精品解析：2025届甘肃省定西市陇西县第一中学高考模拟预测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 15 D. 16 2. 某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图，则样本中车主使用辅助驾驶功能次数的分位数为（ ） A. 62 B. 64 C. 66 D. 68 3. 已知在梯形中，，，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 有一个3行3列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得3行中所填数字之和恰好是各一个，3列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法有（ ） 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 8. 若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为实数或纯虚数 10. 声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ） A B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为为上的两个动点，则（ ） A. 当时，直线的斜率为 B. 记与轴交于点，存在，使得 C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围为 D. 若以线段为直径的圆与相切，则三点共线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是__________.（写出一个即可） 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为__________. 14. 若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 16. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为. （1）当时，求直线到平面距离； （2）若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 18. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. （1）求方程； （2）过左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 19. 已知函数. （1）当为奇数时，证明：图象关于点对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 2. 某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图，则样本中车主使用辅助驾驶功能次数的分位数为（ ） A. 62 B. 64 C. 66 D. 68 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出40%分位数所在的区间，并设为，再利用概率之和也就是小长方形的面积之和等于0.40，求出即可. 【详解】因为， ， 所以样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数位于内， 设样本中车主使用辅助驾驶功能次数的分位数为， 则， 解得. 故选：C. 3. 已知在梯形中，，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故选：B. 4. 在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，由，可得（或其补角）为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接， 因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 6. 已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及等比数列通项公式、前n项和公式求基本量，再应用基本不等式求的最小值，由不等式恒成立并解一元二次不等式求参数范围. 【详解】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 故选：A 7. 有一个3行3列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得3行中所填数字之和恰好是各一个，3列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法有（ ） 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果；方法二：结合排列数的意义代入计算，即可得到结果. 【详解】 法一：显然在符合要求的填法中，应该填入3个数字0和6个数字1， 按照下面的顺序填入这3个数字0， 先找到一行并填入2个数字0和1个数字1，选出这样1行共有3种选法， 再从该行的3个格中选出2个填入数字0，这一步共有种不同的填法， 剩余1个数字0有4种填法，所以符合要求的不同填法共种. 法二：如图，问题可转化为将1，2，3全排列填入三个格中， 再将1，2，3全排列填入三个格中， 故不同填法有种. 故选：B. 8. 若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可. 【详解】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为实数或纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举反例说明即可；对于B，假设，根据复数的乘法运算及共轭复数判断即可；对于C，举反例说明即可；对于D，根据复数的模的求法列出方程，化简判断即可. 【详解】对于A，当时，，因为，所以，故A错误； 设，且， 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，取，满足0，但不满足，故C错误； 对于D，因为，，， 所以，化简可得，则且， 此时为实数或纯虚数，故D正确. 故选：BD. 10. 声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为为上的两个动点，则（ ） A. 当时，直线的斜率为 B. 记与轴交于点，存在，使得 C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围为 D. 若以线段为直径的圆与相切，则三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义以及斜率的定义，即可判断A，联立直线与抛物线方程，即可得到直线的斜率，再由直线与相切时最大，即可判断B，表示出，从而得到其范围，即可判断C，l建立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而判断D. 【详解】对于A，如图1所示，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点， 则由和抛物线的定义得，， 所以，所以，此时， 根据对称性可知直线的斜率为，故A正确； 对于B，如图2所示， 设直线的方程为，代入，得， 令，解得，当直线与相切时， 最大，同理，当直线与相切时，最大，此时的最大值为，所以不存在，使得，故B错误； 对于C，如图3所示， 由题可知圆的圆心为，半径为， 设，，则，，， 易知在上单调递增，所以， 即，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，易知直线斜率不为，设直线， 以线段为直径的圆与相切于点， 设，，，则. 由，得，， 则，， 所以，，. 由，得， 则， 即， 所以，解得， 故直线，所以直线过， 所以三点共线，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是__________.（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得为等边三角形，计算可得，结合，解方程求得，，得出结果. 【详解】如图所示，连接，因为，为中点， 所以为的中点，又因为，则，又， 所以为等边三角形，设，则，所以. 则由椭圆的定义可知，即，得. 因为，且为等边三角形，所以， 解得，所以，所以，， 所以的方程为. 故答案为： 14. 若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点的坐标可得，然后利用导数研究其图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上的一点，. （i）求； （ii）求面积. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知及正弦边角关系得，再根据三角形内角的性质及三角恒等变换有，即可求大小； （2）（i）在中应用余弦定理求边长；（ii）在中应用余弦定理，结合平方关系、三角恒等变换求得，在中应用正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理得. 因为，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，故. 【小问2详解】 （i）在中，由余弦定理得， 即， 解得或（舍去） （ii）在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以. 所以 在中，由正弦定理得，解得， 所以 16. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）. （2）. （3） 80 85 90 95 【解析】 【分析】（1）使用全概率公式求解顾客甲第二次去A餐厅用餐的概率，全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为多个简单事件的条件概率与相应简单事件概率乘积之和. （2）通过计算从给定奖券中任选3张的总方法数以及3张奖券折扣均不相同的方法数，利用古典概型概率公式计算概率，古典概型概率公式为事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数. （3）先确定离散型随机变量X的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，得到分布列，最后根据数学期望的定义计算，数学期望是随机变量取值与对应概率乘积的总和. 【小问1详解】 （1）设“第次去餐厅用餐”，“第次去餐厅用餐”. 根据题意得，，，则， 故顾客甲第二次去餐厅用餐的概率为. 【小问2详解】 从张奖券中任选张有种方法， 取到的折扣均不相同的取法有种， 所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为. 【小问3详解】 的所有可能取值为，，，， ， ， . . 所以的分布列为 80 85 90 95 所以 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为. （1）当时，求直线到平面的距离； （2）若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，把直线到平面的距离转化成点到平面的距离，过点作于点，通过证明平面，把点到平面的距离转化成线段的长； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，根据平面的法向量与平面的法向量夹角的余弦值为，列出方程，求出的值，即可得到的坐标，进而求出的长. 【小问1详解】 平面，平面， . 又，，，平面， 平面，平面，. ，，平面. 又平面，平面，平面. 直线到平面的距离等于点到平面的距离. 过点作于点. 平面，平面， . ，，平面，平面. 平面，就是直线在平面内的射影， 就是直线与平面所成的角，， ，，， . 直线到平面的距离为. 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴､轴， 过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得，，，. ，，， 设，， ，. 设平面的法向量为， 则.即， 令，则，. 设平面的法向量为. 则，即. 令.则，. 平面与平面夹角的余弦值为. . 整理得，解得或（舍）. ， . 18. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. （1）求的方程； （2）过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由题意得直线的方程为. 代入，得. 则，所以，则， 所以.同理得. 所以. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到双曲线方程； （2）（i）根据题意。联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（ii）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点的坐标，然后表示出直线方程，即可得到结果. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即，所以.① 因为的焦距，所以，则.② 由①②解得，，所以的方程为. 【小问2详解】 设，，由题得， 则直线的方程为，，联立. 得. （i）因为直线与的左支交于两点，所以，. 所以 解得或，所以的取值范围为. （ii）略 19. 已知函数. （1）当为奇数时，证明：的图象关于点对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）由题得. 因为为奇数， 所以. 即. 所以的图象关于点对称. （2） （3）由（2）可知，当时，. 因为. 显然，且. 所以. 当时，显然成立； 当时，因为. 所以. 即 . 综上，当时， 【解析】 【分析】（1）依据函数的性质，通过对进行化简，结合为奇数这一条件，判断函数的对称性. （2）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值情况，从而确定满足时的取值范围. （3）利用已知不等式对进行放缩，然后通过裂项相消法对数列求和，进而证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令. 则. ①当时，显然有. 所以成立； ②当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递减， 所以当时，. 即， 所以，不满足题意； ③当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递增， 当时，，即. 当时，因为， 所以，即在区间上单调递减， 所以的最大值为. 所以，即. 所以，符合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $