精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断. 【详解】因为包含和直线与平面相交两种情况，因此若，则直线可以与平面无公共点也可以与平面有一个公共点， 因此“”是“直线与平面无公共点”的必要不充分条件. 故选：B． 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出，即可得到，得出虚部. 【详解】，.，，的虚部为.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错. 3. 如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算，用基底向量表示出即可求解作答. 【详解】在中，设， 则 ， 因为，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：A 4. 若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所求棱台的体积为 故选B 5. 已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可． 【详解】； 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选B． 【点睛】考查向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系． 6. 如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得出，，将等式相加结合向量加法的平行四边形法则可得出关于、的表达式. 【详解】由向量加法的平行四边形法则可得， 由已知， 同理可得， 所以，，因此，. 故选：B. 7. 已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则半球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，球心为正方形的中心，由正方体的性质与勾股定理算出球的半径，再利用求的表面积公式计算，即可得到该半球的表面积. 【详解】设正方体的底面在半球的底面圆上, 则球心为正方形的中心，连结, 正方体的棱长为,,, 即半球的半径为, 半球的表面积为. 故选：D 8. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 11. 在中，角所对的边分别为，设的面积为，下列命题中正确的是（    ）. A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若，且，则是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角，即可得结果；对于B：举反例说明即可；对于C：利用余弦定理角化边，即可得结果；对于D：根据数量积结合面积公式可得，在结合余弦定理分析判断. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得， 即，可知， 所以是等边三角形，故A正确； 对于选项B：因为，由正弦定理可得， 则， 例如，则， 符合题意，但不等腰三角形，故B错误； 对于选项C：因为，由余弦定理可得， 整理可得，可知， 所以是直角三角形，故C正确； 对于选项D：因为，则， 整理可得，且，可得， 又因为，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，即， 所以是等边三角形，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量方向相反的单位向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量求解得坐标公式直接计算. 【详解】因为， 所以与向量方向相反的单位向量的坐标为. 故答案为： 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由有两解，可得，且，从而即可求解. 【详解】由正弦定理可得，即，又， 所以， 因为有两解，所以，且， 所以， 所以的取值范围为, 故答案为：. 14. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为________，侧面上的斜高为________. 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】运用正棱锥顶点和底面中心的连线即是棱锥的高，再用勾股定理可求棱锥的高，根据正棱锥侧面是等腰三角形可求斜高. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为O，连接PO， 由正三棱锥的定义得面ABC， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高， 作交AB于D，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为. 故答案为：3，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，所以，则，. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则，解得，即， 故. 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）设复数，求； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解. 【详解】∵，∴.∴. 又∵为纯虚数，∴，解得．∴. （1），∴； （2）∵，∴， 又∵复数所对应点在第一象限， ∴，解得：． 【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】（1） （2）（元） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且． （1）求角C； （2）若的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得. （2）将转化为角的形式，由此求得取值范围. 【小问1详解】 依题意，， ， 由正弦定理得， 所以， ， 所以，所以为锐角，且. 【小问2详解】 ， 由于三角形是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为(　　) A. B. C. D. 5. 已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为　　 A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（ ） A. B. C. D. 7. 已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则半球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 10. 如图，四边形斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 11. 在中，角所对的边分别为，设的面积为，下列命题中正确的是（    ）. A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若，且，则是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量方向相反的单位向量的坐标为________． 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围是______． 14. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为________，侧面上的斜高为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）设复数，求； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用多少？（结果精确到1元） 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且． （1）求角C； （2）若的面积为S，求的取值范围． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$