湖北省汉川市第一高级中学2025届高三下学期数学压轴卷

汉川一中2025届高三数学压轴卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.扇形的半径等于，面积等于，则它的圆心角等于(    ) A. B. C. D. 2.已知是复数z的共轭复数，为虚数单位，则z的虚部是    A. i B. C. 1 D. 3.已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A. B. C. D. 4.已知向量集合，，则(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆个，另一堆也是个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是(    ) A. B. C. D. 6.点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8.已知点是椭圆上的一点，，分别是的左、右焦点，且点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则下列结论正确的是(    ) A. 事件与为互斥事件 B. 事件，，两两独立 C. D. 10.已知数列中，，，，其前n项和为，则         A. B. C. D. 11.已知正方体的棱长为，过棱，，的中点作正方体的截面，则(    ) A. 截面多边形的周长为 B. 截面多边形的面积为 C. 截面多边形存在外接圆 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若角的终边经过点，则          ． 13.如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台若，则该圆台的体积为          ． 14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知 Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间； Ⅱ当时，若，求的取值范围． 16.本小题分 已知函数． Ⅰ若在处的切线与轴平行，求； Ⅱ已知在上的最大值不小于，求的取值范围； Ⅲ写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围．请直接写出结论 17.本小题分 如图，平面，，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值； Ⅲ若二面角的余弦值为，求线段的长． 18.本小题分 已知抛物线：的焦点到准线的距离为，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，． 求的方程； 记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； 设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标． 19.本小题分 牛顿法是世纪牛顿在流数法与无穷级数一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一直继续下去，得到，，，，一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． 若函数的零点为，求的次近似值 设，是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足，． (ⅰ)求证：数列为等比数列 (ⅱ)证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉川一中2025届高三数学压轴卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.扇形的半径等于，面积等于，则它的圆心角等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：扇形面积，其中，面积，代入得：． 故选：． 2.已知是复数z的共轭复数，为虚数单位，则z的虚部是    A. i B. C. 1 D. 【答案】C  【解析】解：由题意，得， 则，则z的虚部是 故选： 3.已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：对于函数，有，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为． 故选：． 4.已知向量集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查两个集合的交集运算，两个向量坐标形式的运算，属于中档题． 集合中的向量都在一条直线上，中的向量都在另一条直线上，即两条直线的交点坐标． 【解答】 解：对于，令， 则，化简可得， 故中的向量都在直线上． 对于，同理可得 中的向量在直线上． 再由，求得，可得这两条直线的交点是， 故选：． 5.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆个，另一堆也是个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知号箱子一定在号箱子前被取走，号箱子一定在号箱子前被取走， 号箱子一定在号箱子前被取走，号箱子一定在号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：．    6.点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算，向量的减法运算，向量的加法运算，属于中档题． 先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是． 【解答】 解：设外接圆的圆心为，则，． 一方面，我们有 ． 故一定有． 另一方面，当时， 有， 故在的外接圆上， 此时 ． 综合两个方面，可知的最大值是． 故选：． 7.已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C  【解析】解：对于，， 所以和，显然两个函数振幅不同，不仅需要平移，还需要伸缩变换，故A错误； 对于，， ，显然两个函数振幅不同，不仅需要平移，还需要伸缩变换，故B错误； 对于，，，所以平移即可重合，故C正确； 对于，，，无法重合，故D错误． 故选：． 8.已知点是椭圆上的一点，，分别是的左、右焦点，且点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故A为中点， 又， 又点在的平分线上，则， 故是等腰三角形，因此， 则， 所以，又， 所以 又在中，由余弦定理得， 即， 即， 化简得：，又， 所以，所以， 即． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则下列结论正确的是(    ) A. 事件与为互斥事件 B. 事件，，两两独立 C. D. 【答案】BD  【解析】解：对于，事件与可同时发生，A错误； 对于，，， 所以，，， 所以事件，，两两独立，B正确 对于，，，的交集为，，而， 则，则有，C错误 对于，，的交集为，， 则，， 故，D正确． 故选：． 【答案】ABD  10.已知数列中，，，，其前n项和为，则         A. B. C. D. 【解析】解：由，两边除以，得， 故是公差为的等差数列， 已知，则，由等差数列通项公式， 故， ，A正确； ，B正确； ，而，故不成立，C错误； ， D正确. 故选： 11.已知正方体的棱长为，过棱，，的中点作正方体的截面，则(    ) A. 截面多边形的周长为 B. 截面多边形的面积为 C. 截面多边形存在外接圆 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查正方体中截面问题，涉及二面角的知识，属于中档题． 根据正方体结构特征，作出截面，结合各选项逐项判断即可． 【解答】 解：如图，设棱，，的中点分别为，，， 连接并延长，分别与，的延长线交于点，， 连接交于点，连结交于点． 再连接，，则五边形为过，，三点的截面． 由，分别是边，的中点， 知，所以 由∽，知：， ，同理， ，所以， 所以截面多边形的周长为，A正确； 连接，易得， 故四边形为等腰梯形，易求得梯形的高为， 故梯形的面积， 三角形为等腰三角形，其面积， 故截面多边形的面积，故B正确． 因为，，， 故该五边形没有外接圆，因此C错误． 取中点为，连接，， 在中，，， 根据对称，也为中点， 故，且， 在正方形中，易得， 故即为截面所在平面与平面所成角， 在直角三角形中，， 又平面平面， 故截面所在平面与平面所成角的正弦值为， 因此D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若角的终边经过点，则          ． 【答案】  【解析】解：由题意得，， 由和， 可得：． 故答案为：． 13.如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台若，则该圆台的体积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆台的体积，空间想象能力，属于中档题． 根据扇环围成圆台过程中量的关系求得圆台的上下底半径及高从而求得体积． 【解答】 解：已知圆心角，，， 对于扇形，弧长，对于扇形，弧长， 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，因为扇环围成圆台后，上底面圆周长，可得下底面圆周长，可得， 设圆台的母线长为，因为，所以， 根据圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台的高为，由勾股定理可得 ， 圆台体积 ． 14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查学生转化推理能力，属于较难题． 将原不等式变形，变量分离化为的形式，则只需满足，再去求函数的最小值，通过求导判断单调性即可求出． 【解答】 解：原不等式等价于，， 设， 则原不等式恒成立等价于，， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因为， 所以存在，使得 当时，，即，在上单调递减 当时，，即，在上单调递增 当时， 是函数的零点，，两边取自然对数得 ， ，． 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知 Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间； Ⅱ当时，若，求的取值范围． 【答案】解：Ⅰ， ， ， ， ， ， ， ， 由，， 故函数的单调递增区间为：，， 令，得， 即，或，， 解得，或， 因为，所以或． 令，得． 即，或， 解得，或， 因为，所以或或舍． 又因为的单调递增区间为和， 的单调递减区间为， 所以当时，的取值范围为  【解析】Ⅰ首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间． Ⅱ利用Ⅰ的结论，根据，利用正弦函数的图象和性质即可求出． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， ． 16.本小题分 已知函数． Ⅰ若在处的切线与轴平行，求； Ⅱ已知在上的最大值不小于，求的取值范围； Ⅲ写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围．请直接写出结论 【答案】解：Ⅰ， 所以， 由题意可得，，则， 又，此时切线与轴不重合，符合题意． Ⅱ由题意可得，在上有解，显然不是解， 故在上有解， 设，，则， 设，则当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，， 故当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 故， 故的取值范围为． Ⅲ原题转化为与的交点个数， 令，则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 如图所示， 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为．  【解析】本题主要考查了导数的几何意义及由不等式的恒成立求解参数范围问题，还考查了函数的零点问题，属于中档试题． Ⅰ先对函数求导，然后结合已知及导数的几何意义可求； Ⅱ由已知不等式恒成立，分离参数后，通过构造函数，转化为求解函数的范围，结合导数可求． Ⅲ转化为与的交点个数，结合函数的图象及性质可求． 17.本小题分 如图，平面，，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值； Ⅲ若二面角的余弦值为，求线段的长． 【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图， 可得，，，，． 设，则． Ⅰ依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面． Ⅱ依题意，，，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得． 因此有，． 所以，直线与平面所成角的正弦值为． Ⅲ设为平面的法向量，， 则，即 不妨令，可得 由题意，有，， 解得． 经检验，符合题意． 所以，线段的长为．   【解析】本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角的向量求法，平面与平面所成角的向量求法，属于拔高题． Ⅰ以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得可得是平面的一个法向量，再求出，由，且直线平面，得平面； Ⅱ求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值； Ⅲ求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段的长 18.本小题分 已知抛物线：的焦点到准线的距离为，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，． 求的方程； 记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； 设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标． 【答案】解：由题意知， 所以抛物线方程为． 设直线的方程为，，， 则，，， 所以，得， 所以，， 所以直线的方程为：， 与直线的方程联立， 解得，同理， 所以， 所以， 所以直线的斜率为． 设， 因为 ． 因为，， 所以 ， 当时，为定值． 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 牛顿法是世纪牛顿在流数法与无穷级数一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一直继续下去，得到，，，，一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． 若函数的零点为，求的次近似值 设，是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足，． (ⅰ)求证：数列为等比数列 (ⅱ)证明：． 【答案】解：因为的零点为， 所以， 过点作曲线的切线为， 令，得， 过点作曲线的切线为， 令，得， 的次近似值为； 因为，是函数的两个零点， 则过点作曲线的切线， 其中， 令，得， ， ， ，， ， 于是，，故数列为等比数列 由题意可得：，记，则， 由，可得：， 即， 所以， 即， ．  【解析】本题考查数列的新定义，利用导数求曲线上一点的切线，放缩法求数列的项和放缩法证明不等式，属于较难题． 利用新定义直接求解即可； 利用新定义得到任意一条切线方程，找到递推关系，再利用根与系数的关系即可， (ⅱ)利用放缩法得到等比数列，求和后再放缩即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$