八年级数学下学期期末测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：初二下全册（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A．B．C．D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象，随增大而减小，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．对若干名青少年进行最喜爱的运动项目的问卷调查，得到如图的统计图，根据图形可知最喜爱游泳的人数占的百分比是（   ） A． B． C． D． 6．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积 成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（   ）时，气体体积压缩了 A．加到 B．加到 C．加到 D．加到 7．若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 9．估计的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 10．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 11．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理、绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中，不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 12．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算： ． 14．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 15．某市为了解初中生近锐情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 16．如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为 ． 三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）先化简，再求值： 其中； （2）解方程： 18．如图，在四边形中，，点E在边上，__________．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)选__________（填序号），求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 19．月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． (1)___________，___________，补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为___________°； (3)若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 20．如图，在矩形中，点为对角线、的交点，过点作，且，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的面积为12，边长为5，连接，求的边上的高． 21．小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 21．在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 22．如图，四边形为正方形，且，P为上一点（点P不与O，C重合）． (1)如图1，点P在线段上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若，求的长． (2)如图2，点P在线段的延长线上，连接，过点P作的垂线，与的平分线交于点Q，试判断与的大小关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，连接，，请直接写出的周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：初二下全册（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，因此不是二次根式； B、是最简二次根式； C、，因此不是最简二次根式； D、，因此不是最简二次根式； 故选：B． 3．反比例函数的图象，随增大而减小，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得：． 故选：A． 4．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 5．对若干名青少年进行最喜爱的运动项目的问卷调查，得到如图的统计图，根据图形可知最喜爱游泳的人数占的百分比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图，熟知扇形统计图的基本知识是关键； 先求出最喜爱游泳的人数的扇形圆心角，再除以360度可得答案. 【详解】解：最喜爱游泳的人数的扇形圆心角； 所以最喜爱游泳的人数占的百分比是； 故选：C 6．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积 成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（   ）时，气体体积压缩了 A．加到 B．加到 C．加到 D．加到 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用；由函数图象可求出反比例函数的解析式，再分别计算出给定不同压强时的体积，即可确定气体体积的变化． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象知，反比例函数图象过点，则， ∴； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 当压强由加到时，体积由减少到， 则体积压缩了； 故选：B． 7．若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键． 先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解： ． 解得． ∵方程的解的取值范围为， ∴， ∴． ∵分母不能为，即， 把代入得， 解得． ∴的取值范围是且， 故选：C． 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 故选：D． 9．估计的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的值的估算，先计算，再进一步估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选C 10．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设善行者走里时就赶上了不善行者，当善行者开始出发到善行者追上不善行者时，不善行者所走的路程为里，当善行者走100里时，不善行者走了里，据此列出方程即可． 【详解】解：设善行者走里时就赶上了不善行者， 根据题意得， 故选：A． 11．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理、绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中，不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C．第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 【答案】C 【分析】本题考查的是折线统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据条形统计图和折线统计图分别判断即可． 【详解】解：A、测试的学生人数为：（名），故本结论正确； B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故本结论正确； C、由折线统计图可知，第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数少，故本结论错误； D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），故本结论正确； 故选：C． 12．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意结合反比例函数图像上点的坐标性质，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，      ∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选B． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的性质等知识，先根据二次根式的性质化简各二次根式，然后根据二次根式加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 15．某市为了解初中生近锐情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.4 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.4，所以该市初中生近视的概率为0.4； 故答案为:0.4． 16．如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点H，由正方形的性质得，，则，证明和全等，设，进而利用三角形内角和定理及外角性质证明，则是等腰三角形，继而得，则，再证明是等腰直角三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点F作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为7，点F是的对角线的点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴设， 在中，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）先化简，再求值： 其中； （2）解方程： 【答案】（1），；（2）无解 【分析】本题考查分式的化简求值问题，解分式方程等知识，掌握相关的解题方法和运算法则是解题的关键． （1）先化简分式，再代入求值即可； （2）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意检验． 【详解】解：（1） 原式 ． 当时，原式    （2） 去分母，得， 解得． 经检验，是原方程的增根， ∴ 原方程无解． 18．如图，在四边形中，，点E在边上，__________．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)选__________（填序号），求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)①或② (2)24 【分析】该题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：选择①，证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②，证明：∵， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ， ， ∴的面积． 19．月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． (1)___________，___________，补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为___________°； (3)若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】(1)，，补全频数分布直方图见详解图示 (2) (3) 【分析】（1）条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，由此即可求解； （2）扇形的圆心角等于该组所占比例乘以，由此即可求解； （3）先计算出达到分以上的人所占的比例，即可求解． 【详解】（1）解：条形图中，的有人，扇形图中所占比例是， ∴，即本次抽样的总量是人， ∴， ∴条形图中的有（人）， 条形图中的有人， ∴， ∴， 故答案为：，； 补全补全频数分布直方图如图所示， （2）解：“”的人数为人， ∴所占比例为， ∴所对圆心角的度数为， 故答案为：． （3）解：达到分以上的人数有（人）， ∴所占比例为， ∴全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数大约为（人）． 【点睛】本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键． 20．如图，在矩形中，点为对角线、的交点，过点作，且，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知菱形的面积为12，边长为5，连接，求的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，进而求得，再根据证得四边形是平行四边形，再根据即可得出结论； （2）根据题意易得，进而可知，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，        ∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的边上的高为， ， ，则的边上的高为． 21．小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 21．在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 22．如图，四边形为正方形，且，P为上一点（点P不与O，C重合）． (1)如图1，点P在线段上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若，求的长． (2)如图2，点P在线段的延长线上，连接，过点P作的垂线，与的平分线交于点Q，试判断与的大小关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，连接，，请直接写出的周长的最小值． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及正方形的性质， （1）过点Q作于点H，证明，进而根据勾股定理求出结论； （2）在延长线上取点D，使，在延长线上取点M，证明即可证明结论； （3）先确定Q点在的平分线上运动，作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点，则，根据勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 如图，过点Q作交的延长线于点H， 四边形为正方形，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在延长线上取点D，使，连接，在延长线上取点M， 四边形为正方形， ， ， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，连接，， 点为直线上的动点，即Q点在的平分线上运动， 作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点， ， 即当在同一直线上时的周长最小， 四边形为正方形，且， ，有， 在中，， ， 的周长的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$