13.3.1三角形的内角（第1课时）（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 13.3.1（第1课时） 第十三章 三角形 三角形的内角 复习回顾 FU XI HUI GU 三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？ 我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关. 30° 45° 45° 60° 90° 90° 思考 证明方法一：度量法 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 证明方法二：拼凑法 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（1） 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 1 2 A B C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（2） 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° C B A E D 1 2 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（3） 证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180° (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° C B A E D F 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 数学文化 QING JING YIN RU 三角形的内角和定理 即∠A+∠B+∠C=180°. 三角形内角和等于180°. C B A 帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家.早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 3x=180 20+x=25+45 70+40+x=180 3x=180-90 先利用三角形的内角和求出∠BAC 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC． 求∠ADC 的度数. 解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠CAD =∠BAC = 30°. ∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°. 在△EFC中求出∠D 在△AEF中求出∠EFA 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 典例精析 DIAN LI JING XI 归纳总结 事实上，在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°, 在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°, 而∠AFE=∠CFD， 故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D. 这样的模型我们称之为“八字模型”. 典例精析 DIAN LI JING XI 常见模型 由三角形的内角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 见比例，设未知数 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C. 解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°， 从而有 x + 2x + 60＝180. 解得 x＝40. ∴ 2x＝80. 答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 能否求出三角形ABC的所有内角？ 典例精析 DIAN LI JING XI 变式1 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2=20° ∴∠AOC=130°. ∵∠BAC=60°(已知)， ∴ ∠1=30°(等式的性质). 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180°（三角形的内角和等于180°）. 解： ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， 提示：可以用整体思想！ 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2= ∠BCA, ∴∠AOC=125°. 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° 解： ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）=55° 变式2 如果将条件换成∠B=70°，你还会解答吗？ 和变式2互为逆向应用！ 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠B 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2= ∠BCA,且∠AOC=120° ∴∠1+∠2=60°， 解：记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， 而在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° ∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°， ∴∠B=60°. 而在△ABC 中， ∠BAC+∠BCA+∠B=180° 变式3 ∴∠1= ∠BAC(角平分线的意义). 典例精析 DIAN LI JING XI 在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 同理∠2=∠BCA, ∴∠AOC=180°- （180°- x°）=90°+ x° . 解：记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， ∴∠1=∠BAC(角平分线的意义). 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° ∴∠1+∠2= （∠BAC+∠BCA）= （180°- x°）， 变式4 从特殊到一般 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数. 解：如图，由题意得 BE∥AD，∠BAD = 40°， ∠CAD = 15°，∠EBC = 80°， ∴∠EBA =∠BAD = 40°， ∠BAC = 40° + 15° = 55°. ∴∠CBA =∠EBC -∠EBA = 80° - 40° = 40°. ∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠ABC = 180° - 55° - 40° = 85°. D E 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 常见模型 八字模型 角平分线模型 三角形的内角和 证明方法 三角形的内角和为180° 推理验证 转化思想 O E B D C A 1 2 当堂练习 QING JING YIN RU 2. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 按角分是_______三角形. 1. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °. 3. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则 ∠A = °， ∠B = °，∠C = °. 102 直角 60 50 70 4. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°. B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 当堂练习 QING JING YIN RU 5. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数． 解：∵∠A +∠ADE = 180°， ∴ AB∥DE. ∴∠CED =∠B = 78°. 又∵∠C = 60°， ∴∠EDC = 180° - (∠CED +∠C ) = 180° - (78°+ 60°) = 42°. 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵ CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵ DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝70°. 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的平分线，求∠DCE 的度数． 解：由于∠A＝∠B＝∠ACB， 故可设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴ x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°. ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵ CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵ CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°. ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. $$