吉林省七下期末真题百题大通关（13题型）（提升版）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版2024，吉林专用）

七下期末真题百题大通关（13题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用邻补角互补求角度 题型二 垂线有关计算 题型三 平行线的判定与性质综合 题型四 利用平移的性质求解 题型五 实数有关计算 题型六 坐标系中的几何综合题 题型七 二元一次方程组 题型八 实际问题与二元一次方程组 题型九 求一元一次不等式的解集 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 一元一次不等式组的解法 题型十二 一元一次不等式组的其他应用 题型十三 数据的收集、整理与描述 题型练习 题型一 利用邻补角互补求角度 1．（22-23七年级下·吉林松原·期末）已知：如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果,求的度数．    2．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，、是三角板的两条直角边，射线是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数； (3)当时，则__________（用含的式子表示）． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 题型二 垂线有关计算 4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）几何说理填空： 如图，直线、相交于点，于点，平分，平分，． (1) 　　； (2)求的度数．（过程如下，补全过程） 解：于点， 　　， ， 　　， ， 　　， 平分， 　　　　 ． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线相交于点O，，且平分，若．    (1)求的度数； (2)写出的度数是________°． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点O，．    (1)若，求的度数； (2)若平分，求与的度数． 7．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 题型三 平行线的判定与性质综合 8．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 9．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线有两点A、C，分别引两条射线．，与在直线异侧．若，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为 时，与平行．    10．（23-24七年级下·吉林松原·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车（图1）的示意图如图2所示，其中，．若，，求的度数． 11．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，． (1)求的度数； 解：（已知），且（________）， （________） （已知）， （________）． ________（等量代换）． (2)求证：直线． 证明：（________）， ________（________）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【问题】如图，，点在直线的下方，试说明． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作， 则．（______） ，， ．（______） ．（______） ______， ．（等量代换） 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，和互余，于点，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空．（理由或数学式） 解：（已知）， （垂直的定义）， _____， 又和互余（已知）， _____， _____（_____）， （已知）， ______（等量代换）， ______（_____）， （ ）． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 15．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，，，求证：． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∵（已知） ∴（______） ∴______ ∴______（______） 又∵（已知） ∴ ∴ 16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）完成下面的证明过程，填写理由或数学式， 已知：如图，，， 求证：， 证明：∵（已知） ∴（__________________） ∴______（__________________） 又∵（已知） ∴______（等量代换） ∴______（__________________） ∴（__________________） 17．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，求证：． 根据下面的证明过程在括号内写出理由或数学式． 证明：∵， ∴（ ）． ∴（ ） ． ∴（ ）． ∵， ∴ （ ）． ∴（ ）． ∴ （ ）． ∵， ∴． ∴（ ）． ∴． 19．（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，求的度数． 解：，（已知） ．（______） ．（______） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（______） ．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（______） ，（平角定义） ．（等式性质） ，（已证） ______°．（______） 20．（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴ ．（同角的补角相等） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，（已知） ∴．（ ） ∵，（平角定义） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴．（ ） 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的一个补角． (2)在图②中画出的一个余角． (3)在图③画出一个，使． 22．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个补角； (2)在图②中画的一个余角； (3)在图③中射线的右侧画，使． 23．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 25．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 26．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 27．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 28．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 29．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 30．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系 （直接写结论）． 由图（2）易得、、的关系 （直接写结论）． ②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由． [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，与两个角的角平分线相交于点F．若，求的度数． 31．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 32．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 33．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)【基础问题】如图，试说明：．完成下面的填空部分 证明：过点作直线， ， ①　　　． ， ②　　　． ， ③　　　④　　　　． ． (2)【类比探究】如图，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图，点与点重合，平分，且，，求的度数． 34．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 35．（22-23七年级上·吉林长春·期末）小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：，为之间一点，连接，得到． 求证：． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明：过点作，则有 ∵ ∴ ∴ ∴ 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： (1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数． (2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系． 题型四 利用平移的性质求解 36．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，将周长为的沿方向平移得到，连结，若四边形的周长是，则平移的距离是 cm． 38．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 题型五 实数有关计算 39．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 40．（七年级下·吉林长春·期末）若表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有 （填写所有正确结论的序号）． ①；②；③；④；⑤存在有理数x使成立． 41．（七年级下·吉林长春·期末）对于实数p，我们规定：用＜P＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＜＞＝2．现对72进行如下操作： 即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：对36只需进行 次操作后变为2． 42．（七年级下·吉林松原·期末）已知与互为相反数，与互为倒数，的平方等于4，试求的值． 43．（七年级下·吉林长春·期末）已知正数的平方根是，的立方根是2． (1)求a和b的值． (2)求的立方根． 44．（22-23七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分， (1)求a、b、c的值． (2)求的立方根． 45．（ 七年级下·吉林白城·期末）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 46．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 47．（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 48．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 题型六 坐标系中的几何综合题 49．（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 50．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，连接，得到长方形，点M是边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，当点P不与点C重合时，连接，设三角形的面积为S，点P运动的时间为(秒)． (1)点M的坐标为______，点D的坐标为______． (2)当时，求点P的坐标； (3)用含t的式子表示三角形的面积S； (4)当三角形PMC的面积恰好为长方形的面积的时，直接写出t的值． 51．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 52．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，则点的坐标为___________； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； (3)已知点，且轴，求点的坐标． 53．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 54．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点．    (1)点的坐标为______； (2)求四边形的面积（用含有m的式子表示）； (3)当四边形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值． 55．（七年级下·吉林白城·期末）如图，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，且． (1)求点的坐标； (2)点是线段的中点，求的面积； 56．（七年级下·吉林通化·期末）平面直角坐标系上有一点，请根据题意回答下列问题： (1)若点在轴上，求出点的坐标． (2)点的坐标为且轴，求出点P的坐标． (3)若点到轴的距离为2，直接写出a的值． 57．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，四边形是长方形，边在轴上，轴． 已知点坐标为，点坐标为． 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为．    (1)点坐标为 ； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点的坐标． 题型七 二元一次方程组 58．（七年级下·吉林四平·期末）解方程组 59．（22-23七年级下·吉林·期末）定义关于“※”的一种运算如下：※，例如．若※，※，求※的值． 60 .阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下， 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组； （2）已知x、y、z，满足 试求z的值． 61．甲、乙两人解同一个方程组  , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解． 62．（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 63．（七年级下·吉林长春·期末）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　． (2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为　 　 ；的解为　 　 ． (3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是　 　 ． 64．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 题型八 实际问题与二元一次方程组 65．（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为 ． 66．（七年级下·吉林白城·期末）如图，用八块相同的长方形地砖镶嵌一个宽为60cm大长方形，求每块地砖的长与宽． 67．（七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 68．（七年级下·吉林四平·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？ 69．（七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 70．（七年级下·吉林长春·期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 　 　（用含m、n、a、b的代数式表示）． 71．（七年级下·吉林白山·期末）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 （2）已知，求x+y+z的值 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1． 把x＝1代入②得：y＝0． 所以方程组的解为， （2）①×2得：8x+6y+4z＝20．③ ②﹣③得：x+y+z＝5． 【类比迁移】 （1）若，则x+2y+3z＝　　． （2）解方程组 【实际应用】 打折前，买39件A商品，21件B商品用了1080元．打折后，买52件A商品，28件B商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 72．某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）． (1)设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处： 年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元） x y …… (2)已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？ 73．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 74．（23-24七年级上·吉林长春·期末）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满，若A型车每辆需租金每次300元，B型车租金每次200元，直接写出最少租车费是______元． 75．（七年级下·吉林长春·期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m． (1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）． 方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根． 方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． 方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． (2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整． 解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得 76．（七年级下·吉林长春·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足……①，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 题型九 求一元一次不等式的解集 77．（22-23七年级下·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 78．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 79．（22-23七年级下·吉林长春·期末）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 去分母，得． 任务一：“去分母”这一步的变形依据是_____（填“”或“”）． ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． ．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上． 80．（七年级下·吉林长春·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则的值为______； ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 81．科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． (1)求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； (2)快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 82．（七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分.下表记录了2名参赛学生的得分情况. 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 乙 （1）若参赛学生小亮只答对了道选择题，则小亮的得分是多少？ （2）参赛学生至少要答（   ）道题，总分才不会低于分. 83．（七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    84．（七年级下·吉林·期末）为庆祝建党100周年，某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满，已知每辆大巴车的座位数比中巴车多17个，每辆大巴车和中巴车的租金分别为700元和350元． （1）求每辆大巴车和每辆中巴车的座位数； （2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，共有多少种租车方案（两种车辆均租用）？ （3）在（2）的条件下，为使本次活动租金最少，该如何选用方案？此时最少租金是多少？请直接写出租金最少方案和最少租金． 85．（23-24七年级下·吉林长春·期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 背景 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅，也引发了航模纪念品的热销，某商店采用线下、线上两种方式销售A、B两种款式的航模纪念品，且线下、线上商品标价相同． 素材一 该商店在无促销活动时，顾客若买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元． 素材二 该商店为吸引顾客在线下、线上分别开展促销活动．线下促销方案：顾客花费66元办理会员卡成为会员后，即可享受会员服务，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品标价的8折出售；线上促销方案：顾客购买商店内任何商品，一律按商品标价的9折出售且包邮． 任务一 该商店在无促销活动时，求A款航模纪念品和B款航模纪念品的标价各是多少元？ 任务二 某班级计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），若在线下商店首次办理会员卡后购买，共需要_______元；若在线上商店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示） 任务三 请你算一算，在任务二的条件下，该班级购买A款航模纪念品的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 86．（22-23七年级上·吉林白山·期末）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 87．（22-23七年级下·吉林四平·期末）四平市为了更好地适应城市绿化的需求，决定购买东风多利卡雾炮抑尘洒水车，这种洒水车有型和型两种型号．已知购买一辆型洒水车比购买一辆型洒水车多2万元，购买2辆型洒水车比购买3辆型洒水车少万元． (1)分别求购买一辆型洒水车和型洒水车的钱数． (2)若市政决定购买多利卡雾炮抑尘洒水车共10辆，购买洒水车的总金额不超过140万元，请你为市政设计购买方案，并说明理由． 88．（22-23七年级下·吉林四平·期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 89．（七年级上·吉林·期末）某乒乓球馆将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价40元．经洽谈后，甲商店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙商店全部按定价的9折优惠．该球馆需买球拍5副，乒乓球若干盒（大于5盒）． (1)如果购买5副球拍和6盒乒乓球，则在甲商店购买需花费 　 　元，在乙商店购买需花费 　 　元； (2)当购买乒乓球多少盒时，在两家商店花费金额一样； (3)当购买乒乓球多少盒时，在乙商店购买划算． 90．（七年级下·吉林·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十一 一元一次不等式组的解法 91．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 92．（七年级下·吉林长春·期末）解不等式组. 93．（22-23七年级下·吉林·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴表示出来． 题型十二 一元一次不等式组的应用 94．（23-24七年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 95．为保持空气质量的良好率，降低空气污染，昆明某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种新能源公交车，其中每台的价格，年载客量如下表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)现准备计划购买型和型两种新能源公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 96．（23-24七年级上·吉林白山·期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． (1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ (3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 97．（22-23七年级下·吉林长春·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵元，买套甲型号“文房四宝”和套乙型号“文房四宝’，共用元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不少于套，问有几种购买方案？ 题型十三 数据的收集、整理与描述 98．（23-24七年级下·吉林白城·期末）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：其中G表示体重，h表示身高．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，七年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据： 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） (2)求本次调查的总人数，并补全条形统计图； (3)若该校共有1000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 99．（七年级下·吉林长春·期末）某校七年级（3）班数学考试成绩如下表： 分数段 40以下 40～49 50～59 60～69 70～79 80～89 90～100 人数 3 4 5 8 13 8 7 请解答以下各题： (1)计算及格率及优秀（80及80以上）率； (2)哪个分数段的人数最多？其百分比是多少？ (3)根据上图的数据分优（80及以上）、良（60～79）、中（40～59）、差（40以下）分四部分制作扇形统计图； 100．（七年级下·吉林长春·期末）小明想了解本校九年级学生对“书画、器乐、艺术、棋类”四项“校本课程”的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图．请结合统计图解答下列问题： （1）求本次抽取的学生的人数． （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图． （3）求扇形统计图中的值． （4）求扇形统计图中喜欢器乐的学生人数所对应的圆心角的度数． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七下期末真题百题大通关（13题型）（提升版） 题型汇聚 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用邻补角互补求角度 题型二 垂线有关计算 题型三 平行线的判定与性质综合 题型四 利用平移的性质求解 题型五 实数有关计算 题型六 坐标系中的几何综合题 题型七 二元一次方程组 题型八 实际问题与二元一次方程组 题型九 求一元一次不等式的解集 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 一元一次不等式组的解法 题型十二 一元一次不等式组的其他应用 题型十三 数据的收集、整理与描述 题型练习 题型一 利用邻补角互补求角度 1．（22-23七年级下·吉林松原·期末）已知：如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果,求的度数．    【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】设，则，根据，得出，可得，，，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义，由，即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， 解得： ， ∴， ∵是的平分线， ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，平角的定义，角平分线的定义，由相关定义构造方程是解题的关键． 2．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，、是三角板的两条直角边，射线是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数； (3)当时，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义以及邻补角的定义等知识，属于基础题目，弄清图形中各角的关系、熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出的度数，再根据邻补角的定义求解即可； （2）先根据已知条件求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义求解； （3）根据已知条件可求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∴； （2） ， 又∵平分， ，     ； （3）， ， 又∵平分， ， ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的几何运用，几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用邻补角性质得，结合角平分线的定义得，再运用角的和差关系列式计算，即可作答． （2）先表示，因为射线是的平分线，故，再根据邻补角性质，即可作答． （3）设，则，再分别表示，，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵射线是的平分线． ∴， 则； （2）∵，， ∴ ∵射线是的平分线， ∴ ∴； （3）设， ∵射线是的平分线， ∴， 则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 即． 题型二 垂线有关计算 4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）几何说理填空： 如图，直线、相交于点，于点，平分，平分，． (1) 　　； (2)求的度数．（过程如下，补全过程） 解：于点， 　　， ， 　　， ， 　　， 平分， 　　　　 ． 【答案】(1) (2)90，145，145，，72.5 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，从而得出，再根据角平分线的定义进行计算即可； （2）由垂线的定义可得，从而得出，最后根据角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：解：于点， ， ， ， ， ， 平分， 故答案为：90，145，145，，72.5． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线相交于点O，，且平分，若．    (1)求的度数； (2)写出的度数是________°． 【答案】(1) (2)27 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义； （1）先由垂直求出，再由平角求出，最后根据角平分线求出； （2）由平角求出即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵OC平分， ∴； （2）, 故答案为：． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点O，．    (1)若，求的度数； (2)若平分，求与的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】（1）根据得到，结合即可得到答案； （2）根据平分得到，结合即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题考查角平分线有关计算，垂直的定义，解题的关键是根据同角加等角得到的角度相等得到．． 7．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三 平行线的判定与性质综合 8．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 9．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线有两点A、C，分别引两条射线．，与在直线异侧．若，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为 时，与平行．    【答案】4或40秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 如图①，与在的两侧时，   ，， ，， 要使，则， 即， 解得：； 此时， ； ②旋转到与都在的右侧时，   ，， 要使，则， 即， 解得：， 综上所述，当时间的值为4秒或40秒时，与平行． 故答案为：4或40秒 10．（23-24七年级下·吉林松原·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车（图1）的示意图如图2所示，其中，．若，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据，可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， ， ． 11．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，． (1)求的度数； 解：（已知），且（________）， （________） （已知）， （________）． ________（等量代换）． (2)求证：直线． 证明：（________）， ________（________）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】(1)对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等； (2)已知；；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据平行线的性质定理，结合已知求解过程逐步推导即可得出答案； （2）根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可得出答案． 【详解】（1）解：（已知），且（对顶角相等）， （等量代换） （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【问题】如图，，点在直线的下方，试说明． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作， 则．（______） ，， ．（______） ．（______） ______， ．（等量代换） 【答案】两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．作，根据两直线平行，内错角相等可得，结合，可得，再根据两直线平行，内错角相等，得到，最后根据角的和差以及等量代换可得结论． 【详解】解：作， 则，（两直线平行，内错角相等） ，， ，（平行于同一条直线的两条直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） ， ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；． 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，和互余，于点，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空．（理由或数学式） 解：（已知）， （垂直的定义）， _____， 又和互余（已知）， _____， _____（_____）， （已知）， ______（等量代换）， ______（_____）， （ ）． 【答案】，，，同角的余角相等，，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 先证明，再证明，进而由平行线的判定得，然后由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）， ， 又和互余（已知）， ， （同角的余角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；；同角的余角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意直接利用平行线的性质进行填空即可； （2）过点作，进一步利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ． ， （平行于同一直线的两直线平行）． ． ， ． ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；；100； （2）如图，过点作， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，，，求证：． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∵（已知） ∴（______） ∴______ ∴______（______） 又∵（已知） ∴ ∴ 【答案】，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；，两直线平行，同旁内角互补． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴， ∴， 故答案为：，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；，两直线平行，同旁内角互补． 16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）完成下面的证明过程，填写理由或数学式， 已知：如图，，， 求证：， 证明：∵（已知） ∴（__________________） ∴______（__________________） 又∵（已知） ∴______（等量代换） ∴______（__________________） ∴（__________________） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息提示，逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 17．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 根据平行线的性质与垂直的定义进行证明即可． 【详解】证明：，（已知） （垂直定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） ； 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，求证：． 根据下面的证明过程在括号内写出理由或数学式． 证明：∵， ∴（ ）． ∴（ ） ． ∴（ ）． ∵， ∴ （ ）． ∴（ ）． ∴ （ ）． ∵， ∴． ∴（ ）． ∴． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴． ∴（等量代换）． ∴． 19．（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，求的度数． 解：，（已知） ．（______） ．（______） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（______） ．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（______） ，（平角定义） ．（等式性质） ，（已证） ______°．（______） 【答案】垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答． 【详解】解：，（已知） ．（垂直于同一直线的两直线平行） ．（两直线平行、同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等、两直线平行） ．（两直线平行、内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（垂直的定义） ，（平角定义） ．（等式性质） （已证）， ．（两直线平行、同位角相等）． 故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等． 20．（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴ ．（同角的补角相等） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，（已知） ∴．（ ） ∵，（平角定义） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴．（ ） 【答案】垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行，同位角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定及性质进行推理即可解答． 【详解】解：，（已知） ．（垂直于同一直线的两直线平行） ．（两直线平行、同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（垂直的定义） ，（平角定义） ．（等式性质） （已证）， ．（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行，同位角相等． 21．（23-24七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的一个补角． (2)在图②中画出的一个余角． (3)在图③画出一个，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、同位角相等两直线平行、格点作图题 【分析】本题考查了余角、补角、平行线的性质等知识，解题的关键是： （1）延长即可； （2）取格点D，连接并延长即可； （3）取格点，连接并延长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，即为所求， ． 22．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个补角； (2)在图②中画的一个余角； (3)在图③中射线的右侧画，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】求一个角的补角、根据平行线的性质探究角的关系、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角、补角、平行线的性质等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）延长即可； （2）取格点，连接并延长即可； （3）取格点，连接并延长即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 23．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、画垂线、两点之间线段最短 【分析】（）根据网格线的特征画图； （）根据网格线的特征画图； （）根据两点之间线段最短求解； 本题考查格点作图，作平行线，两点之间线段最短，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，根据网格特征可知，， ∴即为所求； （2）解：根据网格特征可知：如图， ∵， ∴， ∴即为所求； （3）解：根据两点之间线段最短，如图， 连接交于点， ∴点即为所求． 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理的应用 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 25．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、三角板中角度计算问题 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 26．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图 1， ， 平分 ，点 E 在射线 上， ，垂足为点 D ， 平分 ，交射线 于点 F ，点 P 是射线上一点，连结 ． (1)如图 1，若 平分 ，则． (2)如图 2，若 ，求的度数． (3)如图 3，若 ，则 (4)若，直接写出的度数 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）先求解，，再求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，结合，从而可得答案； （3）证明，可得； （4）分两种情况讨论：在的外部，在的内部，再求解，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， 平分 ， ， ， ， （4）解：如图，当在的外部时， ，， ， ； 如图，当在的内部时， 同理，， ； 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 28．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键 （1）通过平行线性质可得，再代入，，可求即可； （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ， ∵，， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； 过点作 ∴， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； 过点作， ， ， ， ； 综上所述：或． 29．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【详解】（1）解：如图①，作，             图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图②，作，              图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）解：如图③，当点P在线段左侧时，            图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时，                图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 30．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系 （直接写结论）． 由图（2）易得、、的关系 （直接写结论）． ②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由． [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，与两个角的角平分线相交于点F．若，求的度数． 【答案】①；②理由见解析；③． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】①观察图形即可求解； ②如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； 如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据角平分线定义得：，，由得：，再根据四边形的内角和可得结论． 本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． 【详解】解：①由图（1）易得、、的关系． 由图（2）易得、、的关系． 故答案为：；； ②如图（1）所示：过点作， ，， ， ，， ， ； 如图（2）所示：过点作， ，， ， ，， ； ③如图（3），过点作， 、分别是和的平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 31．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等； （1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， 又，， ， ， ； 故答案：； （2）解：； 理由如下： 过点P作， 同理可得：， ， ， ， ； （3）解：延长交于点H，过点G，作， 同理可得：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）见解析 （3） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差． （1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （3）过点作，过点作，过点作，根据平行线的判定及性质，角的和差求解即可． 【详解】解：（1）证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一直线的两直线平行）． ．（两直线平行，内错角相等）． ， （同理）． ． 即． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）∵过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过点作，过点作，过点作， ∴，，， ∵，， ∴ ． 33．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)【基础问题】如图，试说明：．完成下面的填空部分 证明：过点作直线， ， ①　　　． ， ②　　　． ， ③　　　④　　　　． ． (2)【类比探究】如图，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图，点与点重合，平分，且，，求的度数． 【答案】(1)①；②；③；④两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解； （2）过点作直线，同理可得，，则； （3）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可； 本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质. 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴ (平行于同一条直线的两条直线平行)， ， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴； 故答案为：①；②；③；④两直线平行，内错角相等 （2）如图所示，过点作直线， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 【答案】[阅读理解]两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质；；[理解应用]；[拓展] 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判断与性质， 解答此类问题的关键所在是作出辅助线． [阅读理解] 过点E作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质可得， ，然后利用等式的性质即可得证 [理解应用] 过点E作，类似[阅读理解]可得出，然后代入的度数求解即可； [拓展]分点E在直线左侧和点E在直线右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：[阅读理解]如图②，过点E作． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知） ∴（平行线的传递性）． ∴． ∴．（等式性质） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质； [理解应用] 如图，过点E E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又 ∴； [拓展] 如图，当点E在直线左侧时， 由[阅读理解]可知：， 同理可证， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴ ， 又， ∴； 点E在直线右侧 由[理解应用]可知， ∴， 又，，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，的度数为或． 35．（22-23七年级上·吉林长春·期末）小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：，为之间一点，连接，得到． 求证：． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明：过点作，则有 ∵ ∴ ∴ ∴ 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： (1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数． (2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)、、之间的数量关系为或或． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）过点作，然后得到，从而得到，，然后得到的度数； （2）分情况讨论，当点在线段上时，当点在射线上时，当点在射线上时，然后过点作，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ，， ． （2）解：当点在线段上时，由（1）知， 如图，当点在射线上时， 过点作，则， ， ， ， ； 如图，当点在射线上时， 过点作，则， ， ， ， ； 综上所述，、、之间的数量关系为或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等． 题型四 利用平移的性质求解 36．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平移后，，与的周长相加即可转换为的周长，即可解题． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 与的周长和为（）， 故选：C． 37．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，将周长为的沿方向平移得到，连结，若四边形的周长是，则平移的距离是 cm． 【答案】1 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】由题意可得，，再结合周长求出的长，即可得到平移距离， 本题考查了，平移的基本性质，解题的关键是：熟练掌握平移的基本性质． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 的周长为，四边形的周长为， ，， ， ，即移的距离为， 故答案为：1． 38．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型五 实数有关计算 39．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是与，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：1． 40．（七年级下·吉林长春·期末）若表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有 （填写所有正确结论的序号）． ①；②；③；④；⑤存在有理数x使成立． 【答案】①④⑤ 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据题意表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，根据表示大于x的最小整数，故正确； ②，应该等于，故错误； ③，当x=0.5时，，故错误； ④，根据定义可知，但不会超过x+1，所以成立，故正确； ⑤当x=0.8时，，故正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键． 41．（七年级下·吉林长春·期末）对于实数p，我们规定：用＜P＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＜＞＝2．现对72进行如下操作： 即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：对36只需进行 次操作后变为2． 【答案】3 【知识点】实数的大小比较、无理数的估算 【分析】根据题目中的例子可以解答本题； 【详解】由题意可得， 36第一次＜＞＝6第二次＜＞＝3第三次＜＞＝2， 故答案为3 【点睛】本题考查估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 42．（七年级下·吉林松原·期末）已知与互为相反数，与互为倒数，的平方等于4，试求的值． 【答案】13或17 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方根概念理解、倒数、相反数的应用 【分析】先根据相反数与倒数概念，求得a+b=0，cd=1，平方根定义求得x=±2，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， 与互为倒数， ， 的平方等于4， ， 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值为13或17． 【点睛】本题考查相反数，倒数，平方根，代数式求值，熟练掌握相反数的性质，倒数的定义，求一个数的平方根是解题的关键． 43．（七年级下·吉林长春·期末）已知正数的平方根是，的立方根是2． (1)求a和b的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)a=9，b=5 (2)4 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列式计算即可． （2）先计算的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）因为正数的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得． 故a的值为9，b的值为5． （2）因为a=9，b=5， 所以=64，， 所以的立方根是4． 【点睛】本题考查了平方根即若（a是非负数），则称x是数a的平方根、立方根若，则称x是数a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 44．（22-23七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分， (1)求a、b、c的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)的立方根是 【知识点】估计算术平方根的取值范围、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）先根据平方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围即可得出c的值； （2）代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的算术平方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴的整数部分， ∴． （2）解：， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及平方根，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 45．（ 七年级下·吉林白城·期末）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 46．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 47．（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算 【分析】题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算求出与的值，即可确定出点坐标． 【详解】设点Q的坐标为，依题意得： ， 可得：，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 48．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴， ． （2）∵． ∴16的平方根是． 题型六 坐标系中的几何综合题 49．（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4) 【知识点】坐标与图形、列代数式 【分析】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）根据可得点P在上，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点， ∴， 又∵是正方形，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； 点在线段上时，； 故答案为：，； （2）当时，点在线段上， ∴； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：∵， ∴点P在上，即，解得． 50．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，连接，得到长方形，点M是边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，当点P不与点C重合时，连接，设三角形的面积为S，点P运动的时间为(秒)． (1)点M的坐标为______，点D的坐标为______． (2)当时，求点P的坐标； (3)用含t的式子表示三角形的面积S； (4)当三角形PMC的面积恰好为长方形的面积的时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3)当时，；当时， (4)或10 【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的几何应用，三角形面积的计算，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据题意可得，根据点M是边的中点，即可得出结果； （2）根据可判断出点运动到的位置，，从而得出结果； （3）当点P在线段上时，和点P在上时，两种情况下列方程即可得到结论； （4）当点P在线段上时，，当点P在线段上时，，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段， ， 点M是边的中点， ， ，， 故答案为：，； （2），当时，点运动到的位置，， ， ， 故点P的坐标为； （3）在长方形中， ， ， ∵点M是边的中点， ， ， 当点P位于上时，， ， ，， ， 当点P位于上时，， ， ， ， 综上所述：当时，；当时，； （4）当点P在线段上时，， ， 解得：； 当点P在线段上时，， ， 解得：， 综上所述，当的面积恰好为长方形的面积的一时，t的值为或10． 51．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴P，Q． 52．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，则点的坐标为___________； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________； (3)已知点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查点的坐标特征，根据题意列方程求解是解决问题的关键． （1）由轴上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （2）由在第一、三象限的角平分线上点的坐标特征，令求解即可得到答案； （3）由轴时，直线上点的纵坐标相等列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在轴上， 横坐标为，即，解得，则点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在第一、三象限的角平分线上， ，解得，则点的坐标为， 故答案为：； （3）解：、，且轴， ，解得，则点的坐标为． 53．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点： （1）由非负数性质即得； （2）根据三角形面积公式即得； （3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：当时， 则，， ∵的面积的面积的2倍， ∵的面积的面积的面积， 解得：， ∵， ∴， 当点P在点C的下方时，，即； 当点P在点C的上方时，，即； 综上所述，点P的坐标为或． 54．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点．    (1)点的坐标为______； (2)求四边形的面积（用含有m的式子表示）； (3)当四边形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）直接根据点C的位置写坐标； （2）根据网格特点和坐标与图形性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：由图可知，，， 四边形的面积为； （3）解：∵四边形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查坐标与图形、解一元一次方程、网格中求三角形的面积，熟知网格特点，掌握坐标与图形性质是解答的关键． 55．（七年级下·吉林白城·期末）如图，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，且． (1)求点的坐标； (2)点是线段的中点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质得，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到， ， 再求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴  解得 ， ∴； （2）解：，四边形是矩形， ，，， ∵点是线段的中点， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，绝对值和算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 56．（七年级下·吉林通化·期末）平面直角坐标系上有一点，请根据题意回答下列问题： (1)若点在轴上，求出点的坐标． (2)点的坐标为且轴，求出点P的坐标． (3)若点到轴的距离为2，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】（1）在轴上的点纵坐标为0，代入即可求出点的坐标； （2）平行于y轴的直线，横坐标相同，因此P、Q横坐标相同，代入即可求出点的坐标； （3）点到轴的距离为2，分类讨论，分为在轴正半轴还是负半轴，因此P点横坐标为2或-2，代入即可算出答案． 【详解】（1）∵在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，且轴， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）∵点到轴的距离为2， ∴P点横坐标为2或-2 ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查了坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的直线上的两个点的特征，以点到坐标轴距离等知识，准确掌握知识并进行运用是本题的关键． 57．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，四边形是长方形，边在轴上，轴． 已知点坐标为，点坐标为． 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为．    (1)点坐标为 ； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)满足条件的点的坐标为或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形 【分析】（1）利用矩形的性质求出，，可得结论； （2）分两种情形：如图1中，当点在线段上时，如图2中，当点在线段上时，分别构建方程求解； （3）当点与重合时，的面积为3，此时，过点作交于点，此时，的面积为3，求出坐标即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图1中，当点在线段上时，    由题意，， ， ． 如图2中，当点在线段上时，    由题意，， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或； （3）解：如图3中，    当点与重合时，的面积为3，此时， 过点作交于点，此时，的面积为3， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 题型七 二元一次方程组 58．（七年级下·吉林四平·期末）解方程组 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， ①×2+②×3，得：， 即， 把代入②，得6－2y=6，解得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握代入法和加减法求解的方法是关键． 59．（22-23七年级下·吉林·期末）定义关于“※”的一种运算如下：※，例如．若※，※，求※的值． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法 【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出x与y的值，即可求出所求． 【详解】解：根据题意列方程组，得 解得 ∴※． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义及熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 60 .阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下， 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组； （2）已知x、y、z，满足 试求z的值． 【答案】（1）；（2）z=2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）将②变形后，把①代入解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【详解】解：（1）， 将②变形得3(2x-3y)+4y=11 ④， 将①代入④得 3×7+4y=11， ∴y=−， 把y=−代入①得x＝−， ∴方程组的解为； （2）， 由①得3(x+4y)-2z=47 ③， 由②得2(x+4y)+z=36 ④， ③×2-④×3得 -7z-14， ∴z=2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想． 61．甲、乙两人解同一个方程组  , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解． 【答案】． 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可． 【详解】解：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 即方程组为， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 62．（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得， 将③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 整理得：， 把③代入④得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 63．（七年级下·吉林长春·期末）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　． (2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为　 　 ；的解为　 　 ． (3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是　 　 ． 【答案】(1)-1，1 (2)， (3)m=n 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、代入消元法、加减消元法 【分析】（1）根据共轭方程组的定义，得出1-a=2，b+2=3，解方程即可； （2）利用加减消元法求解； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得：1-a=2，b+2=3， ∴a=-1，b=1， 故答案为：-1，1； （2）解方程组 ①×2-②得：3y=3， ∴y=1， 将y=1代入①得，x+2=3， ∴x=1， ∴方程组的解为：； ③×2-④×3得：-5y=10， ∴y=-2， 将y=-2代入③得：3x-4=-10， ∴x=-2， ∴方程组的解为：； 故答案为：，； （3）将代入， 得， ∴m+kn=km+n， ∴m-km=n-kn， m（1-k）=n（1-k）， ∵k≠1， ∴m=n． 故答案为：m=n． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解共轭二元一次方程和共轭二元一次方程组的定义． 64．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 【答案】拓展提高：；能力运用： 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键． 拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可． 能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可． 【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为， 解方程组，得， ∴， 解方程组，得． 能力运用：设，，原方程组可变为， ∵关于，的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 题型八 实际问题与二元一次方程组 65．（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只． ∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 66．（七年级下·吉林白城·期末）如图，用八块相同的长方形地砖镶嵌一个宽为60cm大长方形，求每块地砖的长与宽． 【答案】每块地砖的长为45cm，宽为15cm 【知识点】构造二元一次方程组求解、根据实际问题列二元一次方程组、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】根据一个矩形的长 + 一个矩形的宽=大长方形的宽=60cm；两个矩形的长=三个矩形的宽 + 一个矩形的长 【详解】设每块地砖的长为cm，宽为cm， 根据题意可列方程组  解得 每块地砖的长为45cm，宽为15cm． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题的应用，找到矩形的长与宽和所给的长度的等量关系是关键． 67．（七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 68．（七年级下·吉林四平·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？ 【答案】从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求得． 【详解】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米， 根据题意得： 解得 答：从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解决本题的关键． 69．（七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)、加减消元法 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 70．（七年级下·吉林长春·期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 　 　（用含m、n、a、b的代数式表示）． 【答案】竹签有15根，山楂有63个；am+b＝n． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系． 【详解】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个， 依题意得：， 解得：． 答：竹签有15根，山楂有63个． 山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量 am+b＝n． 故答案为：am+b＝n． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 71．（七年级下·吉林白山·期末）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 （2）已知，求x+y+z的值 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3．解得：x＝1． 把x＝1代入②得：y＝0． 所以方程组的解为， （2）①×2得：8x+6y+4z＝20．③ ②﹣③得：x+y+z＝5． 【类比迁移】 （1）若，则x+2y+3z＝　　． （2）解方程组 【实际应用】 打折前，买39件A商品，21件B商品用了1080元．打折后，买52件A商品，28件B商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】【类比迁移】（1）18；（2）；【实际应用】比不打折少花了288元． 【知识点】代入消元法、列二元一次方程组、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）中的两式相加再除以2即可得出答案； （2）先对①移项得到2x﹣y＝2，再将2x﹣y＝2带入②，即可求出答案； 【实际应用】设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意得：39x+21y＝1080，即可求出答案. 【详解】（1）， （①+②）÷2，得：x+2y+3z＝18． 故答案为18． （2）， 由①得：2x﹣y＝2③， 将③代入②中得：1+2y＝9，解得：y＝4， 将y＝4代入①中得：x＝3． ∴方程组的解为． （实际应用） 设打折前A商品每件x元，B商品每件y元， 根据题意得：39x+21y＝1080， 即13x+7y＝360， 将两边都乘4得：52x+28y＝1440， 1440﹣1152＝288（元）． 答：比不打折少花了288元． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法和根据题意列二元一次方程组. 72．某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）． (1)设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处： 年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元） x y …… (2)已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？ 【答案】(1)见解析 (2)年进口额和出口额分别是亿元和亿元． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式， （1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，进口额增加了，出口额增加了．据此即可列出代数式，填表即可； （2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，年进出口总额为亿元，年进出口总额比年增加了亿元，据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得， 年进口额为亿元， 年出口额为亿元， 填表如下： 年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元） 2022 x y 2023 …… （2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元， 解得： ∴（亿元）， （亿元） 答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元． 73．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 74．（23-24七年级上·吉林长春·期末）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满，若A型车每辆需租金每次300元，B型车租金每次200元，直接写出最少租车费是______元． 【答案】(1)每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨 (2)1700 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程的应用； （1）设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”列出二元一次方程组，解方程组可得答案； （2）根据“共有31吨货物，一次运完且恰好每辆车都装满”列出二元一次方程，求出方程的正整数解，再分别计算出对应的租车费即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨， 由题意得：， 解得：， 答：每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨； （2）由题意得：（，，且a，b是整数）， ∴， ∴或或， 当时，租车费为：（元）， 当时，租车费为：（元）， 当时，租车费为：（元）， ∴最少租车费是元， 故答案为：1700． 75．（七年级下·吉林长春·期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m． (1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）． 方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根． 方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． 方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． (2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整． 解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得 【答案】(1)7，4，1 (2)用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论； （2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程构成方程组求出其解即可． 【详解】（1）解：方法①：6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根； 方法②：（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根； 方法③：（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根； 故答案为：7，4，1． （2）解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得，解得：． 答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数=总数建立方程是关键． 76．（七年级下·吉林长春·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足……①，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． (3)2 【知识点】三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）分别①-②，①+②即可求得； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2-②求得x+y+z=6，即可解决问题． （3）根据“3*5=16，4*8=30”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用2×①-②即可求出结论． 【详解】（1）解：， ①-②得x-y=-1， ①+②得3x+3y=15， ∴x+y=5， 故答案为：-1，5； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 根据题意，得：， ①×2-②，得：x+y+z=6， ∴2x+2y+2z=2×6=12， 答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． （3）依题意得： ， 由2×①-②可得2a+2b+c=2， 即2*2=2a+2b+c=2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型九 求一元一次不等式的解集 77．（22-23七年级下·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 【答案】3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 解得，， ∴满足题意的最小整数a是3， 故答案为：3． 78．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． (1)_______； (2)若，求x的取值范围； (3)若，直接写出x的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)x的值为或4． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键． （1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可； （3）根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2； （2）解：， 或， 解得：或； 故； （3）解：已知， 若，即时，， 解得：； 若，即时，， 解得：； 综上，的值为或4． 79．（22-23七年级下·吉林长春·期末）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 去分母，得． 任务一：“去分母”这一步的变形依据是_____（填“”或“”）． ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． ．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上． 【答案】任务一：；任务二：，数轴表示见解析． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】任务一：根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为，即可求解，再将解集表示在数轴上即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：任务一：“去分母”这一步的变形依据是不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：； 任务二：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 不等式的解集在数轴上表示如图所示： 80．（七年级下·吉林长春·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则的值为______； ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 【答案】（1）或；（2）①m＜1；②m=1；③m＞1. 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得． （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】解：（1）当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． ∴原方程的解是或． (2) ∵|x﹣2|≥0， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解 故答案为：①；②；③． 【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解． 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 81．科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． (1)求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； (2)快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 【答案】(1)A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹 (2)最多应购进A种机器人100台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可； （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列不等式40m+50（200-m）≥9000，求最大整数解即可． 【详解】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹， 根据题意，得 解得， 答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹． （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台． 根据题意，得40m+50（200-m）≥9000， 解得m≤100． 答：最多应购进A种机器人100台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． 82．（七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分.下表记录了2名参赛学生的得分情况. 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 乙 （1）若参赛学生小亮只答对了道选择题，则小亮的得分是多少？ （2）参赛学生至少要答（   ）道题，总分才不会低于分. 【答案】（1）小亮的得分是分.;（2）. 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据题意，有，解方程组可得； 设小明答对x道题，根据总分不低于60分列出一元一次不等式即可. 【详解】（1）根据题意，有 解这个方程组，得： 答：小亮的得分是分. （2）设小明答对x道题，根据题意可得 5x-2（20-2-x）≥60 解得：x≥13 因为x是整数，所以x所取最小值为14， 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，找出关系式列出式子是解题的关键. 83．（七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 84．（七年级下·吉林·期末）为庆祝建党100周年，某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满，已知每辆大巴车的座位数比中巴车多17个，每辆大巴车和中巴车的租金分别为700元和350元． （1）求每辆大巴车和每辆中巴车的座位数； （2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，共有多少种租车方案（两种车辆均租用）？ （3）在（2）的条件下，为使本次活动租金最少，该如何选用方案？此时最少租金是多少？请直接写出租金最少方案和最少租金． 【答案】（1）每辆大巴车有35个座位，每辆中巴车有18个座位；（2）共有3种租车方案；（3）租3辆中巴车和8辆大巴车，最少租金为6650元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据题意结合每辆大巴车的座位数比中巴车多17个，以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别列出等式求出答案； （2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案； （3）根据（2）可得，要使本次活动租金最少，则租3辆中巴车和8辆大巴车，根据每辆大巴车和中巴车的租金分别为700元和350元，即可求出最少租金． 【详解】解：(1)设每辆中巴车有x个座位，每辆大巴车有y个座位， 根据题意，得 ， 解得： 答：每辆大巴车有35个座位，每辆中巴车有18个座位； （2）设学校租用中巴车a辆，则租用大巴车（11-a）辆 根据题意，得 18a+35（11-a）， ∴， 又∵a≥1，且a是正整数， ∴a=1，2，3 即共有3种租车方案； (3) 由（2）可知，有三种租车方案，第一种方案：租1辆中巴车和10辆大巴车，则活动租金：；第二种方案：租2辆中巴车和9辆大巴车，则活动租金：；第三种方案：租3辆中巴车和8辆大巴车，则活动租金：； 所以最少租金方案为：租3辆中巴车和8辆大巴车；最少租金为6 650元． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确解出不等式关系是解题关键． 85．（23-24七年级下·吉林长春·期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 背景 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅，也引发了航模纪念品的热销，某商店采用线下、线上两种方式销售A、B两种款式的航模纪念品，且线下、线上商品标价相同． 素材一 该商店在无促销活动时，顾客若买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元． 素材二 该商店为吸引顾客在线下、线上分别开展促销活动．线下促销方案：顾客花费66元办理会员卡成为会员后，即可享受会员服务，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品标价的8折出售；线上促销方案：顾客购买商店内任何商品，一律按商品标价的9折出售且包邮． 任务一 该商店在无促销活动时，求A款航模纪念品和B款航模纪念品的标价各是多少元？ 任务二 某班级计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（），若在线下商店首次办理会员卡后购买，共需要_______元；若在线上商店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示） 任务三 请你算一算，在任务二的条件下，该班级购买A款航模纪念品的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】任务一：A款航模纪念品的标价为15元，B款航模纪念品的标价为20元；任务二：；；任务三：当时，线下购买方式更合算． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、列代数式表示实际问题、不等式解实际问题等知识，读懂题意，根据题中关系准确列出方程组、代数式及不等式求解是解决问题的关键． 任务一：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元；根据“买2个A款航模纪念品、1个B款航模纪念品，共需50元；若买1个A款航模纪念品、2个B款航模纪念品，共需55元”建立二元一次方程组求解，即可解题； 任务二：根据题意得到A款航模纪念品m个，B款航模纪念品个，结合任务一中价格，分别表示出线下商店首次办理会员卡后购买的费用和线上商店购买的费用，即可解题； 任务三：根据线下购买方式更合算，建立不等式求解，即可解题． 【详解】任务一、解：设A款航模纪念品的标价为元，B款航模纪念品的标价为元； 根据题意有， 解得， 答：A款航模纪念品的标价为15元，B款航模纪念品的标价为20元； 任务二、解：计划在促销期间购买A、B两款航模纪念品共40个，其中A款航模纪念品m个（）， B款航模纪念品个， 若在线下商店首次办理会员卡后购买，则需要费用为： （元）， 在线上商店购买，共需要费用为： （元）， 故答案为：；． 任务三、解：要线下购买方式更合算， 即， 解得， 购买A款航模纪念品的数量在时，线下购买方式更合算． 86．（22-23七年级上·吉林白山·期末）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【答案】(1)， (2)该月圆圆家的用电量为千瓦时 (3)10月最大用电量为250千瓦 【知识点】用字母表示数、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算； （2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式； （3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解． 【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）， 故答案为：，； （2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元）， 当时，应缴电费（元）， ∵， ∴圆圆家9月用电量的范围为， ∴， ∴， ∴该月圆圆家的用电量为千瓦时； （3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时）， ∵， ∴圆圆家10月用电量的范围为， ∴，即， ∴， ∴10月最大用电量为250千瓦． 【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 87．（22-23七年级下·吉林四平·期末）四平市为了更好地适应城市绿化的需求，决定购买东风多利卡雾炮抑尘洒水车，这种洒水车有型和型两种型号．已知购买一辆型洒水车比购买一辆型洒水车多2万元，购买2辆型洒水车比购买3辆型洒水车少万元． (1)分别求购买一辆型洒水车和型洒水车的钱数． (2)若市政决定购买多利卡雾炮抑尘洒水车共10辆，购买洒水车的总金额不超过140万元，请你为市政设计购买方案，并说明理由． 【答案】(1)购买一辆型洒水车需万元，购买一辆型洒水车需万元 (2)共有3种购买方案：方案1：购买型洒水车10辆；方案2：购买型洒水车1辆，型洒水车9辆；方案3：购买型洒水车2辆，型洒水车8辆，理由见解析 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设购买一辆型洒水车需x万元，购买一辆型洒水车需y万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型洒水车m辆，则购买型洒水车辆，根据题意列不等式求得m的取值范围，进而可得出方案． 【详解】（1）解：设购买一辆型洒水车需x万元，购买一辆型洒水车需y万元， 依题意得， 解得， 答：购买一辆型洒水车需万元，购买一辆型洒水车需万元． （2）解：设购买型洒水车m辆，则购买型洒水车辆， 依题意得：， 解得：． 又∵m为自然数， ∴m可以为0，1，2， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买型洒水车10辆； 方案2：购买型洒水车1辆，型洒水车9辆； 方案3：购买型洒水车2辆，型洒水车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组和不等式是解答的关键． 88．（22-23七年级下·吉林四平·期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解． 【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有： ， 解得． 故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程． 89．（七年级上·吉林·期末）某乒乓球馆将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价40元．经洽谈后，甲商店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙商店全部按定价的9折优惠．该球馆需买球拍5副，乒乓球若干盒（大于5盒）． (1)如果购买5副球拍和6盒乒乓球，则在甲商店购买需花费 　 　元，在乙商店购买需花费 　 　元； (2)当购买乒乓球多少盒时，在两家商店花费金额一样； (3)当购买乒乓球多少盒时，在乙商店购买划算． 【答案】(1)1040，1116 (2)当购买乒乓球25盒时，在两家商店花费金额一样 (3)当购买乒乓球大于25盒时，在乙商店购买划算 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）甲：根据买一副球拍赠一盒乒乓球可知只要付5副球拍和1盒球的金额；乙：先算所有的，再计算9折后的金额； （2）设有x盒乒乓球，然后将两个商店的需要的金额计算出来，再列出方程计算得到x的值； （3）令乙商店的金额小于甲商店的金额列出不等式，然后解不等式． 【详解】 解：（1）甲：∵买一副球拍赠一盒乒乓球， ∴只需付5副球拍和1盒球的金额， ∴需花费200×5+40×1＝1040（元）， 乙：0.9×（200×5+40×6）＝1116（元）． 故答案为：1040，1116． （2）设有x盒乒乓球，由题意得， 甲：200×5+40（x﹣5）＝800+40x（元）， 乙：0.9（200×5+40x）＝900+36x（元）， ∵在两家商店花费金额一样， ∴800+40x＝900+36x， 解得：x＝25， 答：当购买乒乓球25盒时，在两家商店花费金额一样． （3）由（2）得，甲店需要（800+40x）元，乙店需要（900+36x）元， ∵在乙商店购买划算， ∴800+40x＞900+36x， 解得：x＞25， 答：当购买乒乓球大于25盒时，在乙商店购买划算． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意用含有x的式子表示甲乙两个商店所需金额． 90．（七年级下·吉林·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【知识点】坐标与图形、用一元一次不等式解决几何问题、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，； 根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； 若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）点坐标为，点坐标为， 四边形的面积 ； （3）存在．理由如下： ， ， ， 为负整数， 或或， 点的坐标为或或 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． 题型十一 一元一次不等式组的解法 91．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据不等式组有解即可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组有解， ， 解得：． 故答案为：． 92．（七年级下·吉林长春·期末）解不等式组. 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】求出两不等式的解集，根据：“大小小大中间找”确定不等式组解集． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 93．（22-23七年级下·吉林·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 原不等式组的解集在数轴上表示如下：    【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的基本步骤是解本题的关键． 题型十二 一元一次不等式组的应用 94．（23-24七年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 【答案】(1)甲型客车8辆，乙型客车12辆 (2)4种 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意找出等量关系或不等量关系并正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆，根据“一共可以载客920人”列出方程求解即可； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据“该中学预算租车的总费用不超过5500元”列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆， 解得： 所以 答：甲型客车8辆，乙型客车12辆； （2）解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， ，为整数， ∴或6或7或8， 租车方案有4种． 95．为保持空气质量的良好率，降低空气污染，昆明某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种新能源公交车，其中每台的价格，年载客量如下表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)现准备计划购买型和型两种新能源公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 【答案】(1)， (2)购买型公交车8辆，型公交车2辆 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． （1）列出二元一次方程组计算即可． （2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，列出不等式组计算出方案，根据利润计算法计算利润，比较大小即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为，的值为150； （2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆， 依题意得：， 解得：． 又∵为整数， ∴可以为，，． 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）． 答：总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆． 96．（23-24七年级上·吉林白山·期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． (1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ (3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 【答案】(1)1360元 (2)甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出 (3)方案1：各自购买服装需5590元；方案2：联合购买服装需4730元；方案3：联合购买91套服装需4095元；甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查方案问题、一元一次方程的实际应用；找到等量关系列方程、列出所有方案是解决本题的关键； （1）计算出联合购买的价格，再减去单独购买的价格即可； （2）根据题目等量关系“甲、乙两所幼儿园一共96人”列方程求解，再判定结果是否满足“甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人”即可； （3）分别计算出3种方案的价格，最后比较结果即可． 【详解】（1）解：若甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装需（元）， 比各自购买服装共可以节省：（元）， 因此共可以节省1360钱，； （2）设甲幼儿园有小朋友名，则乙幼儿园有小朋友名， 依题意得，， 解得，， 故符合题意，所以（名）， 故甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出； （3）甲幼儿园人数：（人），乙幼儿园人数：40人， 方案1：各自购买服装需（元）， 方案2：联合购买服装需（元）， 方案3：联合购买91套服装需（元）， 因为， 所以应该甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱． 97．（22-23七年级下·吉林长春·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵元，买套甲型号“文房四宝”和套乙型号“文房四宝’，共用元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不少于套，问有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元 (2)有种购买方案 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲型号“文房四宝”的数量为套，则购进乙型号“文房四宝”的数量为套，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，根据题意得， 解得： 答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”的数量为套，则购进乙型号“文房四宝”的数量为套，根据题意， 解得： ∵为正整数， ∴ 则有种购买方案 【点睛】本题考查了二一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 题型十三 数据的收集、整理与描述 98．（23-24七年级下·吉林白城·期末）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：其中G表示体重，h表示身高．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，七年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据： 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） (2)求本次调查的总人数，并补全条形统计图； (3)若该校共有1000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 【答案】(1) (2)100，见解答 (3)60人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据体重指数公式计算即可判断出答案； （2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数． 【详解】（1），， 他的体重指数属于等级； 故答案为：； （2）本次调查的样本容量是：， 等级的女生人数为：（人， 补全条形统计图如下： （3） （人． 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为60人． 99．（七年级下·吉林长春·期末）某校七年级（3）班数学考试成绩如下表： 分数段 40以下 40～49 50～59 60～69 70～79 80～89 90～100 人数 3 4 5 8 13 8 7 请解答以下各题： (1)计算及格率及优秀（80及80以上）率； (2)哪个分数段的人数最多？其百分比是多少？ (3)根据上图的数据分优（80及以上）、良（60～79）、中（40～59）、差（40以下）分四部分制作扇形统计图； 【答案】(1)及格率，优秀率 (2)70～79分数段人数最多，相应百分比约为 (3)扇形统计图见解析 【知识点】求扇形统计图的圆心角、统计表 【分析】（1）根据成绩统计表得到总人数、60分以下的人数和80及80以上的人数，根据及格率不和优秀率直接计算即可得到结论； （2）根据成绩统计表可知70～79分数段人数最多，计算相应百分比即可； （3）根据成绩统计表按照优（80及以上）、良（60～79）、中（40～59）、差（40以下）四部分统计人数，计算百分比制作扇形统计图即可． 【详解】（1）解：根据某校七年级（3）班数学考试成绩表可知班级总人数为，60分以下的有人，则及格人数为人， 及格率为； 80及80以上的人数为人， 优秀（80及80以上）率为； （2）解：根据成绩统计表可知70～79分数段人数最多，有人， 相应百分比为； （3）解：根据成绩统计表可知： 优（80及以上）有15人，占比； 良（60～79）有21人，占比为； 中（40～59）有9人，占比为； 差（40以下）有3人，占比为； 根据以上数据按照优（80及以上）、良（60～79）、中（40～59）、差（40以下）四部分制作扇形统计图如下： 【点睛】本题考查统计数据的整理分析，理解相应概念，掌握扇形统计图的制作是解决问题的关键． 100．（七年级下·吉林长春·期末）小明想了解本校九年级学生对“书画、器乐、艺术、棋类”四项“校本课程”的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图．请结合统计图解答下列问题： （1）求本次抽取的学生的人数． （2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图． （3）求扇形统计图中的值． （4）求扇形统计图中喜欢器乐的学生人数所对应的圆心角的度数． 【答案】（1）200人；（2）图见解析；（3）20；（4）． 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）根据喜欢棋类的学生的条形统计图和扇形统计图信息即可得； （2）先根据（1）的结果求出喜欢书画的学生人数，再补全条形统计图即可得； （3）利用喜欢艺术学生的人数除以调查的总人数即可得； （4）利用喜欢器乐的学生人数所占百分比乘以即可得． 【详解】解：（1）（人）， 答：本次抽取的学生有200人； （2）喜欢书画的学生人数为（人）， 由此补全条形统计图如下： （3）， 则； （4）， 答：喜欢器乐的学生人数所对应圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$