期末复习易错题（24个考点60题）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

期末复习易错题（24个考点60题） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 2．下面计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a6 3．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 4．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 5．计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　 　 ． 三．同底数幂的除法（共2小题） 7．下列计算结果为a6的是（　　） A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2 8．已知xm＝6，xn＝4，则x2m﹣n＝　 　 ． 四．多项式乘多项式（共5小题） 9．若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 11．如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（　　） A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣6 12．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣2，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 13．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　 　 ． 五．完全平方公式（共2小题） 14．若a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值是　 　 ． 15．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　 　 ； ②求（x+y）2的值； （2） 已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值． 六．完全平方公式的几何背景（共8小题） 16．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 17．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　 　 ； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　 　 ； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 19．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值． 解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2． 所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值； （3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）． 20．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9． 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝ 　 　 ； （2）若x﹣y＝7，xy＝18，求x2+y2的值； （3）两个正方形ABCD、CEFG如图摆放，面积和为60，BG＝10，则图中阴影部分面积为 　 　 ． 21．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积． 方法1：　 　 ；方法2：　 　 ； （2）由（1）可得三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　 　 ； （3）若图1中每块小长方形的周长为16，面积为5，求图2阴影部分的面积． 22．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　 ； （2）解决问题：如果a+b＝8，ab＝10，求a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（10﹣x）和（x﹣3），且（10﹣x）2+（x﹣3）2＝19，求这个长方形的面积． 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　 　 ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　 ． （3） 小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　 ． 七．平方差公式（共4小题） 24．下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 25．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 27．若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　 　 ． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 28．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6 29．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 30．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 九．二元一次方程的定义（共1小题） 31．如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（　　） A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1 一十．解二元一次方程（共2小题） 32．已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含x的代数式表示y为（　　） A．y3 B．y3 C．y D．y 33．解二元一次方程组，其中a为常数，若满足m+n＞0（且n非正数），则以下满足条件的a值为（　　） A． B． C．﹣8 D． 一十一．二元一次方程组的解（共3小题） 34．芳芳解方程组的解为由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙．则⊗与⊙表示的数分别是（　　） A． B． C． D． 35．对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣1；乙：无论a取何值，x+2y的值始终不变．则（　　） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 36．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 一十二．解二元一次方程组（共5小题） 37．已知，则a+b等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 38．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×3 39．小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①+②×a消去y，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 40．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 41． 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得，试计算（a+b+c）2的值． 一十三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 42．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 一十四．二元一次方程组的应用（共3小题） 43．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 44．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？ （3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 一十五．不等式的性质（共1小题） 46．若m＞n，则下列各式中正确的是（　　） A．m+2＜n+2 B．m﹣3＜n﹣3 C．﹣5m＜﹣5n D． 一十六．不等式的解集（共3小题） 47．若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 48．定义一种新运算：a@，下列说法： ①若x@2＝﹣3，则x1＝﹣5，x2＝﹣1； ②若|x﹣2|@2≥0，则该不等式的解集为x≤0或x≥4； ③代数式|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a的值为0或4． 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．一元一次不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是　 　 一十七．解一元一次不等式（共2小题） 50．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当a≥b时，a◎b＝2a+b；当a＜b时，a◎b＝a﹣b+3．例如：5◎（﹣3）＝2×5+（﹣3）＝7，（﹣8）◎（﹣4）＝﹣8﹣（﹣4）+3＝﹣1． （1）计算：3◎4＝　 　 ，（﹣1）◎（﹣5）＝　 　 ； （2）若7◎（﹣2x+3）＝5，求x的值； （3）若（x+2）◎（3x﹣1）＞9，则x的取值范围是 　 　 ． 51．定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b． 例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3． （1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝　 　 ； （2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值； （3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围． 一十八．解一元一次不等式组（共2小题） 52．若关于x，y的方程组的解满足x为正数，y为负数，则k的取值范围（　　） A．k＞8 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4 D．﹣4＜k＜8 53．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式x+5＞0的解集是x＞﹣5，它包含了方程2x﹣1＝﹣3的解，因此x＞﹣5是2x﹣1＝﹣3的“青一范围”． （1）判断：①3x﹣3＞0； ②3（x+2）＜6； ③，中哪个不等式的解集是方程2x﹣3＝1 的“青一范围”； （2）已知是方程2x+y＝5的解，不等式组的解集是方程2x+y＝5的“青一范围”，求x0﹣2y0的最小值； （3）若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求w＝s﹣4t+3的取值范围． 一十九．线段垂直平分线的性质（共2小题） 54．如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 55．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 二十．命题与定理（共1小题） 56．下列命题是真命题的是（　　） A．若a＝b，则a2＝b2 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若ab＝0，则a＝0 D．若a2＝b2，则a＝b 二十一．平移的性质（共1小题） 57．如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为　 　 cm． 二十二．生活中的旋转现象（共1小题） 58．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 二十三．旋转的性质（共1小题） 59．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 二十四．中心对称图形（共1小题） 60．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知△ABC以及△ABC外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点A′，B′，C′，得到△A′B′C′．如图，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A′是对称点 B．BO＝BO C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习易错题（24个考点60题） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 【答案】A 【解答】解：调整后：甲袋有（53﹣2x+2y）个球，乙袋中有（53+2x﹣2x﹣2y）＝（53﹣2y）个球，丙袋中有（5+2x+2y﹣2y）＝（5+2x）个球． ∵甲、乙、丙三个袋子中一共有53+53+5＝111个球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴每只袋子中有111÷3＝37个球， ∴5+2x＝37，53﹣2y＝37， ∴2x＝32，2y＝16， ∴2x+y＝2x•2y＝32×16＝512． 故选：A． 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 2．下面计算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a6 【答案】C 【解答】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意； a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意； （﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6，正确，故选项C符合题意； a3•a2＝a5，故选项D不合题意． 故选：C． 3．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【答案】D 【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511， ∴255＜344＜533， 即a＜b＜c． 故选：D． 4．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 【答案】A 【解答】解：∵2a＝5，4b＝7， ∴2a+2b＝2a•22b ＝2a•（22）b ＝2a•4b ＝5×7 ＝35， 故选：A． 5．计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】D 【解答】解：（﹣1）2021×（）2023 ＝（）2021×（）2021×（）2 ＝[（）×（）]2021×（）2 ＝（﹣1）2021×（）2 ＝﹣1 ， 故选：D． 6．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝　45　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：22x+y＝22x•2y＝（2x）2•2y＝32×5＝45， 故答案为：45． 三．同底数幂的除法（共2小题） 7．下列计算结果为a6的是（　　） A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2 【答案】B 【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、a2•a4＝a6，故B符合题意； C、（a4）2＝a8，故C不符合题意； D、a12÷a2＝a10，故D不符合题意； 故选：B． 8．已知xm＝6，xn＝4，则x2m﹣n＝　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵xm＝6，xn＝4， ∴x2m﹣n＝x2m÷xn ＝（xm）2÷xn ＝62÷4 ＝9． 故答案为：9． 四．多项式乘多项式（共5小题） 9．若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：（x﹣m）（x+1）＝x2+x﹣mx﹣m＝x2+（1﹣m）x﹣m． ∵运算结果中不含x的一次项， ∴1﹣m＝0， ∴m＝1， 故选C． 10．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x2﹣2） ＝x3﹣2x+x2﹣2， ∴所得结果的一次项系数是﹣2， 故选：A． 11．如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（　　） A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣6 【答案】C 【解答】解：（x﹣3）（x+2）＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6， ∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q， ∴﹣p＝﹣1，q＝﹣6， ∴p＝1． 故选：C． 12．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣2，则a+b等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：∵（x+2）（x+a）＝x2+2x+ax+2a＝x2+bx﹣2， ∴2+a＝b，2a＝﹣2， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴a+b＝﹣1+1＝0． 故选：B． 13．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：由题意得， （3a+b）（a+3b） ＝3a2+9ab+ab+3b2 ＝3a2+10ab+3b2， ∴需要C类卡片张数为10， 故答案为：10． 五．完全平方公式（共2小题） 14．若a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值是　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：∵a﹣b＝5，即a＝b+5， ∴a2﹣b2﹣10b+1＝（b+5）2﹣（b+5）2+25＝25． 故答案为：25． 15．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　5　 ； ②求（x+y）2的值； （2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∵xy＝﹣2， ∴x2+y2＝5； 故答案为：5． ②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1． （2）∵x+y＝7， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49， ∵x2+y2＝25， ∴xy＝12， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1． 六．完全平方公式的几何背景（共8小题） 16．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab12＝6． 故选：A． 17．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　 ； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　13　 ； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20，②13； （2）22． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝x，b＝5﹣x， ∴a+b＝5，ab＝6， ∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13， 故答案为：13． （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn， ∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴mn44＝22， ∴一块三角板的面积是22． 18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S330＝15． 19．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值． 解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2． 所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值； （3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1， 由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21， 即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21； （2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020， 由完全平方公式可得ab， 即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为； （3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10， 又由ab＝200， ∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900． 20．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9． 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝ 　15　 ； （2）若x﹣y＝7，xy＝18，求x2+y2的值； （3）两个正方形ABCD、CEFG如图摆放，面积和为60，BG＝10，则图中阴影部分面积为 　20　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64， ∵x2+y2＝34， ∴xy＝15， 故答案为：15； （2）∵x﹣y＝7， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝49， ∵xy＝18， ∴x2+y2＝85； （3）设正方形ABCD、CEFG的边长分别为x和y， 根据题意，得x+y＝10，x2+y2＝60． ∵S△ABDx2，S△BGFBG•FG（x+y）y， ∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF＝x2+y2x2（x+y）y（x2+y2）xy． ∵x+y＝10， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝100， ∵x2+y2＝60， ∴xy＝20， ∴S阴影6020＝20． 故答案为：20． 21．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积． 方法1：　（m﹣n）2　 ；方法2：　（m+n）2﹣4mn　 ； （2）由（1）可得三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn　 ； （3）若图1中每块小长方形的周长为16，面积为5，求图2阴影部分的面积． 【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （3）44． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积可用两种不同的方法来表示． 方法1：根据“边长的平方”，得（m﹣n）2； 方法2：根据“大正方形的面积﹣4个相同的长方形的面积”，得（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn． （2）∵（1）中两种方法表示的是同一个图形的面积， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． （3）根据题意，得2（m+n）＝16，即m+n＝8，mn＝5， ∴图2阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn＝64﹣20＝44． 22．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ； （2）解决问题：如果a+b＝8，ab＝10，求a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（10﹣x）和（x﹣3），且（10﹣x）2+（x﹣3）2＝19，求这个长方形的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）44；（3）15． 【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）∵a+b＝8，ab＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴a2+b2＝44． （3）设（10﹣x）＝m，（x﹣3）＝n，则该长方形的面积为mn， ∴m+n＝7，m2+n2＝19， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝49， ∴mn＝15， ∴这个长方形的面积为15． 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　 ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　 ． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）证明：（a+b+c）（a+b+c）， ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2， ＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ＝102﹣2（ab+ac+bc）， ＝100﹣2×35， ＝30． 故答案为：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab， ∵（5a+7b）（9a+4b）， ＝45a2+20ab+63ab+28b2， ＝45a2+28b2+83ab， ∴x＝45，y＝28，z＝83． ∴x+y+z＝45+28+83＝156． 故答案为：156． 七．平方差公式（共4小题） 24．下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【答案】C 【解答】解：A．没有相反项，故此选项不符合题意； B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意； C．原式＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意； D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意． 故选：C． 25．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1， ∴原式＝（a+b）（a﹣b） ＝3×1 ＝3． 故选：C． 26．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【解答】解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+（﹣2）＝1， 故选：C． 27．若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵x2+x﹣2＝0， ∴x2+x＝2， ∴（x+1）（x﹣1）+x ＝x2﹣1+x ＝x2+x﹣1 ＝2﹣1 ＝1． 故答案为：1． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 28．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6 【答案】C 【解答】解：依题意得，剩余部分为： （m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9， 而拼成的矩形一边长为3， ∴另一边长是（6m+9）÷3＝2m+3． 故选：C． 29．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】B 【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：B． 30．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【答案】B 【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2； 拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b）， 所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B． 九．二元一次方程的定义（共1小题） 31．如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（　　） A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1 【答案】C 【解答】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0且b+1≠0． 解得a≠2且b≠﹣1． 故选：C． 一十．解二元一次方程（共2小题） 32．已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含x的代数式表示y为（　　） A．y3 B．y3 C．y D．y 【答案】D 【解答】解：由4x﹣7y＝3，变形得：． 故选：D． 33．解二元一次方程组，其中a为常数，若满足m+n＞0（且n非正数），则以下满足条件的a值为（　　） A． B． C．﹣8 D． 【答案】D 【解答】解：， ①×2+②×7，得16（m+n）＝49a+56， 解得m+n， ∴0， 解得a， 由2n﹣7a＝6可得， n， ∵n是非正数， ∴0， 解得a， ∵， 且， 故选：D． 一十一．二元一次方程组的解（共3小题） 34．芳芳解方程组的解为由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙．则⊗与⊙表示的数分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设⊗表示的数是a，⊙表示的数是b． 根据题意，得，其解为， 将代入， 得， 解得， ∴⊗与⊙表示的数分别5和1． 故选：D． 35．对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣1；乙：无论a取何值，x+2y的值始终不变．则（　　） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 【答案】C 【解答】解：设， ①+②得：2x+2y＝2+2a． ∴x+y＝1+a． 当x，y的值互为相反数时，1+a＝0， ∴a＝﹣1． ∴甲判断正确． 又解方程组，得． ∴x+2y＝2a2（a） ＝2a1﹣2a ． ∴乙判断正确． 故选：C． 36．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】（1）；（2）x＝5；（3）． 【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4， ∴． ∴． （2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10， ∴ax+by+ax﹣by＝10． ∴2ax＝10． 又∵a＝1， ∴x＝5． （3）由题意，方程组可化为， ∴． 又∵x﹣y＝6， ∴4+3m﹣m+2＝6． ∴m＝0． （4）由题意，∵方程组可化为，而方程组可化为， 即， 又方程组的解为， ∴． ∴． ∴方程组的解为． 一十二．解二元一次方程组（共5小题） 37．已知，则a+b等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：， ，得a+b＝3． 故选：C． 38．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×3 【答案】C 【解答】解：利用加减消元法解方程组，要消元x，①×（﹣5）+②×2； 要消去y，可以将①×3+②×5， 故选：C． 39．小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①+②×a消去y，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【答案】D 【解答】解：， ②×5得：15x﹣5y＝35③， ①+③得：21x＝30， ∴利用①+②×a消去y，则a的值是5， 故选：D． 40．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1， 把代入中得：， 解得：a＝3， 由题意得：， 解得：， ∴a+b+c＝3+1+1＝5， 故选：C． 41．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得，试计算（a+b+c）2的值． 【答案】25． 【解答】解：由题意得：把代入②中得：6﹣c＝2， 解得：c＝4， 由题意得：把代入①中得：2a﹣b＝5③， 由题意得：把代入①中得：3a+b＝5④， ③+④得：5a＝10， 解得：a＝2， 把a＝2代入③中得；4﹣b＝5， 解得：b＝﹣1， ∴（a+b+c）2＝（2﹣1+4）2＝52＝25． 一十三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 42．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：每块墙砖的长为x cm，宽为y cm， 根据题意得：． 故选：D． 一十四．二元一次方程组的应用（共3小题） 43．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 44．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 解法二：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，则（35﹣m﹣n）按1个长方形铁片和2个正方形铁片截． 由题意2[3m+（35﹣m﹣n）]＝4[4n+2（35﹣m﹣n）]， 整理得6m﹣5n＝105，其中1m+n≤35且m，n是正整数， 解得或， 可以加工成铁盒的数量为， 当m＝20，n＝3时，18（个）， 当m＝25，n＝9时，19（个）． 答：25张铁板按3个长方形截，9张铁板按4个正方形截，1张铁板按1个长方形2个正方形截，最多可以加工成19个铁盒． 45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？ （3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】（1）甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）这批消毒液可使用5天． （3）分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小． 【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶， 依题意，得：10a+25b＝2500， ∴2a+5b＝500， ∴5． 答：这批消毒液可使用5天． （3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶， 依题意，得：200m+500n+10（m+n）＝8400， ∴m＝40n． ∵m，n均为正整数， ∴和． ∵要使分装时总损耗10（m+n）最小， ∴， 即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小． 一十五．不等式的性质（共1小题） 46．若m＞n，则下列各式中正确的是（　　） A．m+2＜n+2 B．m﹣3＜n﹣3 C．﹣5m＜﹣5n D． 【答案】C 【解答】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m﹣3＞n﹣3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘﹣5，不等号方向改变，即﹣5m＜﹣5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 一十六．不等式的解集（共3小题） 47．若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 【答案】D 【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3． 故选：D． 48．定义一种新运算：a@，下列说法： ①若x@2＝﹣3，则x1＝﹣5，x2＝﹣1； ②若|x﹣2|@2≥0，则该不等式的解集为x≤0或x≥4； ③代数式|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a的值为0或4． 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①由题意，x@2＝﹣3， 当x≥0时，x﹣2＝﹣3，则x＝﹣1，不符合题意，舍去． 当x＜0时，x+2＝﹣3，则x＝﹣5，符合题意． 综上，若x@2＝﹣3，则x＝﹣5，故①错误． ②|x﹣2|@2≥0，且|x﹣2|≥0， ∴|x﹣2|﹣2≥0． ∴|x﹣2|≥2． ∴x≤0或x≥4，故②正确． ③|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2| ＝|（﹣2）+x﹣1|+|（﹣1）+（﹣x）﹣2| ＝|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|， 又∵|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|表示为数轴上表示x的数与到数轴上表示3及﹣3的数的距离之和，且|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|的最小值为6， ∴|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|的最小值为6，故③正确． ④由题意，当a≥0时，原方程组可化为， 将代入①得a﹣2﹣（﹣1+2）＝1， ∴a＝4． 当a＜0时，原方程组可化为， 将代入①得a+2﹣（﹣1+2）＝1， ∴a＝0，不合题意． 综上，a＝4，故④错误． 故选：B． 49．一元一次不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是　m≤0　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：，由①得，x＞1，故原不等式组可化为， ∵原不等式组的解集为x＞1， ∴m+1≤1， 解得m≤0． 一十七．解一元一次不等式（共2小题） 50．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当a≥b时，a◎b＝2a+b；当a＜b时，a◎b＝a﹣b+3．例如：5◎（﹣3）＝2×5+（﹣3）＝7，（﹣8）◎（﹣4）＝﹣8﹣（﹣4）+3＝﹣1． （1）计算：3◎4＝　2　 ，（﹣1）◎（﹣5）＝　﹣7　 ； （2）若7◎（﹣2x+3）＝5，求x的值； （3）若（x+2）◎（3x﹣1）＞9，则x的取值范围是 　　 ． 【答案】（1）2；﹣7； （2）x的值为6； （3）． 【解答】解：（1）由题意得：3◎4 ＝3﹣4+3 ＝2； （﹣1）◎（﹣5） ＝2×（﹣1）+（﹣5） ＝﹣2+（﹣5） ＝﹣7； 故答案为：2；﹣7； （2）分两种情况： 当7≥（﹣2x+3），即x≥﹣2时， ∵7◎（﹣2x+3）＝5， ∴2×7+（﹣2x+3）＝5， 解得：x＝6； 当7＜（﹣2x+3），即x＜﹣2时， ∵7◎（﹣2x+3）＝5， ∴7﹣（﹣2x+3）+3＝5， 解得：x＝﹣1（不合题意，舍去）， 综上所述：x的值为6； （3）分两种情况： 当x+2≥3x﹣1时， 由题意得：， 解得：1.2＜x≤1.5； 当x+2＜3x﹣1时， 由题意得：， ∴此不等式组无解； 综上所述：x的取值范围：， 故答案为：． 51．定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b． 例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3． （1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝　﹣9　 ； （2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值； （3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围． 【答案】（1）﹣9；（2）x＝2.5；（3）m＞﹣1． 【解答】解：（1）由题意，∵﹣5＜﹣4， （﹣5）☆（﹣4）＝﹣5+（﹣4）＝﹣9． 故答案为：﹣9． （2）由题意，分两种情形． ①当3x﹣2≥2﹣x时，即x≥1， （3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2﹣（2﹣x）＝6． ∴x＝2.5＞1，符合题意． ②当3x﹣2＜2﹣x时，即x＜1， （3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2+（2﹣x）＝6． ∴x＝3＞1，不符合题意． 综上，x＝2.5． （3）由题意，分两种情形． ①当2m+1≥m﹣2时，即m≥﹣3， （2m+1）☆（m﹣2）＝（2m+1）﹣（m﹣2）＞2． ∴m＞﹣1． 故此时m＞﹣1． ②当2m+1＜m﹣2时，即m＜﹣3， （2m+1）☆（m﹣2）＝（2m+1）+（m﹣2）＞2． ∴m＞1． 故此时无解． 综上，m＞﹣1． 一十八．解一元一次不等式组（共2小题） 52．若关于x，y的方程组的解满足x为正数，y为负数，则k的取值范围（　　） A．k＞8 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4 D．﹣4＜k＜8 【答案】A 【解答】解：， 解得：， ∵x为正数，y为负数， ∴， 解得：k＞8， 故选：A． 53．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式x+5＞0的解集是x＞﹣5，它包含了方程2x﹣1＝﹣3的解，因此x＞﹣5是2x﹣1＝﹣3的“青一范围”． （1）判断：①3x﹣3＞0； ②3（x+2）＜6； ③，中哪个不等式的解集是方程2x﹣3＝1 的“青一范围”； （2）已知是方程2x+y＝5的解，不等式组的解集是方程2x+y＝5的“青一范围”，求x0﹣2y0的最小值； （3）若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求w＝s﹣4t+3的取值范围． 【答案】（1）①；（2）当x0＝3时，x0﹣2y0有最小值为5；（3）w≥﹣14． 【解答】解：（1）由题意，方程2x﹣3＝1的解为：x＝2， ∵①不等式3x﹣3＞0的解集为：x＞1，②不等式3（x+2）＜6的解集为：x＜0，③不等式的解集为：x＜1， ∴不等式①3x﹣3＞0的解集是方程2x﹣3＝1 的“青一范围”． （2）由题意，解不等式组的得：． ∵是方程2x+y＝5的解，不等式组的解集是方程2x+y＝5的“青一范围”， ∴， ∵2x0+y0＝5， ∴y0＝﹣2x0+5， ∴﹣2x0+5≤5， ∴x0≥0， ∴x0≥3， ∴x0﹣2y0＝x0﹣2（﹣2x0+5）＝5x0﹣10， ∴当x0＝3时，x0﹣2y0有最小值为5． （3）由题意，不等式组， ∴解不等式①，得：x≥t+s+1， 解不等式②，得：x． ∴不等式组的解集为t+s+1≤x． 又方程的解为x＝2s+t， ∴t+s+1≤2s+t． ∴s≥1，且t． ∴﹣4t≥﹣18． ∴s﹣4t≥﹣17． ∴w＝s﹣4t+3≥﹣14． 一十九．线段垂直平分线的性质（共2小题） 54．如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 【答案】D 【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，AD＝3， ∴BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6， ∵△ACE的周长为9.5 ∴AC+AE+EC＝9.5， ∴AC+BE+EC＝9.5， ∴AC+BC＝9.5， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝9.5+6＝15.5， 故选：D． 55．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 二十．命题与定理（共1小题） 56．下列命题是真命题的是（　　） A．若a＝b，则a2＝b2 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若ab＝0，则a＝0 D．若a2＝b2，则a＝b 【答案】A 【解答】解：A、若a＝b，则a2＝b2，是真命题，符合题意； B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a、b同时为0，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、若a2＝b2，则a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：A． 二十一．平移的性质（共1小题） 57．如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为　3　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形可知，对应点连接的线段是AD、BE和CF． ∵BC＝5cm，CE＝2cm， ∴平移的距离＝BE＝BC﹣EC＝3cm． 故答案为：3． 二十二．生活中的旋转现象（共1小题） 58．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 【答案】B 【解答】解：由题意得：360°÷5＝72°， ∴叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是72°， 故选：B． 二十三．旋转的性质（共1小题） 59．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE ∴AB＝AD，∠BAD＝110° 由三角形内角和 ∠B 故选：B． 二十四．中心对称图形（共1小题） 60．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知△ABC以及△ABC外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点A′，B′，C′，得到△A′B′C′．如图，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A′是对称点 B．BO＝BO C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，∠AOB＝∠A′OB， ∴A，B，C结论成立，D结论不成立． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$