第12讲 函数的概念和图象（3个知识点+8大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第12讲 函数的概念和图象 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【典例1-1】下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-3】给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：同一函数的判断 【典例2-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高一·天津滨海新·期中）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各组中的两个函数为相等函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·广西钦州·期中）下列各函数中，表示相等函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与(且) 【变式2-3】下列各组函数表示相等函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三：给出解析式求函数的定义域 【典例3-1】函数的定义域为 ． 【典例3-2】函数的定义域为 ． 【变式3-1】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，则函数的定义域为 . 【变式3-2】（2025·高一·云南昭通·期中）函数的定义域为 . 【变式3-3】（2025·高一·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 题型四：抽象函数求定义域 【典例4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域是 【典例4-2】（2025·高一·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 【变式4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【变式4-2】（2025·高一·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式4-3】（2025·高一·安徽黄山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 题型五：给出函数定义域求参数范围 【典例5-1】已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【典例5-2】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【变式5-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【变式5-2】已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【变式5-3】已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 题型六：函数的图象 【典例6-1】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高一·天津静海·期中）如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（2025·高一·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·广东东莞·期中）下列图形中，不可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 题型七：给出自变量求函数值 【典例7-1】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【典例7-2】（2025·高一·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【变式7-1】（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 【变式7-2】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 【变式7-3】已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 题型八：求函数的值域 【典例8-1】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【典例8-2】求下列函数的值域． (1)； (2)； 【变式8-1】（2025·高一·上海·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式8-2】（2025·高一·河北张家口·期中）求下列函数的值域 (1) (2) 【变式8-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 1．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 5．（2025·高一·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·浙江杭州·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 8．（2025·高一·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 9．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 10．（多选题）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（多选题）（2025·高一·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 12．已知函数，且，则实数 ． 13．（2025·高一·北京·开学考试）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则 . 14．对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 . 15．（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 16．（2025·高一·海南海口·期中）已知函数. (1)恒成立，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值并解关于的不等式的解集. 17．已知集合，函数的定义域为. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（2025·高一·上海松江·期中）已知函数，其中． (1)若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数的概念和图象 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【典例1-1】下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在选项A中，，在实数范围内定义域不存在，不能表示函数，A错误；在选项B中，当时，或，不符合对应法则中“一对一”或“多对一”，B错误；在选项D中，一个值对应2个值，也不符合函数三要素的对应法则，D错误． 【典例1-2】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 【变式1-1】若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个， 故选：D. 【变式1-2】下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解析】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 【变式1-3】给定集合，，则下列不能表示从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故A能表示从集合到集合的函数； 对于B，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故B能表示从集合到集合的函数； 对于C，，，， 且对集合中每一个元素，在集合中有唯一确定的元素与其对应， 故C能表示从集合到集合的函数； 对于D，当时，无意义， 所以D不能表示从集合到集合的函数. 故选：D. 题型二：同一函数的判断 【典例2-1】（2025·高一·四川绵阳·期末）下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为R， 对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误； 对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确； 对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误； 对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误. 故选：B. 【典例2-2】（2025·高一·天津滨海新·期中）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数定义域是，而定义域是，A不是； 对于B，函数定义域是，而定义域是，B不是； 对于C，函数定义域是，定义域是，，即对应法则也相同，C是； 对于D，函数定义域是，定义域是，而对应法则不同，D不是. 故选：C 【变式2-1】下列各组中的两个函数为相等函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中，的定义域是，的定义域为，它们的定义域不相同，不是相等函数； B中，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相等函数； C中，与的对应关系不同，不是相等函数； D中，与定义域与对应关系都相同，因此它们是相等函数． 故选：D. 【变式2-2】（2025·高一·广西钦州·期中）下列各函数中，表示相等函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与(且) 【答案】D 【解析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果.A项：函数定义域为，函数定义域为，A错误； B项：函数定义域为，函数定义域为，B错误； C项：函数值域为，函数值域为，C错误； D项：函数与函数(且)定义域相同，对应关系相同，D正确. 故选：D 【变式2-3】下列各组函数表示相等函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数. 对于B，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数. 对于C，的定义域为，的定义域是，故不是相等函数. 对于D，，与的定义域和对应关系都相同，故是相等函数. 故选：D 题型三：给出解析式求函数的定义域 【典例3-1】函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】 故定义域为， 故答案为： 【典例3-2】函数的定义域为 ． 【答案】且 【解析】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 【变式3-1】（2025·高一·重庆·期中）已知函数，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-2】（2025·高一·云南昭通·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】根据题意有， 故答案为：. 【变式3-3】（2025·高一·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型四：抽象函数求定义域 【典例4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【解析】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 【典例4-2】（2025·高一·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 【变式4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意知. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·安徽黄山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以，解得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 题型五：给出函数定义域求参数范围 【典例5-1】已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】 【解析】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 【典例5-2】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式5-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 【答案】 3 【解析】由题意得不等式的解集为， ∴和是关于的方程的两个实根，且， 于是有解得 ∴实数的值为，实数的值为3. 故答案为：；3. 题型六：函数的图象 【典例6-1】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 【典例6-2】（2025·高一·天津静海·期中）如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项B，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项B，C和D错误， 由选项A的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：A. 【变式6-1】（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合. 故选：D 【变式6-2】（2025·高一·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【变式6-3】（2025·高一·广东东莞·期中）下列图形中，不可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】ABD三个选项的图象，对定义域内的每一个值，根据图象都是只有唯一的值与之对应，可作函数图象，而选项C中图象一个对应着两个值，不能作为函数图象， 故选：C． 题型七：给出自变量求函数值 【典例7-1】（2025·高一·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【解析】（1），，，； （2）猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 【典例7-2】（2025·高一·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【解析】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 【变式7-1】（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 【解析】（1）令，则①， 令，则②， 联立①②，解得； （2）令，则，解得， 令，则，解得． 【变式7-2】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 【解析】（1）对于可得，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）易知， （3）易知， 所以 【变式7-3】已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 【解析】（1）函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. （2）. （3）当时，，所以，. 题型八：求函数的值域 【典例8-1】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 【典例8-2】求下列函数的值域． (1)； (2)； 【解析】（1）由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且. 【变式8-1】（2025·高一·上海·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 【变式8-2】（2025·高一·河北张家口·期中）求下列函数的值域 (1) (2) 【解析】（1），因为， 所以函数的值域是； （2）设，， 所以 ， 当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是. 【变式8-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； （2），由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 1．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 3．（2025·高一·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或2； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或1， 综上，得的值域为 故选：C. 4．（2025·高一·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【解析】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 5．（2025·高一·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 6．（2025·高一·浙江杭州·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则有，由于，则，故； 令，则有，将已知条件代入，得到，因此； 令，则有； 令，则有； 令，则有. 因此，. 故选：B. 7．（2025·高一·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 8．（2025·高一·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 【答案】D 【解析】由可得： ， ， ， ， ， 累加可得：， 又， 得：， 相加可得：， 所以， 故选：D 9．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 【答案】AC 【解析】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数的定义域为，值域为；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数，当或时，． 10．（多选题）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 11．（多选题）（2025·高一·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 【答案】AC 【解析】由题意可得， 所以对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为， 所以对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数的最大值为，最小值为. 故选：AC 12．已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【解析】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 13．（2025·高一·北京·开学考试）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则 . 【答案】1或4 【解析】由图象可知当时，可得或. 故答案为：1或4. 14．对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，解得，所以的邻域为， 要使该邻域中恰有两个整数，需要区间长度满足，由此解得， 所以这两个整数只能为1和2，或者2和3， 当这两个整数为1和2时，解得； 当这两个整数为2和3时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 15．（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 【解析】（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为． （2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． ②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． 16．（2025·高一·海南海口·期中）已知函数. (1)恒成立，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值并解关于的不等式的解集. 【解析】（1）∵对恒成立， ∴当时，对不恒成立，不合题意； ∴当时，，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）因为函数，所以不等式，即为， 由题意可知：，且的根为， 可得，解得，． 关于的不等式， 即，可得． 当时，不等式即，它的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17．已知集合，函数的定义域为. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则或， 且， 则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件， 则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，或，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 18．（2025·高一·上海松江·期中）已知函数，其中． (1)若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意知，对任意的，恒成立， 即恒成立， ①当时，符合题意， ②当时，则， 则实数的取值范围． （2）由，可得， 即， 当时，则有，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，方程的两根分别为， 当时，即，解原不等式得或； 当时，即，原不等式即为，解得； 当时，即，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）， ①当时，分子分母都是二次三项式，若满足题意，则对应的图象都是开口向上的抛物线， 若分子分母对应的方程是同解方程，则方程无解，则舍去， 若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数， 函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于， 即，解得； ②当时，，不符合题意舍去. 则实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$