精品解析：2025年广东省茂名市高州市部分学校联考模拟预测九年级数学试题

2024—2025第二学期第12周中考模拟考试九年级数学 （本试卷共8页，25小题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A B. 2025 C. D. 2. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 4. 如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A 2 B. C. 3 D. 7. 数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 8. 如图，点、、、在上，，，则等于（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9. 一个油画架如图所示，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图像上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材，小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是______．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 12. 一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为_______． 13. 某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为______（结果保留）． 14. 如图，是的内切圆，若，则______. 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是______． 三、解答题（一）：本大题共3题，每小题7分，共21分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中x是4的算术平方根． 18. 如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出不写作法，保留作图痕迹； （2）若，，连接，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3题，每小题9分，共27分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 19. 为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图； （2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 20. 如图，已知是等边三角形外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点． （1）连接，判断四边形形状，并说明理由； （2）求的值． 21. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2题，第22题13分，第24题14分，共27分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 22. 已知二次函数． （1）若，且该二次函数图像过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，． ①求证：． ②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】 （2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025第二学期第12周中考模拟考试九年级数学 （本试卷共8页，25小题，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解： 的相反数是2025． 故选：B． 2. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形， B．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， C．图形是轴对称图形，也是中心对称图形， D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选C． 3. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 4. 如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限， ∴， 故选：A． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． 6. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定．由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 8. 如图，点、、、在上，，，则等于（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 一个油画架如图所示，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图像上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断①；由点，，关于直线对称可判断②；根据二次函数的图象过点和，得出，，从而得出当时，函数的最值为，当当时，为最小值，当时，为最大值，故可判断③；把转化为， 再根据，，的关系得出，，由此得出判别式△，故可判断④． 【详解】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 二次函数的图象经过点， 即时，， ，故①正确； ， 点，关于直线对称， ，故②正确； 二次函数的图象过点和， ， 解得， ， 当时，抛物线开口向上，当时，为最小值， 若为任意实数，则； 当时，抛物线开口向下，当时，为最大值， 若为任意实数，则； 故③错误； 由得， ， 又，， 得，， 则△， 关于的方程必有两个不相等的实数根， 故④正确． 故选：B． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材，小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是______．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】必然事件 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可得答案． 【详解】解：将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是必然事件， 故答案为：必然事件． 12. 一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及勾股定理，先利用图形得到圆锥的高和底面圆的半径，再利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形的面积公式计算该圆锥形漏斗的侧面积，即可解题． 【详解】解：由图知，圆锥的高为，底面圆的半径为， 圆锥的母线长为（）， 圆锥形漏斗的侧面积为（）， 故答案为：． 14. 如图，是的内切圆，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出四边形的面积是解题的关键． 设直线与双曲线的交点为和，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得，，然后利用四边形的面积梯形面积的面积列式计算即可． 【详解】解：由题意，设直线为， ∴交轴于点， 设直线与双曲线的交点为和， ， 解得， ， ∵四边形的面积梯形面积的面积， ， 解得． ∴的值为5． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3题，每小题7分，共21分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算与特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中x是4的算术平方根． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，完全平方公式，利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： 当时 原式． 18. 如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出不写作法，保留作图痕迹； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质求证是等边三角形，由勾股定理得，即可求； 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 由折叠可得，，， 是等边三角形， ， 又，，， ， 是直角三角形，且， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识，结合折叠的性质进行解题是关键． 四、解答题（二）：本大题共3题，每小题9分，共27分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 19. 为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图； （2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【答案】（1）20，162，频数分布直方图见解析 （2）见解析 （3）570人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图可得的值；利用频数分布直方图，结合条件可得的值；利用总人数可补全频数分布直方图； （2）利用相关统计数据可作出决策； （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：， 故， ， 故补全的频数分布直方图如下： 结合条件可知，男生的中位数为：； 【小问2详解】 解：男生跳绳成绩更好 理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 【点睛】本题考查频数分布直方图和扇形统计图关联．掌握各类统计数据的意义，并能根据相应的统计数据作出决策是解题关键． 20. 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点． （1）连接，判断四边形的形状，并说明理由； （2）求的值． 【答案】（1）矩形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合，等边三角形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角得到，由等边三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）连接交于，可证明，，得到，由垂径定理的推论可得为中点，则为中位线，据此可证明，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，理由如下： ∵为直径， ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∵为中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴由垂径定理的推论可得为中点 ∴为中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元. 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； 任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可； 任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可. 【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务二：设剪去的正方形的边长为，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，则 ， 整理得：， 解得：，， 答：每个有盖盒子应降价元或元. 五、解答题（三）：本大题共2题，第22题13分，第24题14分，共27分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 22. 已知二次函数． （1）若，且该二次函数的图像过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，． ①求证：． ②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解； （2）①证明，根据相似三角形性质即可求解； ②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数解析式为， ∵该二次函数的图像过点， ∴ 解得：； 【小问2详解】 ①∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵该二次函数的图像与轴交于点，且， ∴，， ∵． ∴， ∵的半径长为线段的长度的倍 ∴， ∵， ∴， ∴， 即①， ∵该二次函数的图像与轴交于点， ∴是方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 即②， ①代入②，即， 即， 整理得， ∴， 解得：（正值舍去） ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】 （2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，2或或或 【解析】 【分析】（1）可证明为等边三角形，得到，，再证明得到，据此可证明结论； （2）延长交于点，由等边三角形的性质得到，则，，进而求出；过点作于，则是等腰直角三角形，则，，解中， 得到，解得到，则； （3）分①当时，②当，③当时，三种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）延长交于点， ∵是等边三角形，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 过点作于，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （3）①当时， 如图3-1所示，则， ∴此时三点共线， ∴ ， ∴； 如图3-2所示，当点D在延长线上时，此时满足， ∴， ∴； ②如图所示，当时，则， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴此时C、B、E三点共线， ∴， ∴； ③当时，过点A作于Q，交于N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，直角三角形的面积为2或或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $