专题04 二元一次方程组（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题04 二元一次方程组 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 【考点2】二元一次方程的解★ 【考点3】解二元一次方程组★★ 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 知识点 1：二元一次方（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 知识点2：解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点3：二元一次方程（ 组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是二元一次方程，则a的值为 ． 【考点2】二元一次方程的解★ 1．如果是关于的方程的解，那么等于（   ） A．2 B． C．3 D． 2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 5．已知是方程的一个解，则的值是 ． 【考点3】解二元一次方程组★★ 1．解方程组： (1) (2) 2．解下列方程组： (1) (2) 3．解下列二元一次方程组： (1) (2) 4．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 5．解下列方程组： （）；                         （）． 6．解下列方程组： (1)． (2)． 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 1．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知x、y满足方程组，则代数式 ． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 4．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 5．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 1．小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为．小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是 ． 2．在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 4．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 1．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 2．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 3．定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 4．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 1．关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 2．若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 3．已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． 4．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 1．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 4．已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为 ． 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 1．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则依题列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为 ． 5．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 6．科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． (1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； (2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 7．如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 8．在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由，可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是，宽是）分别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是的正方形小洞，图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 【考点2】二元一次方程的解★ 【考点3】解二元一次方程组★★ 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 知识点 1：二元一次方（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 知识点2：解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点3：二元一次方程（ 组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点1】二元一次方程(组)的定义★ 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解决问题的关键是正确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义进行判定即可． 【详解】A，，x的指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． B，不是整式方程，故此选项不符合题意． C，是二元一次方程，故此选项符合题意． D， ，x的最高指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 2．方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， ∴不属于二元一次方程组的有2个； 故选：C． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】A．第一个方程的次数是二次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．是二元一次方程组，故本选项符合题意； D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．已知是二元一次方程，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得． 故答案为：2． 【考点2】二元一次方程的解★ 1．如果是关于的方程的解，那么等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程解的定义，将代入关于的方程，解一元一次方程即可得到答案．熟记二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解： 是关于的方程的解， ，解得， 故选：A． 2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的各组数值代入验证等式是否成立即可得到答案．理解二元一次方程的解是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； B、将代入二元一次方程， 则，故该选项符合题意； C、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； D、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入可得的值，即可得出结论．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的解， ∴， ∴， 即的值是． 故选：A． 4．已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 5．已知是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据是方程的一个解，得，即，进行作答即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 即， ∴， 故答案为： 【考点3】解二元一次方程组★★ 1．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 得，，即 得， 解得 将代入③得： 解得， ∴方程组的解为：． 2．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 3．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解； （2）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解； 解题的关键是掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解是； （2）， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 4．用适当方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； （2）解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 5．解下列方程组： （）；                         （）． 【答案】（）；（） 【分析】（）利用代入法解答即可； （）利用加减法解答即可； 本题考查了解一元二次方程组，掌握解一元二次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得， ∴方程组的解是； （）， ①得，③， ②得，④， ③+④得，， 解得， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解是． 6．解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤并正确求解是解答的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解：方程组， 把①代入②得，则， 将代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组， 得：， 将代入①中，得，则， ∴方程组的解为． 【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★ 1．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．利用关于的二元一次方程组的解为得到即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故选：B． 2．已知x、y满足方程组，则代数式 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是将看作一个整体，可以使计算简便．将两个方程相加，可得，等式两边同时除以4，可得代数式的值． 【详解】解：两个方程相加，得，即， 两边同时除以4，得． 故答案为：． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 4．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 5．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★ 1．小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为．小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组中的看错问题，将解代入到未看错的方程中求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，是方程的解，是方程的解， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 2．在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1， 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 【答案】， 【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，； 把代入的②中，得， 解得； 把代入①中，得， 解得， 故，． 4．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 【考点6】构造二元一次方程组求解★★ 1．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 2．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 3．定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了解二元一次方程组，已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：， 解得：， 则， 故答案为：2． 4．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解， ∴ 解得 即的值为5，的值为． （2）由（1）得，该二元一次方程为． 当时，． 【考点7】二元一次方程组相同解问题★★ 1．关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 2．若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系． （1）由题意得，解方程组即可解答． （2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到关于a、b的方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解， ∴， 得，解得， 将代入①得，解得 ∴方程组的解为． （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ∴， 解得 3．已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想是消元，有加减消元法和代入消元法．是方程组中每个方程都成立的未知数的值，是方程组的解． （1）根据两方程组解相同，联立①和③，再用加减消元法求解即可； （2）把方程组的解代入②和④，联立求解出a和b的值，再代入即可． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立①和③得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：把代入②和④得：， 由得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， ∴． 4．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了方程组相同解问题，加减消元法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出，即可作答． （2）先把代入得，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴ ，得 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入， ∴， 把上式两式子相加得， ∴． 【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★ 1．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根据方程组解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：A． 2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把k当做已知，利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解互为相反数建立关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：， 把，代入可得：， ，互为相反数， ， ． 故选C． 3．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：． 4．已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求得，再根据已知得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 两式相加得， ∵， ∴， 解得， 故答案为；． 【考点9】二元一次方程的应用★★★ 1．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则依题列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，根据等量关系即可列出二元一次方程组．读懂题意，准确列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤， 则， 故选：B． 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设该店有客房x间、房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间、房客y人，根据题意得： ， 故选：A． 3．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设每块小长方形墙砖的长为，宽为，根据图形找出等量关系，列出方程组即可判断． 【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为， 根据题意可得，． 故选：D． 4．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设人数和物价分别为人，钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”即可得出关于，的方程组． 【详解】解：设人数和物价分别为人，钱， 根据题意，得：， 故答案为：． 5．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 【答案】(1)购进种挂件件，种挂件件 (2)打折销售的 型挂件为 件 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和代数式，是解题的关键． （1）设购进种挂件件，种挂件件，根据用元一次性购进了、两种挂件共件，列出方程组进行求解即可； （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设购进种挂件件，种挂件件，根据题意，得： 解得， 答：购进种挂件件，种挂件件． （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意得， 解得： 答：打折销售的 型挂件为 件． 6．科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． (1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； (2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)小智的记录矛盾，理由见解答 (2)共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下： 设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件， 根据题意得：， 解得：， 实验耗材的单价不能为负， 小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材； 方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材． 7．如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 【答案】(1)需要的运费是元 (2)这一批原料有500吨，每吨原料能加工成的产品的重量是吨 【分析】本题主要考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找准等量关系． （1）根据题意，列代数式，合并同类项即可； （2）设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，根据所需的费用列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得（元）， 答：需要的运费是元； （2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨， 解得 ， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨． 8．在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【答案】(1)购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元 (2)购买个模型时，两种方案费用相同 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，熟知等量关系列出方程是解题的关键． （1）设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，根据题意列方程即可； （2）设购买种模型个，则购买种模型个，表示出两种方案需要价格，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元， 可得， 解得， 答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元； （2）解：设购买种模型个，则购买种模型个， 则可得， 解得， 答：购买个模型时，两种方案费用相同． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由，可以得到用x表示y的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程，移项即可得到，据此求解即可． 【详解】解：由，可以得到用x表示y的式子是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知是关于，的方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”、解一元一次方程，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于，的方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，根据剩余列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程，根据互换其中一件，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．根据题意得到关于x、y的二元一次方程组求解，再代入求出a的值即可． 【详解】解：由题意得，解得：， 将代入得， 解得：， 故答案为：1． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是，宽是）分别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是的正方形小洞，图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图①可得，小长方形宽的2倍减去长是中间正方形小洞的边长，由图②可知小长方形的长的3倍等于宽的5倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由图①可知，，由图②可知， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程中，用的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为“”，得， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解方程组：， 解：①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解是； （2）解：解方程组： 解：①＋②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． (1)求台梅和乌梅每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 【答案】(1)台梅每千克36元，乌梅每千克16元 (2)50千克 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可； （2）设最多能购买台梅千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，再建立不等式即可． 【详解】（1）解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则 ，     解得：， 答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元； （2）设最多能购买台梅千克，则 ， ∴， 解得：， 答：最多能购买台梅50千克． 13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【详解】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$