第03讲 空间向量基本定理（知识清单+2必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第03讲 空间向量的基本定理 题型梳理 题型方法 题型一 空间向量基本定理的理解 题型二 空间向量基本定理的应用 知识清单 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 题型方法 【题型一】空间向量基本定理的理解 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解题技巧 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）以下四个命题中正确的是（    ） A．若非零空间向量满足，则有 B．若是空间的一个基底，则都不是零向量 C．纵坐标为0的空间向量都共面 D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【题型二】空间向量基本定理的应用 【例2】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【变式3】（21-22高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 5．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 8．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 三、填空题 9．（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 10．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 11．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 12．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    四、解答题 13．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 14．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 15．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 17．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 18．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量的基本定理 题型梳理 题型方法 题型一 空间向量基本定理的理解 题型二 空间向量基本定理的应用 知识清单 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 题型方法 【题型一】空间向量基本定理的理解 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 解题技巧 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 【变式2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】若向量构成空间另一个基底，则向量不共面， 对于A，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故A不符题意； 对于B，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，无解， 所以向量不共面，故B符合题意； 对于C，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意； 对于D，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意. 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）以下四个命题中正确的是（    ） A．若非零空间向量满足，则有 B．若是空间的一个基底，则都不是零向量 C．纵坐标为0的空间向量都共面 D．已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】将向量想象为正方体三条相邻的棱可判断A；根据基底的性质判断B；由纵坐标都为0的向量都与平面平行判断C；假设共面推得也共面判断D. 【详解】A：根据题设，以正方体三条相邻的棱为例，易知不成立，错； B：根据基底的性质，都是非零向量，对； C：纵坐标都为0的向量都与平面平行或在其内，即它们都共面，对； D：若共面，则， 所以也共面，与题设矛盾，故也是空间的一个基底，对. 故选：BCD 【题型二】空间向量基本定理的应用 【例2】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 解题技巧 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 【变式2】（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【答案】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】    如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 5．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 二、多选题 6．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 8．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】ABD 【分析】根据空间基底向量的概念与性质即可判断A，B；根据空间四点共面的充要条件及其推论即可判断C，D. 【详解】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 10．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【答案】16 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 11．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1 12．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    【答案】 【分析】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可. 【详解】，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算， ， 整理得到. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 14．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【详解】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，解得，， 故不能作为基底. 15．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【答案】，BN的长为 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果． 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【详解】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 17．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$