第01讲 空间向量及其线性运算（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第01讲 空间向量及其线性运算 题型梳理 易错分析 易错点一 共面向量定理理解错误 题型方法 题型一 空间向量概念的理解 题型二 向量的加法、减法运算 题型三 数乘概念的理解及运算 题型四 向量共线、共面的判定及应用 知识清单 知识点1 空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2 空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4 空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． 知识点5 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 易错分析 【易错点一】共面向量定理理解错误 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式2】（多选）（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是： . 题型方法 【题型一】空间向量概念的理解 【例1】（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 解题技巧 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【变式3】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【题型二】向量的加法、减法运算 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 解题技巧 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于 . 【变式3】（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】数乘概念的理解及运算 【例3】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【变式3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【题型四】向量共线、共面的判定及应用 【例4】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（21-22高二下·江苏南通·期末）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线． 【变式3】（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 三、填空题 9．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 11．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    四、解答题 12．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 13．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 14．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 15．（22-23高二·全国·随堂练习）如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                                     16．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其线性运算 题型梳理 易错分析 易错点一 共面向量定理理解错误 题型方法 题型一 空间向量概念的理解 题型二 向量的加法、减法运算 题型三 数乘概念的理解及运算 题型四 向量共线、共面的判定及应用 知识清单 知识点1 空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2 空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4 空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． 知识点5 空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 易错分析 【易错点一】共面向量定理理解错误 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式2】（多选）（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可. 【详解】设， 若点与点共面，则， 逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面. 故选：ABC. 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是： . 【答案】存在实数满足且. 【分析】命题表示的点在直线上的充要条件，类比直线，推广到点在平面内的充要条件. 【详解】类比到空间向量，所得结论为，在空间中，点在平面内的充要条件是：存在实数满足且. 充分性：因为点在平面内，所以满足平面向量基本定理， 得到，即， 整理得：，所以存在实数. 满足，且，得证. 必要性：因为且. 所以 即有 ，由共面定理可得、、、四点共面，即点在平面内. 故答案为：存在实数满足 题型方法 【题型一】空间向量概念的理解 【例1】（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 解题技巧 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 【变式3】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【题型二】向量的加法、减法运算 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 解题技巧 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算的三角形法则和平行四边形法则，可得结果. 【详解】 由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于 . 【答案】 【分析】直接利用向量的几何运算结合平行四边形法则可得答案. 【详解】由图可得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 【题型三】数乘概念的理解及运算 【例3】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 解题技巧 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【题型四】向量共线、共面的判定及应用 【例4】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 解题技巧 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明． ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量共面的判定方法可得答案. 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 【变式2】（21-22高二下·江苏南通·期末）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可. 【详解】根据题意可得，设 ，则设， 即 故 ，不妨令，则，故． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； （2）根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 5．（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 二、多选题 6．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间共面向量定理，结合基底的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】依题意构成空间的一个基底， 对于A选项，由于，所以共面，故A不正确. 对于B选项，由于不存在实数使，所以不共面，B正确. 对于C选项，由于不存在实数使，所以，不共面，故C正确. 对于D选项，由于，所以共面，故D不正确. 故选：BC. 7．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 8．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 11．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【分析】由向量基本定理表达出，根据四点共面，得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 四、解答题 12．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 13．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 14．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 15．（22-23高二·全国·随堂练习）如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                                     【答案】答案见解析 【分析】由向量的加减法及数乘运算的几何意义得到对应向量即可. 【详解】长方体中， ， ， 又 ， ， 故两组中相等的向量连线如图．    16．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$