专题02 整式乘法（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题02整式乘法 【考点1整式的乘法】★ 【考点2整式乘法的应用】★★ 【考点3平方差及几何意义】★★ 【考点4完全平方及几何意义】★★★ 【考点5整式的混合运算】★★ 【考点6整式的化简求值】★★ 知识点1：整式的乘除法 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相 知识点2：乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点1整式的乘法】★ 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的计算方法，即利用乘法分配律进行计算即可，掌握单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【分析】主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】解： 即 故选：D 3．已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 4．若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，先去括号，再合并同类项后，根据不含项，则该项的系数为0，即可求得a的值． 【详解】解： ， 关于x的多项式的乘积化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据整式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 7．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂乘法，多项式乘以多项式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方，同底数幂乘法，整式的加减计算即可． （2）根据多项式乘以多项式，整式的加减计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)69平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时， （平方米）， 绿化部分的面积69平方米． 9．如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 【答案】(1)长方形纸片剩余面积为平方厘米 (2)长方形纸片剩余面积为700平方厘米 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题根据是正确识别图形，列出算式，熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）由题意可知：长方形纸片剩余面积=长方形面积个边长为a的正方形的面积，列出算式，进行化简即可； （2）把代入（1）中所求的方形纸片剩余面积，进行计算即可． 【详解】（1）由题意得： （平方厘米）， 答：长方形纸片剩余面积为平方厘米； （2）把代入得： （平方厘米）， 答：当，长方形纸片剩余面积为700平方厘米． 10．如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由； (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量． 【答案】(1)，， (2) ，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据图示，利用整式的乘除运算即可求解； （2）计算即可判断； （3）设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，根据即可求解． 【详解】（1）解：由图可知： 甲种长方形卡片的面积为：； 乙种长方形卡片的面积为：； 甲、乙两张卡片的面积和为： ; 故答案为：，， （2）解： ，理由如下： ∵ ， ∴ （3）解：设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡， 则由（1）可得： ， ∴， ∴， 则使用卡片的总数量为 11．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． 答：安装健身器材的区域面积为． （2）（2）当，时，（）． 答：安装健身器材的区域面积为． 【考点2整式乘法的应用】★★ 1．用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 【答案】D 【分析】本题考查多项式的乘法的应用．根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵ 长方形长为，宽为， ∴长方形的面积：， ∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是3、2、5张． 故选：D． 2．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 3．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)69平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时， （平方米）， 绿化部分的面积69平方米． 4．如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 【答案】(1)长方形纸片剩余面积为平方厘米 (2)长方形纸片剩余面积为700平方厘米 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题根据是正确识别图形，列出算式，熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）由题意可知：长方形纸片剩余面积=长方形面积个边长为a的正方形的面积，列出算式，进行化简即可； （2）把代入（1）中所求的方形纸片剩余面积，进行计算即可． 【详解】（1）由题意得： （平方厘米）， 答：长方形纸片剩余面积为平方厘米； （2）把代入得： （平方厘米）， 答：当，长方形纸片剩余面积为700平方厘米． 5．如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由； (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量． 【答案】(1)，， (2) ，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据图示，利用整式的乘除运算即可求解； （2）计算即可判断； （3）设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，根据即可求解． 【详解】（1）解：由图可知： 甲种长方形卡片的面积为：； 乙种长方形卡片的面积为：； 甲、乙两张卡片的面积和为： ; 故答案为：，， （2）解： ，理由如下： ∵ ， ∴ （3）解：设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡， 则由（1）可得： ， ∴， ∴， 则使用卡片的总数量为 6．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． 答：安装健身器材的区域面积为． （2）（2）当，时，（）． 答：安装健身器材的区域面积为． 【考点3平方差及几何意义】★★ 1．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个阴影部分的面积和可以用两个正方形的面积差表示，也可以用长方形的面积公式进行表示，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，两个阴影部分的面积和，也可以用来表示； ∴能验证的等式是； 故选A． 3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 4．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：， 故答案为：． 5．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1)3 (2)5050 【分析】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键 （1）利用平方差公式得出，代入求值即可； （2）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】（1）解：由，得． ，， ． （2）解： ． 6．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解； （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解； （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案为：； （2）解：由题意得 拼接后的长方形长为、宽为， ； 故答案为：； （3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ； 故答案为：； （4）解：① ， ， ， 故答案为：； ② ． 故答案为：． 7．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 【考点4完全平方及几何意义】★★★ 1．已知，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将原式变形为，然后利用完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式变形计算，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．若多项式，为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等，利用多项式乘以多项式的运算法则可得，即可得，进而由多项式相等的条件可得，，解之即可求解，弄清多项式相等的条件是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， 解得，， 故选：． 4．已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 5．如果是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．应用完全平方公式： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形． 【自主探究】（1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系式是__________； 【知识运用】（2）若，，运用你所得到的公式，计算的值； 【知识延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）（2）49（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式变形求值： （1）利用公式法和分割法两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）利用（1）中结论进行求解即可； （3）令设，，利用完全平方公式的变形，计算即可． 【详解】解：（1）解：由图可知，大正方形的面积为：； 故答案为：； （2）， ， ； （3）设，， ，， ， ， ，， ， ， ． 8．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 9．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． （1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）设设，，则，，，利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为的正方形：； 方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积：； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得：， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ， ， ， 答：的面积为． 10．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为2.5； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 【考点5整式的混合运算】★★ 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）根据乘法分配律，将括号内的每一个整式都乘以括号外的，接着计算整式的乘法，然后看是否能合并同类项即可； （2）先计算整式的乘法，然后再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方和多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了理数的乘方，零次幂，负整指数幂，积的乘方以及单项式的乘除法，多项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，正确的计算是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，0次幂，负整指数幂进行计算即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可； （3）根据积的乘方以及单项式的乘除法运算即可； （4）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【考点6整式的化简求值】★★ 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，平方差公式，求代数式的值，掌握运算法则是解题的关键；利用单项式乘多项式及平方差公式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 4．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式的乘法、单项式乘多项式与求代数式的值，掌握运算法则是解题的关键；分别用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的运算法则．利用同底数幂的乘除法法则、积的乘方和幂的乘方、完全平方差公式求解即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、 ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 3．如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 【详解】、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为 ， ， 故选：D． 4．若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：根据长方形面积：①，该选项正确，符合题意； ②由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； ③由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； 由①去括号得：，该选项正确，符合题意； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 5．已知是完全平方式，则常数k的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵是完全平方式，， ∴， 故选：A． 6．若，则的结果是（    ） A．15 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据多项式乘多项式法则，计算，再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 7．如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为，，， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， 重叠部分的面积为 故选A． 8．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式的变形运用是解题的关键． 将转化为，设，则， 代入得，整理得，由根的判别式，解得或，从而求出的最小值． 【详解】解： ， ∵， 原式 设，则， ∴ 整理，得， 当，解得或，方程有解， 当时，原式， 当时，原式， 的最小值是0 故选：C． 9．已知，代数式的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先根据得到，，再把整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键． 10．如图，有、、三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类、类卡片的张数分别为（    ） A．5，3，6 B．6，3，7 C．6，2，7 D．5，2，6 【答案】C 【分析】利用长方行面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量． 【详解】， ， 所以、、系数分别是6、2、7， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多单项式乘多项式，由单项式与多项式相乘的运算法则即可计算． 【详解】解：， 故答案为：． 12．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 13．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式； 根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形面积计算公式得到，再由长方形周长计算公式得到，则由完全平方公式可得，据此求出即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∵长方形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即长方形的面积是10， 故答案为：10． 15．若是关于x的完全平方式，则常数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，进行作答即可 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴ 解得 故答案为： 16．设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    【答案】8 【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，即， 要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片． ，即， 若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张， 故答案为：8 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法，以及积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】，22 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，再合并同类项，把已知代入得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键． 19．观察下列算式： 算式①： 算式②： 算式③： … (1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________； (2)上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立； (3)命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）： 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)假 【分析】（1）观察已知算式的规律，即可得到答案； （2）利用平方差公式，得到，即可证明命题； （3）举反例即可证明命题是假命题． 【详解】（1）解：由已知算式可知，算式④：， 故答案为：； （2）证明：， n为整数， 能被8整除， 即两个连续奇数的平方差能被8整除； （3）解：，不能被8整除， “两个连续偶数的平方差能被8整除”是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，判断命题真假，熟练掌握是解题关键． 20．【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为243 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为243． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式乘法 【考点1整式的乘法】★ 【考点2整式乘法的应用】★★ 【考点3平方差及几何意义】★★ 【考点4完全平方及几何意义】★★★ 【考点5整式的混合运算】★★ 【考点6整式的化简求值】★★ 知识点1：整式的乘除法 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相 知识点2：乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点1整式的乘法】★ 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 3．已知，则的值是（    ） A．5 B． C． D．7 4．若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 5．计算： ． 6．计算：． 7．计算： (1)． (2)． 8．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 9．如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 10．如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由； (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量． 11．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 【考点2整式乘法的应用】★★ 1．用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 2．在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 3．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 4．如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 5．如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由； (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量． 6．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 【考点3平方差及几何意义】★★ 1．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则 ． 4．计算的结果为 ． 5．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 6．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 7．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【考点4完全平方及几何意义】★★★ 1．已知，则的值是( ) A． B． C． D． 2．若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 3．若多项式，为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数a，b满足，，则的值为 ． 5．如果是完全平方式，那么 ． 6．应用完全平方公式： 7．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形． 【自主探究】（1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系式是__________； 【知识运用】（2）若，，运用你所得到的公式，计算的值； 【知识延伸】（3）已知，求的值． 8．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 9．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ； (3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； (4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积． 10．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【考点5整式的混合运算】★★ 1．计算： (1) (2)． 2．计算： (1)(2) 3．计算： (1)； (2) 4．计算： (1) (2) (3) (4) 【考点6整式的化简求值】★★ 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简再求值：，其中，． 5．先化简，再求值：，其中． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 4．若的结果中不含项，则a的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 5．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 5．已知是完全平方式，则常数k的值是（　　） A． B． C． D． 6．若，则的结果是（    ） A．15 B． C．30 D． 7．如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 8．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．已知，代数式的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，有、、三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类、类卡片的张数分别为（    ） A．5，3，6 B．6，3，7 C．6，2，7 D．5，2，6 二、填空题 11．计算： ． 12．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 13．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 14．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是 ． 15．若是关于x的完全平方式，则常数m的值为 ． 16．设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．    三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．观察下列算式： 算式①： 算式②： 算式③： … (1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________； (2)上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立； (3)命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）： 20．【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$