第5章 函数概念与性质综合测试-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第5章 函数概念与性质综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．函数的图象不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   5．已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元．当租赁公司的日收益最大时，每辆车的日租金为（    ） A．155 B．165 C．178 D．185 7．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的个位数字为7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 11．已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数若，则实数 ． 13．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 14．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 16．（15分） 已知 (1)已知是正整数，求的值； (2)已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 17．（15分） 已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 19．（17分） 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)已知函数为中心对称函数；有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； (3)已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求t的取值范围. 第4页，共12页 第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 函数概念与性质综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是奇函数，故A错误；单调递减，且在上单调递减，故B正确；是偶函数，但在上不是单调递减的，故C错误；是偶函数，且在上单调递增，故D错误． 2．下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 3．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，而的定义域为， 故两者不是同一函数； 对于B，由得，故定义域为， 由得， 故的定义域为，故两者不是同一函数； 对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故两者不是同一函数； 故选：C. 4．函数的图象不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【解析】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 5．已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得， 又由当时，函数为单调递减函数，所以， 所以， 故选：A. 6．某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的汽车每天需要维护费20元．当租赁公司的日收益最大时，每辆车的日租金为（    ） A．155 B．165 C．178 D．185 【答案】D 【解析】设每辆车的日租金为元，租赁公司的日收益为元，则每辆车的日收益为元， 租赁公司日出租车辆数为， 所以． 所以当时，取得最大值． 则当每辆车的日租金为185元时，租赁公司的日收益最大． 7．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得． 8．对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的个位数字为7 【答案】D 【解析】对于任意的，函数满足，， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，即， 则，B错误； 对于C，，则， 令，得，令，得，则， 则，，C错误； 对于D，，由，得， ， 当x是正奇数时，的个位数字依次为：，周期为5， ，，因此的个位数字为7 ，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 10．已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 【答案】AB 【解析】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称. 对A：令，则，故A正确； 对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值－1，则在上有最大值1，故B正确； 对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C不正确； 对D：设，则，所以， 又，所以（）. 故D不正确. 故选：AB 11．已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，，所以，解得； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， 因为，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以， 整理可得，，解得或（舍去）． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数若，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 13．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 14．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，且单调递增， 函数在区间上的值域为，则且， 即方程有两个实数解，即， 令，则有2个非负实数解， 作出函数的图象与直线， 即与在轴右侧（含轴）有2个交点，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数 (1)求 (2)若，求实数的值 【解析】（1）因为，所以， 所以， ； （2）当时，，解得（舍）； 当时，，解得，又因，所以. 综上：实数. 16．（15分） 已知 (1)已知是正整数，求的值； (2)已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）时，， ， 当时，， ， 故为奇函数，则； （2）存在，，理由如下： 当时，，对称轴为， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在上单调递增， ，在区间上是严格增函数， 故，解得，所以. 17．（15分） 已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【解析】（1）依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. （2）在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 19．（17分） 设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)已知函数为中心对称函数；有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； (3)已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求t的取值范围. 【解析】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，而当时，， 于是，， 所以. （2）函数的对称中心为，， 所以函数的对称中心为. （3）函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即， 依题意，，a，b，c为正数， 不等式恒成立， 而 ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以的取值范围是. 第2页，共12页 第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$