高一数学期末冲刺模拟试卷02（江苏专用，测试范围：苏教版2019必修第二册）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期期末冲刺模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B 2.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C 3. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，， 则，， 故在方向上的投影向量为：. 故选：B 4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 5.下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据． 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 【答案】D 【解析】根据题意，该队员得分从小到大为：3，3，6，7，7，10，10，11，13，30，依次分析选项： 对于A，该队员得分的平均数为,A正确； 对于B，该队员得分的极差是，B正确； 对于C，，则该队员得分的四十百分位数是,C正确； 对于D，该队员得分的方差为 ,D错误. 故选：D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 【答案】C 【解析】 如图，设米，则米，米. 在中，由题意可得，， 由余弦定理可得， 解得 米. 故选：C. 8.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. A与B相互独立 D. 【答案】AD 【解析】依题意可设个红球为， ，，2个白球为，，则样本空间为： ，共个基本事件. 事件，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件， 共个基本事件. 对于A，显然、不可能同时发生，且与中一定有一个会发生，所以与互为对立事件，故A正确； 对于B：注意到，则与不互斥，故B错误； 对于C：因为， 则，故与不独立，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 10.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定有 B. 若是锐角三角形，则一定有成立 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】ABC 【解析】对于A，若，根据正弦定理得， 结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确； 对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且， 可得，两边取正弦得，即，故B项正确； 对于C，若， 则，去分母得， 整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确； 对于D，若，则，即， 由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角， 但不能得到是锐角三角形，故D项不正确. 故选：ABC. 11.如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积等于三棱锥的体积 D. 三棱柱的体积的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 连接，，，， 因为，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 若，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，，所以平面， 由A选项可知，不可能垂直平面，故B错； 由题意得，所以， 因为为四边形的交点，所以为的中点， 又为中点，所以点到底面的距离相等， 所以，故C正确； 由题意得， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 设，则， ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数满足，则的虚部为_________ 【答案】 【解析】复数满足，， 则的虚部为. 故答案为： 13.已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________ 【答案】 【解析】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故答案为： 14.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，且， 所以，则， 所以. （2）因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 16. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面距离． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3）由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 17.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 18.在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】（1）若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末冲刺模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据． 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 8.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. A与B相互独立 D. 10.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定有 B. 若是锐角三角形，则一定有成立 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11.如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积等于三棱锥的体积 D. 三棱柱的体积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数满足，则的虚部为_________ 13.已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________ 14.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 16. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面距离． 17.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 18.在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$