13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 13.3.1（第2课时） 第十三章 三角形 直角三角形的性质和判定 复习回顾 FU XI HUI GU 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 30° 45° 45° 60° 90° 90° 思考 三角板的两锐角之和 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 直角三角形的两锐角之和 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ A B C 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， 由三角形内角和定理， 可得：∠A+∠B=90°. 由此可得：直角三角形的两个锐角互余. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU A B C 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 应用格式： 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 在△ABC中可利用内角和求出∠B. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°， 求∠BCD . 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠B=50°, 在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴∠BCD=40°. A C D B 你还有其他解法吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 双垂直模型 思考 从以上例题中我们能得到什么启发？ A C D B 事实上， 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180° 因此，∠B=∠ACD， 同理可得，∠A=∠BCD. 能否找出双垂直模型？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 A C B D H E 如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC. 在 Rt△EBC 中， ∠B+ ∠BCH= 90°. ∴∠CHD= ∠B=50°， 解：∵AD、CE是△ABC 的高， ∴∠CEB=∠CDA=90°， 在 Rt△HDC 中， ∠CHD+ ∠BCH= 90°. ∴∠AHC=180°-∠CHD= 130°. 典例精析 DIAN LI JING XI 思考 从以上例题中我们能得到什么启发？ 证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA =∠BDF = 90°. ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A =∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F， ∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ A B C D E 在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED. ∵∠AEC = ∠BED， ∴∠CAE = ∠DBE. 解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下： 典例精析 DIAN LI JING XI 双垂八字型 证明： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. 如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C . 事实上，这是一个条件更多的“八字型”. 利用三角形的内角和求解 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？ 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°， 所以∠C = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 典例精析 DIAN LI JING XI 归纳总结 直角三角形的判定 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 你还记得平行线的性质吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ 解：△AHC是直角三角形，理由： ∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°. ∵AH，CH分别为∠CAB，∠ACD的平分线， ∴∠CAH+∠ACH=90°. ∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形. 利用三角形内角和进行等量代换 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°. ∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°， 即 △ADE 是直角三角形. 解：△ADE 是直角三角形. 理由如下： 课堂小结 QING JING YIN RU 分类 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形 性质 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形. 直角三角形两锐角互余. 当堂练习 QING JING YIN RU 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 2. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = 2∠B = 3∠C D 3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，则与∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C 当堂练习 QING JING YIN RU 6. 在△ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________. 4. 如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______. 90° 5. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°. 52 第4题图 第5题图 直角三角形 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形. 证明：∵∠B= ∠A=∠C， ∴∠A=2∠B，∠C=3∠B. ∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B =6∠B=180°， ∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90° ∴△ABC为直角三角形. $$