【解题策略】法一：设该复数，借助复数的运算法则计算出后结合纯虚数定义即可得；法二：借助复数的三角形式及其几何意义计算即可得. 【详细解析】 法一：设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有，解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 法二：设的辐角为，， 表示将复数在复平面内逆时针旋转， 由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称， 则解得：或或或， 易知：时，，舍去， 故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 【典例2】已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【解题策略】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详细解析】 表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【典例3】已知复数z满足，z2的虚部为2. （1） 求复数z； （2） 设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积. 【解题策略】（1）设，根据已知条件列方程求得，由此求得. （3） 求得的坐标，从而求得三角形的面积. 【详细解析】 （1） 设， ①， 的虚部为，所以②， 由①②解得或. 所以或. （2） 当时，，， 所以， ， 所以三角形的面积为. 当时，，， 所以， ，所以三角形的面积为. 【方法归纳】 在高中数学复数运算中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理含有复数的方程或不等式时.可以对参数分类讨论，探求复数的个数；也可通过对位置的分类讨论，探求复数所在的象限；还可利用复数的实部虚部的关系，求解面积问题.通过以上分类讨论，可以确保在解决复数问题时，不遗漏任何可能的情况，从而得到完整且准确的答案. 类型三 复数的几何意义 【典例1】（2024陕西榆林高三第四次模拟检测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ） A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 【解题策略】 【详细解析】 【答案】B 【分析】先根据复数的除法和乘法计算化简，再根据实部和虚部确定复数对应点的象限. 【详解】， 若，则，∴复数z可能在第一象限； 若，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B； 若，则，∴复数z可能在第三象限； 若，则，∴复数z可能在第四象限． 故选：B. 【典例2】在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是 . 【解题策略】 当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详细解析】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）， 如图： 当时，点P的坐标为， 当时，点P的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称， 所以的面积等于的面积（因为这两个三角形同底且等高）， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积. 因为∠=2×=， 所以扇形的面积为等于. 故答案为：. 【典例3】设两复数集，． （1） 若，求实数λ的取值范围； （2） 当实数λ在（1）中变化时，进一步讨论集合的元素个数，并当λ取定值时，求； （3） 本题的几何意义是什么？ 【解题策略】 第（1）问，，即两集合有公共元素，利用两复数相等的充要条件，再消去m，即可得λ关于sinθ的三角函数，进而求值域．第（2）问，可通过函数与方程的思想方法结合方程根的情况进行分类讨论，分类要全面，防止遗漏．第（3）问，求出集合M、集合N在复平面上的点的轨迹，即把数的问题转化为形的问题，其中集合N的对应的轨迹含参数λ，当λ变化时，该曲线在运动，从而探求两曲线相关的不同情况．本小题若考虑用数形结合，则直观易解，不妨一试．本例涉及函数与方程、分类讨论、数形结合多种数学思想，是一道既新颖又具典型性的好题． 【详细解析】 解法一：（1）由，得． 消去m，得． 由，得． （4） 由．令，考虑． 1 当时，，而， ∴集合有两个元素． 2 当， 此时，sinθ在内有一解，而有两解． ∴集合有两个元素． 3 当，此时有，即， （舍），． ，此时有一个元素． 4 当，此时有，即， ，．当时，；当时，． ． 5 当，此时有四个元素． （5） 令知，集合M在复平面上的点的轨迹为抛物线，集合N在复平面上的点的轨迹为椭圆． 本题讨论的是，当λ变化时，椭圆上下移动时与抛物线相交的不同情况． 解法二：由． 令，以及． 如图3-8所示，可知 （1）时，；（2）由数形结合可得相应结果，过程略． 【方法归纳】 在高中数学中，分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在处理复数几何问题时，它可以帮助我们更清晰地理解问题并找到解决方案.复数几何意义通常涉及复平面，即在平面上用实部和虚部来表示复数. 在复平面上，复数可以表示为一个点或一个向量从原点到该点的箭头.当我们在复数几何中应用分类讨论时，我们可能需要根据不同的条件来分析问题.如果的实部和虚部都不为零，我们可以直接计算出.如果的实部或虚部为零，我们需要分别考虑这些情况，因为它们将影响最终的结果.在解决复数几何问题时，分类讨论可以帮助我们识别不同的情况，确保我们没有遗漏任何可能的解，并且能够针对每种情况给出正确的答案. 【举一反三】 （2024届江苏盐城联盟五校高三上期第一次学情调研检测） 3． 已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可； （2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可. 【详解】（1）∵，即当时函数取到最值， 又， 其中， ∴，代入得， 即，解得，∴ ； （2）由（1）可得：， 由复数的几何意义知：， ∴， 当，，即，时，有最大值6； 当，，即，时，有最小值2； ∴. 4． 已知复数满足，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）设出,根据题意可得,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可 【详解】（1）设,由题,可得,, 的虚部为2 则 或 故或 （2）由（1）可知,即为, 当时,即为,,此时,即为, 当时,即为,,此时,即为, 综上, 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 5． 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再分和分别求解可得，再根据与的关系，逐个选项代入判断即可 【详解】已知方程为一元二次方程，则． 首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论． 第1种 情况，若，即，则， 解得． 第2种 情况，若，即，则， 解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立． 而． 若，则均符合要求； 若，则仅有符合要求； 若，则均符合要求； 若则没有符合要求的项； 故选：B 6． 复数z的虚部为，模为2，则复数z2的对应点位于复平面内（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第二或三象限 【答案】D 【分析】结合复数的概念及模长求出复数，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限. 【详解】设，因为，所以，所以或， 若，则，复数z2的对应点位于复平面内第二象限； 若，则，复数z2的对应点位于复平面内第三象限； 故选：D. 7． 瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果. 【详解】得， 当时，，复数对应的点在第一象限； 当时，，复数对应的点在第二象限； 当时，，复数对应的点在轴上； 当时，，复数对应的点在第四象限； 故选：B． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点. 8． 已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据求出参数的取值范围，再由韦达定理及虚根成对原理求出，，再由得到方程，解得即可. 【详解】解：因为关于的方程的两个虚数根为，（是实数）， 则，解得或， 所以，， 根据虚根成对原理可得，又因为，所以或， 于是，得到，于是（符合题意）． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$