暑假作业06 利用正、余弦定理解三角形（4大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 利用正、余弦定理解三角形 【知识点1 正弦、余弦定理】 1.正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R. cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.常用结论 (1)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． (2)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B． (3)内角和公式的变形 sin (A＋B)＝sin C； cos (A＋B)＝－cos C. 【知识点2 三角形常用面积公式】 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝ac_sin_B＝bc_sin_A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用正弦定理解三角形（重点）】 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以由正弦定理可得. 故选：C 2.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=,b=,B=,则A= (　　) A. B.C.或 D.或 【答案】D 【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,解得sin A=, 因为0<A<π,所以A=或A=,经检验,都符合题意. 故选：D 3.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 (　　) A.0<C≤ B.0<C≤ C.<C< D.<C≤ 【答案】A 【解析】根据题意,由正弦定理得=,则sin C=sin A, ∵A,C为三角形的内角,∴0<sin A≤1,∴0<sin C≤, 又∵AB<BC,且三角形中大边对大角,∴C<A,∴C是锐角, ∴0<C≤. 故选：A 4．在ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（       ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】 要使三角形有两组解，则，且，即， 所以，所以a的值可以为． 5．在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则,因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD. 【题型二：利用余弦定理解三角形（重点）】 6.若已知的周长为9，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，则有， 解得，∴，，， 则． 故选：A 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A+B的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由已知得，所以 又，所以，所以. 8.(多选)在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为 (　　) A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA· cos B,即1=BC2+3-2BC××,解得BC=1或BC=2. 当BC=1时,BC=AC,△ABC为等腰三角形,所以A=B=; 当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=. 故选：AD. 9.在△ABC中,若a=b,b=c,则三个内角中最大角的余弦值为　　　　.  【答案】- 【解析】由题意不妨设c=m,b=m,a=2m(m>0), 利用大边对大角可知A为△ABC中最大的角, 则cos A===-. 【题型三：利用正、余弦定理判断三角形的形状（易错）】 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 所以角为钝角，所以为钝角三角形. 故选：A 11.已知在中，分别是角的对边，若，则是（       ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是的直角三角形 【答案】C 【解析】由已知及正弦定理可得， 故，则是等腰直角三角形. 12．（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AD 【解析】由大边对大角可知，故A正确； 对于B，若，，，由正弦定理可知， ∴，∴，∵，∴，∴角为锐角， ∴角只有一解，∴只有一解，故B错误； 对于C，若，结合余弦定理可得， 整理分解因式可得，∴或， ∴或，∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，∵，结合余弦定理可得， 又∵，则， ∴为钝角三角形，故D正确. 故选：AD. 【方法技巧】判定三角形形状的2种常用途径 角化边 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 边化角 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 【题型四：利用正、余弦定理解三角形】 13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为 (　　) A.3π B.6π C.9π D.12π 【答案】C 【解析】由已知得b×+a×=2,解得c=2,设三角形ABC的外接圆的半径为R, 则2R===6,可得R=3,∴△ABC的外接圆面积S=πR2=9π. 故选：C 14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b+acos C=0,sin A=2sin(A+C),则= (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵sin A=2sin(A+C)=2sin B,∴a=2b.∵b+acos C=0,∴b+a·=0, ∴a2+3b2-c2=0,∴c2=a2+3b2=7b2,则c=b,∴==. 故选：A 15.（多选）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的 D.cos A∶cos B∶cos C=12∶9∶2 【答案】AD 【解析】因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11, 所以可设其中x>0, 解得 所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正确; 由①可知边c最大,所以三角形ABC中角C最大, 又cos C===>0,所以角C为锐角,所以B错误; 由①可知边a最小,所以三角形ABC中角A最小, 又cos A===≠2×,所以C错误; cos B===, 所以cos A∶cos B∶cos C=∶∶=12∶9∶2,所以D正确. 故选：AD. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为____. 【答案】18 【解析】在中，由，得，而，则， 由，得，由正弦定理得， 则，，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得， 而，解得，所以的周长为18. 17.在中，，，分别是角，，的对边，且. (1)求的大小； (2)若，，求的值. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由已知， 根据正弦定理可得， 即， 则， 又在中，， 即， 又，，所以，， 由，所以； （2）由余弦定理可知， 即， 即， 解得或. 【题型五：与三角形面积有关的问题（高频）】 18.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,则= (　　) A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】　∵S△ABC=bcsin A=c=,∴c=4. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-4=13,∴a=. ∵===2R(R为△ABC外接圆的半径), ∴==2R===. 故选：A 19.在△ABC中,BC=6,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为 (　　) A.6 B.6 C.9 D.4 【答案】A 【解析】设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A, ∴36=b2+c2-bc.① ∵sin B=2sin C, ∴b=2c.② 由①②解得b=4,c=2(负值舍去), ∴△ABC的面积为bcsin A=×4×2×=6. 故选:A 20．已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为 . 【答案】4或8 【解析】由条件可知，，且，所以，， 所以是等腰直角三角形，或， 时，，得，此时的面积为； 时，，得，此时的面积为. 21.记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为2，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为，由余弦定理得， 整理得，所以，则， 所以由余弦定理得. （2）因为，所以， 所以的面积为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以. 【技巧点拨】用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 【题型一：利用正、余弦定理解多个三角形（重点）】 1.在中，已知，D是边上一点，如图，，则（       ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】 ，根据余弦定理， ，，，根据正弦定理， 则． 【方法技巧】对于多个三角形的求解问题，往往抓住两个三角形的公共边、公共角、互余或互补的角，利用正弦、余弦定理构造方程求解. 2.在中，若，，，则c边上的高为 【答案】 【解析】由余弦定理得， 即.设c边上的高为h，则 3.如图,已知平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠ABC=75°,∠BDC=30°,BD=2,CD=. (1)求∠CBD的大小; (2)求AB的长. 【答案】（1）60°；（2） 【解析】(1)在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos 30°=1, ∴BC2+CD2=BD2,即∠DCB=90°, ∴∠CBD=60°. (2)在四边形ABCD中,∠ABD=75°-60°=15°, ∴∠ADB=120°. 在△ABD中,由正弦定理得=,则AB==. 4.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 【答案】（1），；（2） 【解析】(1)由，得. 所以由余弦定理得，因为，所以， 由，根据正弦定理得， 因为，所以，因为，所以； (2)由（1）得，所以. 设，在中，由余弦定理得， 解得，所以. 【题型二：解三角形与基本不等式的综合（高频）】 5.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 6.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由余弦定理，得，即 整理得， 所以， 又，所以． （2）因为，所以． 因为，即 当且仅当时等号成立 所以．故面积的最小值为． 【方法总结】对于解三角形问题中的三角形周长或面积的最值问题，常利用余弦定理构造等量关系，再利用基本不等式进行放缩，从而求得相应的最值. 7．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）由可得，，   在中，由正弦定理，，    则， 又由正弦定理，得，因 ， 由余弦定理，得； （2） 由（1）得：，则，   当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值； 由余弦定理，， 当且仅当，即时取最小值，此时，   则； （3）设，则，，， 故，， 因为，，且，   故，故；   又当，时，，即， 【题型三：解三角形与三角函数的综合（重点）】 8．已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） , 当时，，又，故， 又在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. （2）由（1）知，，由其最小正周期为， 可得，又，解得，则； 由，即， 又，可得，则，即， 又， 在三角形中由余弦定理可得， 即， 将代入上式可得：，即， 解得，或（舍去）； 故的面积为. 9．设函数，其部分图象与坐标轴交点如图所示． (1)若，，，求； (2)在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （ⅰ）证明：是等腰三角形； （ⅱ）若，求当的最小正周期为多少时，的中线BD能取得最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）最小正周期，BD取得最大值为. 【解析】（1）已知，当时，，所以. 令，即，则（为整数）. 解得.当，，得； 当，，得. ，. 根据公式. （2）（ⅰ）由，代入得： ，化简得. 若，则，与图知条件矛盾，所以. 所以是等腰三角形； （ⅱ），两边平方. 因为，，由正弦定理可得：，. 代入得. 设，则，当，即时取等号.此时，周期，BD最大值为. 【题型四：解三角形与平面向量的综合（重点）】 10．如图，在中，，，，点在边的延长线上. (1)求； (2)若，，求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）中，由正弦定理， 因为，，所以， 所以， 则 . （2）方法1：因为，所以， 所以， 则. 方法2：在中，由余弦定理得 ， 因为为线段上靠近的三等分点，所以. 因为，所以， 因为为锐角，所以， 在中，由余弦定理得，， 所以. 11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，即， 整理可得，即， 在中，，故， 又为锐角三角形，故. （2）因为，可得， 由正弦定理，，即， 则， 又，故，则； 由为锐角三角形可得：，可得， 所以，则，则. （3）因为， 所以， 所以，，即， 所以为的外心， 所以，， 所以 , 由（2）同理可得，则， 所以， 所以. 【题型一：结构不良题（重点）】 1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，___________________（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分）. ①的面积为，求的周长； ②的周长为21，求的面积. 【答案】（1）（2）①周长为②面积为 【解析】（1）由得： ， 即. 由正弦定理得：，即， ，. （2）①由三角形面积公式得：，解得：. 由（1）知：， ， 的周长为. ②，， 由（1）得：，，解得：， 的面积. 2．在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②. (1)求角B； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）选①： 由，利用正弦定理边化角得：， 因为，所以有， 可得， 因为，所以； 选②： 由，利用正弦定理边化角得：， 因为，所以有， 可得：因为，所以，且； （2）若，求的取值范围. 用正弦定理边化角可得： ， 因为，所以，即， 则，所以，即， 则. 3．在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以，则， 又，解得； （2）若选条件①：， 由正弦定理知，可得， 又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意； 若选条件②：， 由余弦定理可得，， 即得（负值舍去），所以满足条件的三角形唯一， 设边上的高为， 由三角形等面积法可知， 即，解得， 故边上高线的长为． 若选条件③：， 由正弦定理可得，即， 所以， 又，解得或，有两解，不符合题意． 4．已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. (1)求的长； (2)若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 【答案】(1)删去条件见解析，；(2)删去条件见解析， 【解析】（1）删去①，设， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 联立方程解得，所以；符合题意， 删去②，则在中，由余弦定理有， 即，解得或， 则或4，有2解，不满足题意； 删去③，在中，由余弦定理可得， 即，解得或2，有2解，不满足题意； 删去④，设，在中， 由余弦定理有， 同理，在中，由余弦定理得， 因为，所以， 解得，得到；符合题意， 综上，的长为. （2）首先，我们作出符合题意的图，连接， 由上问得条件②，条件③删去后都不符合题意，则我们保留条件②③， 我们先删去条件④，由题意得；；均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 因为，所以解得，得到了条件④， 我们再删去条件①，由题意得；，均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 解得（负根舍去），得到了条件①， 则不论删去条件①还是条件④，都不影响最终结果，故我们直接用所有条件求解即可， 设四边形的周长为，则， 由圆的性质得，在中，由正弦定理得， 得到，， 则， 即， 得到， 即， 因为，所以， 则，得到， 故，即四边形的周长的取值范围为. 【题型二：数学文化题（难点）】 5．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即，因为，所以， 因为，所以， 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知，点一定在的内部， 由余弦定理可得，3， 解得， 因为 ， 所以， 所以， 故选：D．    6．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 【答案】ACD 【解析】对于A选项，当时，是等腰三角形，， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，即， A正确； 对于B选项，当时，由A选项知，， 因为，所以，设，则， 因为，所以，所以， 即满足，可得, 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，联立，解得，B错误； 对于C选项，当时， ， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得， 即，C正确； 对于D选项，已知，. 先由余弦定理，所以，进而. 设，则，. 在中，由正弦定理；在中，. 因为，，，. 由正弦定理，，可得. 在中，再用正弦定理，把代入得. 展开，即，化简可得.D正确. 故选：ACD. 7．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（   ） A．周长为9 B．若点为的外心，则 C．内切圆的面积为 D．的中线长为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，故设，，， 所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，，，所以的周长为，故A错误； 对于B，因点为的外心， 则， 同理可得，， 则，故B正确； 对于C，记的内切圆半径为，则，即， 则，故内切圆面积为，故C正确； 对于D，因，则， 利用余弦定理可得，， 即，解得，故D正确. 故选：BCD 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）法一：因为， 所以， 即， 整理得：， 所以由正弦定理可得，所以； 法二：因为，且， 所以， 所以，整理得， 因为，所以，所以. （2）由（1）可得，，所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知：， 设，由， 得，整理得：， 所以； （3）由费马点的定义可知：， 设，则， 又，所以由平面向量基本定理有. 由余弦定理可得：， ，， 因为，所以， 所以有，化简可得：， 将代入上式，化简得. 因为，当且仅当结合解得时等号成立， 设，所以，解得或， 因为，所以，所以，即的最大值为. 9．在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求A； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理， 所以，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. （2） 由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为为边中点，所以， 所以 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （3）. 又， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，则在上递减， 当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 利用正、余弦定理解三角形 【知识点1 正弦、余弦定理】 1.正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R. cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.常用结论 (1)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． (2)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B． (3)内角和公式的变形 sin (A＋B)＝sin C； cos (A＋B)＝－cos C. 【知识点2 三角形常用面积公式】 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝ac_sin_B＝bc_sin_A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用正弦定理解三角形（重点）】 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=,b=,B=,则A= (　　) A. B.C.或 D.或 3.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 (　　) A.0<C≤ B.0<C≤C.<C< D.<C≤ 4．在ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（       ） A．4 B． C． D． 5．在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型二：利用余弦定理解三角形（重点）】 6.若已知的周长为9，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A+B的大小为（       ） A． B． C． D． 8.(多选)在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为 (　　) A. B. C. D. 9.在△ABC中,若a=b,b=c,则三个内角中最大角的余弦值为　　　　.  【题型三：利用正、余弦定理判断三角形的形状（易错）】 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 11.已知在中，分别是角的对边，若，则是（       ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是的直角三角形 12．（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【题型四：利用正、余弦定理解三角形】 13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为 (　　) A.3π B.6π C.9π D.12π 14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b+acos C=0,sin A=2sin(A+C),则= (　　) A. B. C. D. 15.（多选）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的 D.cos A∶cos B∶cos C=12∶9∶2 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为____. 17.在中，，，分别是角，，的对边，且. (1)求的大小； (2)若，，求的值. 【题型五：与三角形面积有关的问题（高频）】 18.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,则= (　　) A. B. C. D.2 19.在△ABC中,BC=6,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为 (　　) A.6 B.6 C.9 D.4 20.已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为 . 21.记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为2，求. 【题型一：利用正、余弦定理解多个三角形（重点）】 1.在中，已知，D是边上一点，如图，，则（       ） A． B． C．2 D．3 2.在中，若，，，则c边上的高为 3.如图,已知平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠ABC=75°,∠BDC=30°,BD=2,CD=. (1)求∠CBD的大小; (2)求AB的长. 4.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 【题型二：解三角形与基本不等式的综合（高频）】 5.已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 6.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 7．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 【题型三：解三角形与三角函数的综合（重点）】 8．已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积． 9．设函数，其部分图象与坐标轴交点如图所示． (1)若，，，求； (2)在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （ⅰ）证明：是等腰三角形； （ⅱ）若，求当的最小正周期为多少时，的中线BD能取得最大值． 【题型四：解三角形与平面向量的综合（重点）】 10．如图，在中，，，，点在边的延长线上. (1)求； (2)若，，求的长. 11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围. 【题型一：结构不良题（重点）】 1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，___________________（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分）. ①的面积为，求的周长； ②的周长为21，求的面积. . 2．在中，内角所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①；②. (1)求角B； (2)若，求的取值范围. 3．在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. (1)求的长； (2)若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 【题型二：数学文化题（难点）】 5．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（    ） A． B． C． D．    6．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 7．（多选）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（   ） A．周长为9 B．若点为的外心，则 C．内切圆的面积为 D．的中线长为 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，求的最大值. 9．在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求A； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$