专题03 分式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题03 分式 【考点1】分式有意义的条件★ 【考点2】分式值为0条件★ 【考点3】分式的求值★★ 【考点4】分式的基本性质运用★★ 【考点5】分式的混合运算★★ 【考点6】分式化简求值★★ 【考点7】解分式方程★★ 【考点8】已知分式方程的解求参数★★★ 【考点9】分式方程应用题★★★ 【考点10】零指数幂与负整数指数幂★ 【考点11】科学计数法★ 知识点1 ：分式的相关定义 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4. 知识点2 ：分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点3：分式运算 1.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 2.分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 3.分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 4.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 5.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 6.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点4：分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点5： 与分式方程的解有关问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 知识点6：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 知识点7：零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 【考点1】分式有意义的条件★ 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．，且 B．，且 C． D． 4．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【考点2】分式值为0条件★ 1．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．已知分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 3．分式的值为0，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【考点3】分式的求值★★ 1．若，则分式 ． 2．已知，则的值为 ． 3．已知，则 ． 4．若，则的值是 ． 5．若，则的值为 ． 6．已知，则 ． 7．若，则的值为 ． 【考点4】分式的基本性质运用★★ 1．下列各式中从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值为是（   ） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．不变 D．缩小为原来的 3．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，且，那么等于（   ） A． B． C．0 D．无意义 5．下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点5】分式的混合运算★★ 1．计算： (1)； (2)． 2．化简：． 3．化简：． 4．计算 (1)； (2)． 5．计算∶ 【考点6】分式化简求值★★ 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 3．先化简，再求值：，在0，1，2中选择一个适当的x的值代入求值． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 【考点7】解分式方程★★ 1．解下列分式方程： (1) (2) 2．解分式方程： (1)； (2)． 3．解方程：． 4．解方程： (1)； (2)． 【考点8】已知分式方程的解求参数★★★ 1．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 4．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【考点9】分式方程应用题★★★ 1．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 2．文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． (1)求、两种工具的单价各是多少元． (2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 3．某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 4．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． (1)问第二次购进了多少件文具？ (2)文具店老板第一次购进的文具有的损耗，第二次购进的文具有的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由． 5．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 6．随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入、两种智能机器人执行还书任务，型机器人比型机器人每小时多还书30本，型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等． (1)、两种机器人每小时分别还多少本书？ (2)图书馆现有900本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书2小时后，型机器人因另有任务而退出，求型机器人退出后，型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？ 一、单选题 1．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 3．将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 4．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 二、填空题 7．若分式的值为0，则x的值为 ． 8．已知，且，则的值为 ． 9．关于x的方程有增根，则m的值为 ． 10．定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 11．为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 13．解方程： (1)； (2)． 14．先化简：，再从、、、0、1中选一个合适的数作为的值代入求值．． 15．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 16．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式 【考点1】分式有意义的条件★ 【考点2】分式值为0条件★ 【考点3】分式的求值★★ 【考点4】分式的基本性质运用★★ 【考点5】分式的混合运算★★ 【考点6】分式化简求值★★ 【考点7】解分式方程★★ 【考点8】已知分式方程的解求参数★★★ 【考点9】分式方程应用题★★★ 【考点10】零指数幂与负整数指数幂★ 【考点11】科学计数法★ 知识点1 ：分式的相关定义 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4. 知识点2 ：分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 2.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点3：分式运算 1.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 2.分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 3.分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 4.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 5.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 6.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点4：分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点5： 与分式方程的解有关问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 知识点6：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 知识点7：零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 【考点1】分式有意义的条件★ 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，解题的关键是掌握分式的分母不能为零． 根据分式有意义的条件即可求出结果． 【详解】解：根据分式有意义的条件可得， 解得 故选：B． 2．使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．，且 B．，且 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分母不等于零，列出不等式，即可得出答案．根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：， 解得：． 故选：D． 4．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值是求法是解题的关键．根据分式无意义及分母为0即可求出的值，根据当时分式的值为0即可求出的值，根据分式的值为1即可求出的值，根据即可求出的值． 【详解】解：当时，分式无意义， ，即， ， 故A选项不符合题意； 此时分式为， 当时，分式的值为0， ， ， 故B选项不符合题意； 此时分式为， 当分式的值为1时，， 解得，即， 故C选项错误，符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【考点2】分式值为0条件★ 1．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 2．已知分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件值是解题关键．直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：． 故选：C． 3．分式的值为0，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵的值为0， ∴， 解得， 故选：D． 【考点3】分式的求值★★ 1．若，则分式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性．质是解决本题的关键．先由变形得，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 2．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先通分即可得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴． 故答案为：4． 3．已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式的加减法，约分．由已知得，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 4．若，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，由题意可得，再将所求式子变形，代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．由，可得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记异分母分式加减的运算性质（异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 7．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的化简求值，把已知条件进行整理是关键．把已知等式代入之后化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点4】分式的基本性质运用★★ 1．下列各式中从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 无法约分，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 2．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值为是（   ） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故分式的值为是缩小为原来的， 故选：D． 3．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 4．如果，且，那么等于（   ） A． B． C．0 D．无意义 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，根据a、b的比例关系式，用未知数表示出a、b的值，然后根据分式的基本性质把a、b的值代入化简即可． 【详解】解： ，且， 设，，其中， ， 故选B． 5．下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的运算，根据分式的基本性质和分式的运算逐一即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的基本性质和掌握分式运算法则． 【详解】解：、，原选项成立，不符合题意； 、，原选项成立，不符合题意； 、，原选项不成立，符合题意； 、，原选项成立，不符合题意； 故选：． 【考点5】分式的混合运算★★ 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式的加法法则计算即可； （2）先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：      . 2．化简：． 【答案】 【分析】该题主要考查了分式的混合运算，先计算括号，再计算除法． 【详解】解：原式 ． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算分式的除法，再计算减法运算即可． 【详解】解： ． 4．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）先把除法变为乘法，并且因式分解，然后即可求解； （2）先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 5．计算∶ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先将除法变为乘法，同时分解因式，再约分，然后计算分式的加减． 【详解】解： ． 【考点6】分式化简求值★★ 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值问题，首先化简然后把的值代入化简后的算式计算即可，熟练掌握分式的化简的方法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式=． 2．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ，且， 且， 故当时， 上式． 3．先化简，再求值：，在0，1，2中选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定的值，继而代入计算即可得出答案． 【详解】解原式 ， 且， ， 则原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的化简求值，先计算括号内的分式加法，再计算除法即可得到化简结果，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式． 【考点7】解分式方程★★ 1．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 2．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)（增根），原方程无解 (2) 【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验． （1）先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可， （2）方程两边同乘，得整式方程再解出即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 3．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解分式方程并检验即可． 【详解】解：方程两边乘，得． 解得：． 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即分式方程的解为； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即分式方程的解为 【考点8】已知分式方程的解求参数★★★ 1．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 2．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非负数，得到，且， 解得：且． 故选：． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行∶①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，解出x，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： 解得： 关于的分式方程有增根， ，即． 把代入中得：． 故答案为：3 4．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【考点9】分式方程应用题★★★ 1．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)人工每人每小时分拣60件 (2)至少需要安排5台这样的分拣机 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键： （1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排y台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵y为正整数， ∴y的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 2．文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． (1)求、两种工具的单价各是多少元． (2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)种工具的单价是元，则种工具的单价是元 (2)最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键． （1）设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意， 则种工具的单价是：元， 答：种工具的单价是元，则种工具的单价是元 （2）解：设够买种工具件，则购买种工具件，根据题意得， 解得：， 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小, ∴时，取的最小值，此时元， 购进种工具件， 答：最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． 3．某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； (2)至少可购买A种菜苗25捆． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解决此题的关键是要读懂题意，找出等量关系，列出方程即可； 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； （2）解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆， 由题意得：， 解得：， ∴至少可购买A种菜苗25捆， 答：至少可购买A种菜苗25捆． 4．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． (1)问第二次购进了多少件文具？ (2)文具店老板第一次购进的文具有的损耗，第二次购进的文具有的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由． 【答案】(1)第二次购进200件文具 (2)盈利805元，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）方法一：设第一次购进x件文具，根据第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元，列分式方程求解；方法二：设第一次购进文具的进价为x元，根据第二次购进文具是第一次购进数量的2倍，列分式方程求解； （2）先计算除去损耗后，可以卖的文具件数，再求出两次销售的总金额减去总成本得到的利润，最后结果为正数，即可得出结论． 【详解】（1）解：方法一：设第一次购进x件文具，得 ， 解得 经检验，是原方程的解 ， 答：第二次购进200件文具； 方法二：设第一次购进文具的进价为x元，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：第二次购进200件文具； （2）解：盈利805元，理由如下： 件，件， （元）． ∵， ∴文具店老板在这两笔生意中盈利了805元． 5．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元 (2)停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解． 【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． （2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个． 根据题意，得， 解得． 为整数， ，15或16． 该停车场有3种购买方案． 方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个； 方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个； 方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个． 型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）． 6．随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入、两种智能机器人执行还书任务，型机器人比型机器人每小时多还书30本，型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等． (1)、两种机器人每小时分别还多少本书？ (2)图书馆现有900本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书2小时后，型机器人因另有任务而退出，求型机器人退出后，型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？ 【答案】(1)型机器人每小时还书150本，型机器人每小时还书120本 (2)3小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设型机器人每小时还书本，则型机器人每小时还书本．根据“型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等”列分式方程，解方程即可； （2）设型机器人还需还书小时，根据“、共同还书2小时，单独还书小时，共还900本”列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时还书本，则型机器人每小时还书本． 根据题意得， 解得， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， 型机器人每小时还书150本，型机器人每小时还书120本． （2）解：设型机器人还需还书小时， 由题意得：， 解得：， 经检验符合题意． 型机器人还需还书3小时． 一、单选题 1．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，掌握以上知识是解题的关键； 根据最简分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，．先分子相加，再将分子提公因式后约分，即可得到答案． 【详解】 ． 故选：D． 3．将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 4．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 5．下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分化简，分式的基本性质的应用，根据分式的约分化简以及分式的基本性质，对照选项逐一验证即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式方程的解为正数包含两个含义，（1）所得整式方程的解不是增根，即使分式分母不为0，（2）解为正数． 先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为正数，得到，且， 解得：且， 故选：B． 二、填空题 7．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， 解得 ∴x的值为 故答案为： 8．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对已知式子进行变形是关键． 首先对已知的式子进行变形，得到之间的关系，然后代入所求的式子进行化简即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 9．关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 根据分式方程有增根，确定出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2． 10．定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 11．为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系：计划天数实际天数，列方程． 【详解】解：根据题意，实际天数为天，于是 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键． 三、解答题 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算； （1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母得． 去括号得， ． 检验：当时，． 是原方程的解． （2）解：， 去分母得， 去括号得， ． 检验：当时，． 是增根． 原方程无解． 14．先化简：，再从、、、0、1中选一个合适的数作为的值代入求值．． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，，0，1时，原式没有意义，舍去， 当时，原式． 15．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】80吨 【分析】本题考查的是解分式方程的应用，解题的关键是找准等量关键正确列出方程． 设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 方程两边同乘， 得， 解得， 经检验，是分式方程的解； 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 16．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$