第02讲 集合间的基本关系（3个知识点+5个考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 子集与真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意 Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 可以用图表示为： 真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或). 知识点2 空集与集合相等 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有 集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 知识点3 子集的个数 若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个。 教材习题01 下列四个集合中，(   )是空集 A．，B． C．，D． 解题方法 选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 【答案】 B. 教材习题02 集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 解题方法 由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为， 【答案】D. 教材习题03 已知，，，，写出所有满足上述条件的集合． 解题方法 因为，， 则， 又由，，可知，即， 所以或或或. 【答案】或或或. 考点一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 4．已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 考点二 判断两集合的包含关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 3．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B （多选题）4．已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 考点三 判断两集合是否相等 1．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 2．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 4．设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 考点四 空集的性质与应用 1．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 2．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 考点五 子集的概念 1．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得， 所以为或或； 当时，由知，， 所以为或； 当，则，所以为综上，共有8种取值． 故选：D． 2．已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，,故, 故选：B （多选题）3．下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 知识导图记忆 知识目标复核 1．子集与真子集 2．空集与集合相等 3．子集的个数 1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 2．已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 6．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抽屉原理、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 7．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 9．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 10．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意求出集合A即可. 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. （多选题）11．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. （多选题）12．已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 13．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 14．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 子集与真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意 Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 可以用图表示为： 真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或). 知识点2 空集与集合相等 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有 集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 知识点3 子集的个数 若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个。 教材习题01 下列四个集合中，(   )是空集 A．，B． C．，D． 解题方法 选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 【答案】 B. 教材习题02 集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 解题方法 由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为， 【答案】D. 教材习题03 已知，，，，写出所有满足上述条件的集合． 解题方法 因为，， 则， 又由，，可知，即， 所以或或或. 【答案】或或或. 考点一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 考点二 判断两集合的包含关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． （多选题）4．已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 考点三 判断两集合是否相等 1．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 4．设集合，，若，则 . 考点四 空集的性质与应用 1．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 考点五 子集的概念 1．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． （多选题）3．下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 知识导图记忆 知识目标复核 1．子集与真子集 2．空集与集合相等 3．子集的个数 1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 7．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 9．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 （多选题）11．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 （多选题）12．已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 13．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 14．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$