专项5 全等三角形的常见模型&专项6 与三角形有关的动点问题-【芸熙百分】2024-2025学年新教材七年级数学下册期末必刷卷（北师大版2024）郑州专版

北师版·七年级·数学·下册 通群题腿 专项5全等三角形的常见模型 紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三2.【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形， 等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数 如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的 为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为 底角顶点分别对应连接起来得到一组全等 “一线三垂直模型”.当模型中有一组对应 三角形，我们把这样的图形称为“手拉手” 边相等时，必定存在全等三角形 图形 【解决问题】(1)①如图1，在等腰直角三角 (1)如图1，在“手拉手”图形中，AB=AC, 形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作 AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE.试 直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, 说明：△ABD≌△ACE: DE=5,AD=2,则BE的长为 【变式探究】(2)如图2，△ABC和△ADE都 E 是等腰直角三角形，即AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=90°，点B,C,D在同一条 直线上.请判断线段BD与CE的关系，并说 明理由： 图1 图2 【拓展应用】(3)如图3，AB=BC,∠ABC= ②如图2，在等腰直角三角形ABC中， ∠BDC=60°，试探究∠A与∠BCD的数量 ∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE, 关系，并说明理由 过点A作AD⊥CE于点D,过点B作BE⊥ CE于点E,探索AD,DE,BE之间的数量关 系，并说明理由； 【拓展应用】(2)如图3，在一款名为超级玛 丽的游戏中，玛丽到达一个高为12m的高 图 图2 图3 台A,利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与 高台A水平距离为18m,高为4m的矮台 B,则旗杆OM的高度是 m. 图3 23 河洛芸熙·期末考试必刷卷 河保呢 专项6与三角形有关的动点问题 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，将线段BC沿着射线CA折叠得到4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥ CD,延长CD到点E,连接BE,点F是射线 BC,点D为垂足，E,F分别是AD,AB上的 CA上的一个动点，连接FE,FD.若BC= 动点.若AB=6,△ABC的面积为12，则BE+ 20,EC=28,△DEF的周长的最小值为22， EF的最小值是 ( 则BE的长为 A.2 A.18 B.4 B.16 C.6 C.14 D.8 D.12 5.在一次课外活动中，小明将一副三角尺按 2.如图1，∠B=∠C=90°，AB=2CD,点P以 如图所示的方式放置，点E在AC上，∠C= 每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→D ∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°.小明将 的路线运动，到点D停止，如图2，反映的是 △ADE从图中位置开始，绕点A按每秒5° △ABP的面积S(cm)与点P运动的时间 的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 x(s)两个变量之间的关系，则梯形ABCD 的面积为 s时，边AB与边DE平行 ( mS/em 0 8x/ B 图1 图2 第5题图 第6题图 A.72 cm2 B.64 cm2 C.48 cm2 D.36 cm 6.如图，在锐角三角形ABC中，∠ACB=50°， 3.如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点 边AB上有一定点P,M,N分别是AC和BC B作BC⊥BA交AN于点C.动点D,E同时 边上的动点，当△PMW的周长最小时， 从点A出发，其中动点E以2cm/s的速度 ∠MPN的度数是 沿射线AN运动，动点D以1cm/s的速度 7.如图，∠A0B=45°，点 在直线AM上运动.已知AC=6cm,设动点 M,N分别在射线OA, D,E的运动时间为1(s).当动点D在直线 OB上，MN=4,△OMW AM上运动时，若△ADB与△BEC全等，则t 的面积为3，P是直线 的值为 MN上的动点，点P关于OA对称的点为 A.2 P,点P关于OB对称的点为P2,当点P在 B.6 直线MN上运动时，△OPP2的面积最小 C.2或4 D.2或6 值为 24河洛芸照·期末考试必刷卷 而运阅 (3)∠A+∠BCD=180°.理由如下： 如图，延长DC至点P,使DP=DB. 连接PB.因为∠BDC=60°，所以 图 图2 图3 △BDP是等边三角形，所以BD=BP,∠DBP=6O°，所以 专项5全等三角形的常见模型 ∠ABC=∠DBP,所以∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC,即 1.解：(1)①3 ∠ABD=∠PBC.在△ABD和△CBP中，因为BD=BP, ②AD,DE,BE之间的数量关系为AD=BE+DE.理由：因为 ∠ABD=∠CBP,AB=GB,所以△ABD≌△CBP(SAS),所以 ∠BCP=∠A.因为∠BCD+∠BCP=I8O°.所以∠A+ AD⊥CE,BE⊥CE,所以∠ADC=∠CEB=90°.因为∠ACB= ∠BCD=180°. 90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，因为∠ACD+∠CAD=90°， 专项6与三角形有关的动点问题 所以∠CAD=∠BCE在△CAD与△BCE中，因为∠ADC= 1.C2.A3.D ∠CEB=90°，∠C4AD=∠BCE,AC=BC,所以△CAD≌ 4.B解析》如图，作点F关于AD的对称点 △BCE(AAS).所以CD=BE,AD=CE.因为CE=CD+DE, M,连接BM,EM,过点B作BN⊥AC于点N, 所以AD=BE+DE 所以EF=EM,所以BE+EF=BE+EM≥ B (2)17解析》如图，过点A作AE⊥ BM,所以当BM最小时，BE+EF最小当BM⊥AC时，BM最 OM,过点B作BF⊥OM.由题意知 小，即点M与点N重合，最小值为BN的长.因为Sa= ∠AOB=90°，0A=OB,所以∠B0F+ 4C,BN=12.4B=4C=6,所以BN=2×12÷6=4,即 ∠AOE=90°，因为∠AOE+∠EA0= 90°，所以∠EA0=∠B0F.在△AE0和△OFB中，∠EAO= BE+EF的最小值是4.故选B. 5.15或51解析)分两种情况讨论：①当DE在AB的上方 ∠BOF.∠AEO=∠OFB,OA=OB.所以△AEO≌△OFB 时，如图1，因为∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°， (AAS),所以OE=BF,AE=OF,即AE+BF=OE+OF.因为 所以∠BAC=30°，∠E=45.因为AB∥DE,所以∠BAE= 4C=12m,BD=4m,所以EF=12-4=8(m).因为AE+BF ∠E=45°，所以∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，所以旋转时 =18,即OE+0F=OE+OE+EF=18,所以2OE=10,所以 OE=5m,所以OM=0E+ME=OE+AC=5+12=17(m). 间1=750 50=15():②当DE在AB的下方时，如图2，因为 所以旗杆OM的高度是17m. ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，所以∠BAG=30°， 2.解：(I)因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠CAD=∠DAE- ∠E=45因为AB∥DE,所以∠BAE+∠E=180°，所以 ∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为 ∠BAE=180°-∠E=135°，所以∠CAE=∠BAE-∠BAC= AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE 105°，所以旋转的角度为360°-∠C4E=255°，所以旋转时 (SAS). 间1=255 =51(s).综上所述，在旋转过程中，第15或518 (2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：因为∠BAC=∠DAE= 时，边AB与边DE平行 90°，所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,∠BAD= ∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE. ∠ADB=∠AEC.因为∠ECD+∠ADB=∠EAD+∠AEC,所以 ∠ECD=∠EAD=90°，即BD⊥CE. 图2 北师版·七年级·数学·下册 深云腿 6.80°解析》如图，分别作点P关于直线 三、解答题 AC,BC的对称点D,G.DP交AC于点E 13.解：(1)原式=-1-3+9+1=6. PG交BC于点F,连接DG分别交AC,BC (2)原式=2x2-6xy-5y+2x2=4x2-11 于点M,N,连接MP,NP,此时△PMN的 14.解：(1)原式=1+4x+4x2+x2-4-4x2-4x=x2-3. 周长最小.因为PD⊥AC,PG⊥BC,所以 当=2=时原武=(-3 ∠PEC=∠PFC=90°，所以∠ACB+∠EPF=180°.因为 (2)原式=(a2-4ab+4+a02-62-362)÷(-2a)= ∠ACB=50,所以∠EPF=180°-50°=130°.因为∠D+ (22-4ab)÷(-2a)=-a+2h.当a=-3,b=-2时， ∠G+∠EPF=180°，所以∠D+∠G=50°.由对称可知 原式=-(-3)+2×(-2)=3-4=-1. ∠G=∠GPN,∠D=∠DPM,所以∠GPN+∠DPM=50°，所 15.解：(1)10（答案不唯一） 以∠MPN=∠EPF-(∠GPV+∠DPM)=I30°-50=80 (2)32是“完美平方数”，33不是“完美平方数”，理由： 7.解桥如图，连接0P,过点0作 32=42+4,33不能表示成两个非零整数的平方和的形 OH⊥MN交NM的延长线于点H,因为 式，故33不是“完美平方数”. Sm=2N.0H=3.且N=4,所以 (3)5.(答案不唯一) 16.解：(1)51 0H=子因为点P关于直线0A对称的点为R点P关于 (2)因为x+y=7,所以(x+y)2=x2+2y+y2=49.因为 直线OB对称的点为P2,所以∠AOP=∠AOP,∠BOP= x2+y2=25,所以2y=24.所以(x-y)2=x2-2g+Y2=1 ∠BOP3,OP,=OP=OP.因为∠AOB=45°，所以∠P,OP= (3)6解桥》设AB=x,AD=x因为四个正方形的周长 2(∠A0P+∠B0P)=2∠AOB=90°，所以△0P,P3的面积为 之和为40，面积之和为26，所以2(4x+4y)=40,2x2+22= 之0肌·0那，=0P,由垂线段最短可知，当点P与点H重 26所以x+y=5,x2+y2=13.所以2y=(x+y)2-(x2+ y2)=25-13=12,所以y=6,即长方形ABCD的面积为6 合时，0P取得最小值，最小值为0H=三所以△0此B面积 17.解：(1)因为A=(2x+1)(x-2)=2x2-4r+x-2=2x2- 的小值为×（广-号 3x-2,2B=2x(m-x)=2-22,所以A+2B=2x2-3x-2 +2mx-2x2=2x2-2x2+2mr-3x-2=2mx-3x-2= 提分专练1整式的乘除 (2m-3)x-2.因为A+2B的值与x的取值无关，所以2m 一、选择题 3=0,解得m=2 3 题号1 2 345 678 答案ACDDBBCA (2)设AB=x.由图可知5=a(x-3b),S,=2b(x-2a), 二、填空题 所以S-52=a(x-3b)-2b(x-2a)=ar-3ab-2bx+ 9.3(答案不唯一，m≠2的数均可) 4ab=(a-2b)x+ab.因为当AB的长变化时，S,-S的值 10.5a2-6a+1 始终保持不变，所以S,-的值与x的取值无关，所以 11.3解析因为4如-36+1=0，所以4如-36=-1.所以32× a-2b=0.所以a=2h 3÷27=32*+÷3=32+-4=32-1=3 提分专练2相交线与平行线 12.16解析》因为(2a+4b+7)(2a+4b-7)=15.所以(2a 一、选择题 +4b)2-49=15.所以(2a+46)2=64.因为a>0,b>0,所 题号1234567 以2a+4b=8.所以a+2b=4.所以a(a+2b)+8b=4a+ 答案DDABDCB 8b=4(a+2b)=4×4=16. 7.B解析因为∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM,所以∠AOE 8