专题04 一次函数【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题04 一次函数 一．常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 注意： ①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变． ②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如不是变量，而是常量． ③变量、常量与字母的指数没有关系，如中，不能说是变量． 二．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 注意： ①有两个变量． ②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． ③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应；对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 三．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面： 1．不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法： 类型 特点 举例 自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分式型 等式右边是关于自变量的分式 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子 使根号下的式子大于或等于0的实数 零次幂 等式右边是关于自变量的零次幂 使底数不为0的实数 2．当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四．函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当，时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 注意： ①要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是对具体数值而言． ②一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明是自变量为多少时的函数值． ③求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． ④当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以有多个． ⑤当函数与实际问题相联系时，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义． 五．函数的图象及其画法 1．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 注意： ①函数图象上的任意点中的x，y满足函数关系式． ②满足函数关系式的任意一对的值，所对应的点一定在函数的图象上． ③利用函数图象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． ④在求方程的解、不等式的解集的问题中，还有解决一些实际问题的时候，为了使问题更简单，通常用图象来辅助解决问题，这就体现了另一种数学思想——数形结合思想． 2．画函数图象的一般步骤： （1）列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值． （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为点的横坐标，相应的函数值为点的纵坐标，描出表格中数值对应的各点． （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的线连接起来． 六．函数的表示方法 函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法． 函数的三种表示方法及优缺点： 表示方法 定义 优点 缺点 解析式法 用含自变量x的式子表示函数y的方法 简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来 列表法 把一系列自变量值x与对应的函数值y列成一个表格来表示函数关系的方法 一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值 自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系 图象法 用图象来表示函数关系的方法 能直观形象地表达函数关系 观察图象只能得到近似的数量关系 注意： ①函数的三种表示方法可以互相转化． ②并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来． 七．正比例函数的定义 一般地，形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 八．正比例函数的图象和性质 1．正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线． 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线 过原点，从左向右是下降的直线 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 注意： ①正比例函数也可以说成y与x成正比． ②正比例函数的性质也可以逆用． ③正比例函数中，越大，直线越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；越小，直线越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 2．正比例函数图象的简单画法： （1）列表： x 0 1 y 0 k （2）描点：在坐标系内描出点，． （3）连线：过点，连成一条直线，有时为了描点更方便、更准确，取纵、横坐标都是整数的两点． 九．一次函数的定义 一般地，形如（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数． 当时，即，所以正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关系如图： 十．一次函数的图象及性质 一次函数（k，b是常数，）的图象是一条直线，我们称它是直线．它是过点且和直线平行的一条直线． 图象 经过的象限 过第一、二、三象限 过第一、三、四象限 过第一、二、四象限 过第二、三、四象限 图象形状 从左向右是上升 从左向右是下降 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 十一．一次函数图象的平移 一次函数的图象是过点且和直线重合或平行的一条直线． 直线可以看做由直线向上（下）平移个单位长度得到（当时，向上平移；当时，向下平移） （1）当直线与平行时，则有且，反之亦成立． （2）当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为． （3）当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线表示为． （4）x轴、y轴分别表示为直线、直线． 十二．用待定系数法确定一次函数解析式 1．求一次函数的解析式，关键是求出k，b的值．一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 2．运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设出一次函数的解析式． （2）根据条件列出关于k，b的二元一次方程组． （3）解方程组，求出k，b的值，从而求出一次函数的解析式． 十三．一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时，求自变量x的值． 十四．一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． 十五．一次函数与二元一次方程（组）的关系 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为（k，b是常数，）的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应一条直线，这条直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的解．因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值；从“形”的角度看，两条直线交点的坐标就是相应方程组的解． 十六．运用一次函数选择最佳方案 用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案． 【专题过关】 一．函数的相关概念（共5小题） 1．李老师到求实附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．下面说法错误的是（   ） A．在圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，常量是v，变量是S、t C．在正方形周长公式中，常量是4，变量是C、a D．表达式中y是x的函数 5．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 二．函数解析式（共4小题） 6．为了抗击甲流，遏止疫情传播，小明决定购买某种单价为0.5元的口罩，购买x个这种口罩的总价为y元，则y与x之间的关系式为 ． 7．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数之间的关系式为 ． 8．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1800N和0.3m，动力为，动力臂为．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ． 9．如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 三．求自变量取值范围（共4小题） 10．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 11．函数中的自变量x的取值范围是 ． 12．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 四．求自变量的值或函数值（共3小题） 14．已知，则当时， ． 15．在中，若，则 ． 16．按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ． 五．用表格表示变量之间的关系（共3小题） 17．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 18．某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 19．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 六．用解析式表示变量之间的关系（共4小题） 20．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分周长是y厘米，则y与x之间的函数关系式为 ． 21．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则y与x的关系式为 ． 22．等腰三角形的周长为30cm，它的腰长为ycm与底长xcm的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 23．一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止，写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 七．用图象表示变量之间的关系（共4小题） 24．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ． 25．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 26．如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；②小乐用了20分钟到家；③小乐前10分钟走了路程的一半；④小乐后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有 （填序号）． 27．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 八．正比例函数定义（共3小题） 28．若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 29．若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 30．若函数是正比例函数，则 ． 九．正比例函数图象及性质（共5小题） 31．在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 32．已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 33．已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 35．如果正比例函数的图象经过，那么k的值为 ． 十．一次函数定义（共3小题） 36．若是一次函数，则m的值是 ． 37．下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是 （填序号）． 38．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数有 ，正比例函数有 ．（请填写序号） 十一．一次函数图象及性质（共6小题） 39．一次函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 40．已知一次函数的函数值y随x的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 41．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 42．两个一次函数，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 43．对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．y随x的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 44．将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 十二．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 45．已知点在一次函数的图象上，则 ． 46．一次函数的图象经过点，且与直线平行，则这个一次函数的解析式是 ． 47．已知一次函数的图象经过点，且与y轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为 ． 48．写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 十三．一次函数相关规律探究（共2小题） 49．如图，已知直线，直线，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 50．如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 十四．一次函数与方程、不等式（共4小题） 51．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C． D．或 52．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 53．如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 54．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 十五．一次函数与实际问题（共5小题） 55．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，各国普遍采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年杨树每年大约吸收二氧化碳172千克，1棵成年冷杉树每年大约吸收二氧化碳110千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）因为杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 56．某农户欲购买“白银2号”种子，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格会打折出售．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示： （1）根据图象，购买种子不超过10kg时，每千克种子的价格为______元，写出此时y关于x的函数关系式：______（不写出自变量的取值范围）； （2）当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少kg种子？ 57．某服装商店开辟专柜购进A，B两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 （1）第一次用10000元购进两款围巾共180条，求A，B两款各购进多少条． （2）第二次根据销售情况，A款进货量不超过B款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 58．甲车从A地匀速驶向相距360km的B地，乙车比甲车晚出发20min从B地驶往A地，途中在C地休息了20min，然后比之前提高了45km/h的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40min乙车才到达A地．甲、乙两车距B地的路程与甲车出发的时间之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和a的值； （2）求乙车从C地到A地的路程与甲车出发的时间之间的函数解析式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距55km． 59．五一期间，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大游客带来一场视觉盛宴．其中，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面10米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升．到第4秒时，乙无人机到达距离地面34米的位置，停止上升，开始进行表演．甲无人机则持续匀速上升，到第20秒时，甲无人机到达距离地面100米的位置，停止上升，开始进行表演．在甲无人机上升过程中，两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，结合图象解答下列问题： （1）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）在甲无人机上升过程中，它飞行到多少秒时，两架无人机之间的竖直高度差为12米？ 十六．一次函数与几何综合（共3小题） 60．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B在第一象限内直线l：上一点．是以点B为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点A的坐标； （2）若点，且的面积等于的面积，请直接写出b的值． 61．如图1，在矩形中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，，． （1）请直接写出点C的坐标； （2）如图2，平分交于点F，求的面积； （3）如图3，动点P在第一象限，且点P在直线上，点D在线段上，是否存在以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 一．常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 注意： ①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变． ②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如不是变量，而是常量． ③变量、常量与字母的指数没有关系，如中，不能说是变量． 二．函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 注意： ①有两个变量． ②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． ③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应；对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 三．自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面： 1．不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法： 类型 特点 举例 自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分式型 等式右边是关于自变量的分式 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子 使根号下的式子大于或等于0的实数 零次幂 等式右边是关于自变量的零次幂 使底数不为0的实数 2．当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四．函数值 对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当，时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 注意： ①要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是对具体数值而言． ②一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明是自变量为多少时的函数值． ③求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． ④当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以有多个． ⑤当函数与实际问题相联系时，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义． 五．函数的图象及其画法 1．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 注意： ①函数图象上的任意点中的x，y满足函数关系式． ②满足函数关系式的任意一对的值，所对应的点一定在函数的图象上． ③利用函数图象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． ④在求方程的解、不等式的解集的问题中，还有解决一些实际问题的时候，为了使问题更简单，通常用图象来辅助解决问题，这就体现了另一种数学思想——数形结合思想． 2．画函数图象的一般步骤： （1）列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值． （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为点的横坐标，相应的函数值为点的纵坐标，描出表格中数值对应的各点． （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的线连接起来． 六．函数的表示方法 函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法． 函数的三种表示方法及优缺点： 表示方法 定义 优点 缺点 解析式法 用含自变量x的式子表示函数y的方法 简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来 列表法 把一系列自变量值x与对应的函数值y列成一个表格来表示函数关系的方法 一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值 自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系 图象法 用图象来表示函数关系的方法 能直观形象地表达函数关系 观察图象只能得到近似的数量关系 注意： ①函数的三种表示方法可以互相转化． ②并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来． 七．正比例函数的定义 一般地，形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 八．正比例函数的图象和性质 1．正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线． 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线 过原点，从左向右是下降的直线 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 注意： ①正比例函数也可以说成y与x成正比． ②正比例函数的性质也可以逆用． ③正比例函数中，越大，直线越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；越小，直线越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 2．正比例函数图象的简单画法： （1）列表： x 0 1 y 0 k （2）描点：在坐标系内描出点，． （3）连线：过点，连成一条直线，有时为了描点更方便、更准确，取纵、横坐标都是整数的两点． 九．一次函数的定义 一般地，形如（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数． 当时，即，所以正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关系如图： 十．一次函数的图象及性质 一次函数（k，b是常数，）的图象是一条直线，我们称它是直线．它是过点且和直线平行的一条直线． 图象 经过的象限 过第一、二、三象限 过第一、三、四象限 过第一、二、四象限 过第二、三、四象限 图象形状 从左向右是上升 从左向右是下降 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 十一．一次函数图象的平移 一次函数的图象是过点且和直线重合或平行的一条直线． 直线可以看做由直线向上（下）平移个单位长度得到（当时，向上平移；当时，向下平移） （1）当直线与平行时，则有且，反之亦成立． （2）当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为． （3）当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线表示为． （4）x轴、y轴分别表示为直线、直线． 十二．用待定系数法确定一次函数解析式 1．求一次函数的解析式，关键是求出k，b的值．一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 2．运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设出一次函数的解析式． （2）根据条件列出关于k，b的二元一次方程组． （3）解方程组，求出k，b的值，从而求出一次函数的解析式． 十三．一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时，求自变量x的值． 十四．一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． 十五．一次函数与二元一次方程（组）的关系 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为（k，b是常数，）的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应一条直线，这条直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的解．因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值；从“形”的角度看，两条直线交点的坐标就是相应方程组的解． 十六．运用一次函数选择最佳方案 用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案． 【专题过关】 一．函数的相关概念（共5小题） 1．李老师到求实附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C． 【解析】解：由题意得，金额随着加油量的变化而变化，而单价不变，故金额和加油量都是变量，单价为常量， 故选：C． 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A．存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B．存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C．存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意． D．对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意． 故选：D． 3．下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A． 【解析】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 4．下面说法错误的是（   ） A．在圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，常量是v，变量是S、t C．在正方形周长公式中，常量是4，变量是C、a D．表达式中y是x的函数 【答案】D． 【解析】解：A．在圆的面积公式中，S是r的函数，原说法正确，不符合题意； B．在匀速运动公式中，常量是v，变量是S、t，原说法正确，不符合题意； C．在正方形周长公式中，常量是4，变量是C、a，原说法正确，不符合题意； D．表达式中y不是x的函数，原说法错误，符合题意； 故选：D． 5．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 【答案】①③④． 【解析】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，，对于每一个确定的x的值并不是都有唯一确定的y值与之对应，故y不是x的函数； 故答案为：①③④． 二．函数解析式（共4小题） 6．为了抗击甲流，遏止疫情传播，小明决定购买某种单价为0.5元的口罩，购买x个这种口罩的总价为y元，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】． 【解析】解：根据题意，可得y与x之间的关系式为． 故答案为：． 7．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按0.5元收费，以后每天按0.7元收费（不足一天按一天计算）．则租金y（元）和租赁天数之间的关系式为 ． 【答案】． 【解析】解：由题意得：， 故答案为：． 8．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1800N和0.3m，动力为，动力臂为．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则y与x的关系可表示为 ． 【答案】． 【解析】解：由题意得 ， ∴， 故答案为：． 三．求自变量取值范围（共4小题） 10．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】解：根据题意，可得， 解得． 故答案为：． 11．函数中的自变量x的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】解：∵要使有意义， ∴，解得：， 故答案为：． 12．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且． 【解析】解；∵有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且． 【解析】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量x的取值范围是且． 故答案为：且． 四．求自变量的值或函数值（共3小题） 14．已知，则当时， ． 【答案】． 【解析】解：当时，， 故答案为：． 15．在中，若，则 ． 【答案】8． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：8． 16．按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴当输入时，， 故答案为：． 五．用表格表示变量之间的关系（共3小题） 17．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水 分钟后，水池中的水放完． 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 【答案】25． 【解析】解：由表中数据可知：每分钟放水， 而蓄水池有水， ∴放水分钟后，水池中的水放完， 故答案为：25． 18．某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【答案】． 【解析】解：由表格数据，得，，，， ∴这批毛绒玩具共360件， ∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故答案为：． 19．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 【答案】①③④． 【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，正确 故答案为：①③④． 六．用解析式表示变量之间的关系（共4小题） 20．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分周长是y厘米，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】． 【解析】解：由题意得，， 故答案为：． 21．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则y与x的关系式为 ． 【答案】． 【解析】解：∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的1.5倍，设蛋白质为， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，设脂肪的含量为， ∴， ∴， 故答案为：． 22．等腰三角形的周长为30cm，它的腰长为ycm与底长xcm的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】；． 【解析】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 23．一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止，写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ． 【答案】． 【解析】解：由题意，得， ∵水池的容积是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 七．用图象表示变量之间的关系（共4小题） 24．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】30． 【解析】当时，， 当时，， 所以． 故答案为：30． 25．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64． 【解析】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距1.6km，两人出发0.2小时相遇， ∴， ∴， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ∴， ∴， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64． 26．如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；②小乐用了20分钟到家；③小乐前10分钟走了路程的一半；④小乐后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②． 【解析】解：①由图象的纵坐标可以看出，学校离小乐家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出，小乐用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵坐标可以看出，小乐前10分钟走的路程较多，故③错误；    ④由图象的纵坐标可以看出，小乐后10分钟比前10分钟走得慢，故④错误； 故填：①②． 27．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④． 【解析】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差6个； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 八．正比例函数定义（共3小题） 28．若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 【答案】． 【解析】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 29．若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 【答案】0． 【解析】解：∵y关于x的函数是正比例函数， ∴， 故答案为：0． 30．若函数是正比例函数，则 ． 【答案】2． 【解析】解：∵函数是正比例函数， ∴，且， ∴． 故答案为：2． 九．正比例函数图象及性质（共5小题） 31．在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 32．已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵点、在正比例函数的图象上，且， ∴． 故选：B． 33．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 34．关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 【答案】A． 【解析】解：A．在中，当时，，则点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意； B．在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C．在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D．在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 35．如果正比例函数的图象经过，那么k的值为 ． 【答案】． 【解析】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 十．一次函数定义（共3小题） 36．若是一次函数，则m的值是 ． 【答案】3． 【解析】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：3． 37．下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是 （填序号）． 【答案】②④⑤⑥． 【解析】根据一次函数的解析式：（，k、b为常数）可知符合条件的是②、④、⑤、⑥． 故答案为②④⑤⑥． 38．下列函数：①；②；③；④，其中一次函数有 ，正比例函数有 ．（请填写序号） 【答案】①④，①． 【解析】解：①是正比例函数，是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； 因此，一次函数有：①④，正比例函数有①． 故答案为：①④，①． 十一．一次函数图象及性质（共6小题） 39．一次函数的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴一次函数的图像经过第一，三象限． ∵， ∴一次函数的图像经过第一，二，三象限， 所以一定不经过第四象限． 故选：D． 40．已知一次函数的函数值y随x的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵已知一次函数的函数值y随x的减小而增大， ∴， 且当时，， 一次函数与y轴交于正半轴， 故选：C． 41．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：当时，一次函数的图像经过第一，二，三象限，正比例函数经过第二，四象限； 当时，一次函数的图像经过第二，三，四象限，正比例函数经过第一，三象限， 所以C符合题意． 故选：C． 42．两个一次函数，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 43．对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．y随x的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【答案】D． 【解析】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 故选：D． 44．将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，即， 因为平移后的图象不经过第二象限， 所以， 解得， 故答案为：． 十二．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 45．已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】1． 【解析】解：∵点在一次函数的图象上， ∴ 解得： 故答案为：． 46．一次函数的图像经过点，且与直线平行，则这个一次函数的解析式是 ． 【答案】． 【解析】解：∵一次函数的图像与直线平行， ∴设该一次函数为， ∵该函数的图像经过点， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为：． 47．已知一次函数的图象经过点，且与y轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为 ． 【答案】． 【解析】解：根据题意将和，代入，得 解得： 所以一次函数解析式为， 故答案为：． 48．写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：设一次函数的表达式为， ∵图象经过第二、三、四象限， ∴，， 又∵过点， ∴， 当取，则一次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 十三．一次函数相关规律探究（共2小题） 49．如图，已知直线，直线，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵轴，， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， 同理，； ，即； ； …， ∴， ， ∴的横坐标为，和的纵坐标为， ∴在直线上， ∴ 故选：B． 50．如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点，，，…，的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ，…，， 又∵， ∴，，，…，； 故选：A． 十四．一次函数与方程、不等式（共4小题） 51．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B． 【解析】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴的解集为， 故选：B． 52．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵直线经过点和， 可得：， 解得：， ∴为， 当时，， ∴一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的y随x增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 53．如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【答案】D． 【解析】解：A．∵由图象可知：y的值随着x值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B．∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴方程的解为， 故B错误，不符合题意； C．∵直线过， ∴， ∴， ∴； 故C错误，不符合题意； D．∵由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 54．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】． 【解析】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 结合图形，当时，，即， 故答案为：． 十五．一次函数与实际问题（共5小题） 55．在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，各国普遍采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年杨树每年大约吸收二氧化碳172千克，1棵成年冷杉树每年大约吸收二氧化碳110千克．某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）因为杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】（1）；（2）购买33棵杨树，67棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【解析】（1）解：∵购买了a棵杨树，则购买的冷杉为棵， 根据题意得：． （2）解：根据题意得， ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w的值最大， 此时（棵）， 答：购买33棵杨树，67棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 56．某农户欲购买“白银2号”种子，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格会打折出售．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示： （1）根据图象，购买种子不超过10kg时，每千克种子的价格为______元，写出此时y关于x的函数关系式：______（不写出自变量的取值范围）； （2）当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少kg种子？ 【答案】（1）10，；（2）当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50kg种子． 【解析】（1）解：由图象可得：购买种子不超过10kg时，每千克种子的价格为元， 此时y关于x的函数关系式为：； （2）解：当时， 由图象可知y是x的一次函数，且过点，， ∴设，则 ， 解得：， ∴； 根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg， 令时， 解得：， ∴当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50kg种子． 57．某服装商店开辟专柜购进A，B两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 （1）第一次用10000元购进两款围巾共180条，求A，B两款各购进多少条． （2）第二次根据销售情况，A款进货量不超过B款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】（1）A，B两款分别购进100条，80条；（2）应购进A款围巾100条，B款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元；（3）从利润率的角度看，第二次更划算． 【解析】（1）解：设A款购进a条，则B款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即A，B两款分别购进100条，80条． （2）设第二次A款购进x条，则B款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为y元，则． y随x增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，B款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． （3）第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 58．甲车从A地匀速驶向相距360km的B地，乙车比甲车晚出发20min从B地驶往A地，途中在C地休息了20min，然后比之前提高了45km/h的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40min乙车才到达A地．甲、乙两车距B地的路程与甲车出发的时间之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和a的值； （2）求乙车从C地到A地的路程与甲车出发的时间之间的函数解析式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距55km． 【答案】（1）甲车的速度是90km/h，；（2）；（3）甲车出发2小时或小时两车相距55km． 【解析】（1）解：根据图象可知甲车从A地用了4小时行驶到了B地，所以甲车的速度是，； （2）解：由，可知点， ∴乙车从B地到C的速度为， ∴乙车从C地到A的速度为，点B的坐标为，即， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以函数关系式为； （3）解：∵甲车的速度为，且直线经过点， ∴甲车行驶的函数关系式为； 乙车在段过点，， 设段函数解析式为：， 则， 解得：， 其函数关系式为； 分两种情况：当相遇前两车相距55km时，， 解得； 当相遇后两车相距55km时，， 解得. 设点D的横坐标为t，则点E的横坐标为，根据题意，得 ， 解得， 由，符合题意， 甲车出发2小时或小时两车相距55km． 59．五一期间，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大游客带来一场视觉盛宴．其中，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面10米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升．到第4秒时，乙无人机到达距离地面34米的位置，停止上升，开始进行表演．甲无人机则持续匀速上升，到第20秒时，甲无人机到达距离地面100米的位置，停止上升，开始进行表演．在甲无人机上升过程中，两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，结合图象解答下列问题： （1）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）在甲无人机上升过程中，它飞行到多少秒时，两架无人机之间的竖直高度差为12米？ 【答案】（1）；（2）在甲无人机上升过程中，它飞行到2秒、4.4秒和9.2秒时，两架无人机之间的竖直高度差为12米． 【解析】（1）解：由图象可得：，， 设线段所在直线的函数解析式， 把，，代入， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式； （2）解：由题可得：， 设线段所在直线的函数解析式为， 把代入，解得：，即， 把分别代入和，分别解得：，， 即当乙无人机停止上升时，两架无人机之间的竖直高度差为米， ∵， ∴故需要分三种情况： ①当甲，乙飞机都上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：，即， 解得：； ②当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：， 即，解得：， ③当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，甲飞机在乙飞机上方时，可得：， 即，解得：， 综上所述：在甲无人机上升过程中，它飞行到2秒、4.4秒和9.2秒时，两架无人机之间的竖直高度差为12米． 十六．一次函数与几何综合（共3小题） 60．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B在第一象限内直线l：上一点．是以点B为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点A的坐标； （2）若点，且的面积等于的面积，请直接写出b的值． 【答案】（1）A的坐标为；（2）． 【解析】（1）解：过点B作轴于点D，如图所示． ∵点A的坐标为， ∴． ∵是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 又∵点B在直线上， ∴，解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）可得出点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得∶ 解得： ∴直线的解析式为． ∵的面积等于的面积， ∴点C在直线上， ∵点C的坐标为， ∴． 61．如图1，在矩形中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，，． （1）请直接写出点C的坐标； （2）如图2，平分交于点F，求的面积； （3）如图3，动点P在第一象限，且点P在直线上，点D在线段上，是否存在以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）9；（3）． 【解析】（1）解：∵在矩形中，，． ∴，，，，， ∴； （2）过F点作交于E，如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）存在，理由如下：           设点． ①当点P在下方时，过点P作，交y轴于点E，交于点F，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， 解得，此时点不合题意舍去；      ②当点P在的上方时，过点P作，交y轴于点E，交的延长线于点F，如图： 同理，可证， ∴， ∵， 解得， ∴， ∴点，， 设解析式为，将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$