专题13 几何综合题-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题13 几何综合题 题型概览 题型01 三角形与四边形 题型02 圆 ( 题型01 )三角形与四边形 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点是边上的一动点，，垂足为点，将沿翻折得到，连接．    (1)如图1，①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，当点是中点时，求的面积． 3．（2025·辽宁营口·一模）在数学活动课上，沈老师给出如下问题：如图3，在中，，，，求的长． ①如图4，小浩同学延长至点，使得，连接，通过可求的长； ②如图5，小宇同学作的平分线，交于点D，可得，通过可求的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程； 【类比分析】 沈老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，沈老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图6，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图7，于点C，，点在上，，，，求的长． 4．（2025·辽宁盘锦·一模）如图1，四边形是矩形，以为圆心长为半径画弧交延长线于点，作交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为、． ①如图2所示，当在线段上时，直线交于点，交于点． （i）求证：； （ⅱ）求证：． ②如图3所示，若，，将沿直线翻折得到，其中点的对应点为点，当旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的与关于直线对称？若存在，在图3中画出，连接，并直接写出的长，若不存在，请说明理由． 5．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，将线段CA绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接AD，过点C作，交DE延长线于点M，垂足为点F，连接AM交BC于点N，猜想NC和NA的数量关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，将沿着EN折叠，得到，在的变化过程中， ①如图3，当点P与点D重合时，求证：； ②当，且的面积为36时，请你自己画出图形，并求的面积． 6．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：点为边上一动点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，当点落在上时，连接，求证：为等边三角形； (2)迁移探究 小明继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①改变点在上的位置（点不与点，重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点与点重合时，求证：； (3)拓展应用 已知正方形纸片的边长为，在（2）的探究中，再将沿继续折叠，点的对应点为，如图4，当点的位置不同时点的位置也随之改变，若点恰好落在的边上时，求的长． 8．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点． (1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长． (2)将问题一般化：如图，当时，求的长． (3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图1，菱形中，，是射线上的动点，以为边在上方作等边三角形，过点作交延长线于点，连接，． (1)试判断的形状并证明结论； (2)若， ①如图2，当点在延长线上时，补全图形，并计算点与点的距离（用含的式子表示）； ②连接交直线于点，试求出的面积（用含的式子表示）． 11．（2025·辽宁锦州·一模）数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． (1)请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； (3)如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 12．（2025·辽宁辽阳·一模）【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 13．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 14．（2025·辽宁本溪·一模）在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点．          (1)如图1，当是直角三角形，时，求证：； (2)如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； (3)直线与射线交于点，若，直接写出的值． 15．（2025·辽宁朝阳·一模）综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，连接． ①求的度数； ②若，求的长． (3)若，点E为中点，连接并延长，交线段于点F，当为直角三角形时，请直接写出的值． 17．（2025·辽宁盘锦·一模）问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 18．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G． (1)求证：． (2)如图2，连接，点E是的中点，． ①若，求的长． ②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由． ③如图4，在②的条件下，连接，作点C关于的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小． 18．（2025·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接交于点，连接交于点，交于点F，求的度数； 【变式应用】 （2）已知，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接． ①如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，求证； ②若，，直线交于点，，请直接写出的面积． 19．（2025·辽宁·一模）综合与实践 折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由． (2)【问题解决】 在矩形纸片中，若边，． ①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明； ②当时，请求出此时的长度． (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________． ( 题型02 )圆 1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以的边为直径作，交于点，交于点，连接相交于点，连接，． (1)判断的形状，并证明； (2)若，求的值． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）中，，经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交于点F，垂足为G，连接，且． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 3．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求线段的长． 5．（2025·辽宁盘锦·一模）已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，，平分交于点F，求的长． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，点O在的边上，经过点A，C的与相交于点D，点E在上，且，与相交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点D是的中点，求的值． 7．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 8．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点O在边上，以点O为圆心，长为半径作，交线段于点D，点D不与点A重合，经过边上的点E，交边于点F，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)若求扇形的面积． 11．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何综合题 题型概览 题型01 三角形与四边形 题型02 圆 ( 题型01 )三角形与四边形 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】（1）结合翻折的性质证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）①根据题意证明，进而得到，再进行等量代换，并结合等腰三角形性质，即可证明； ②过点作于点，结合叠的性质推出，利用等腰三角形性质得到，再证明四边形为矩形，得到，设，得到，结合勾股定理得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：，沿翻折，点落到点处， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； ②过点作于点， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，矩形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点是边上的一动点，，垂足为点，将沿翻折得到，连接．    (1)如图1，①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，当点是中点时，求的面积． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)的面积为12 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠性质等知识点，灵活运用相关知识成为结题的关键． （1）①由垂线的定义以及翻折的定义可得，然后根据四边形的内角和定理即可解答； ②如图，延长至点，使，结合①的结论可得，再证明可得、，进而证明是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）如图：过点A作于点G，先说明，再根据正切的定义可得，进而得到，设，则，根据勾股定理列方程可得，进而得到，再解直角三角形可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：①，   ， 由翻折得到的， ， ，四边形的内角和是， ． ②如图，延长至点，使， 由①知，， 由， ， ，   （SAS）， ，， ，即， 是等腰直角三角形， ，， ． （2）解：如图：过点A作于点G， ，点是中点， ，， ，，   ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ，即， 由， ， ， 由（2）得，是等腰直角三角形， 在中，， ， ． 答：的面积为12． 3．（2025·辽宁营口·一模）在数学活动课上，沈老师给出如下问题：如图3，在中，，，，求的长． ①如图4，小浩同学延长至点，使得，连接，通过可求的长； ②如图5，小宇同学作的平分线，交于点D，可得，通过可求的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程； 【类比分析】 沈老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，沈老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图6，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图7，于点C，，点在上，，，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2），证明过程见详解；（3）15 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）小浩同学思路：延长至点，使得，连接，证明两角对应相等，可证明，得，即可得结果；小宇同学思路：作的平分线，交于点D，由，，可证明，进而得，即可得结果； （2）延长至点，使，连接，先证明，得，设，则，由，进而可得，即可得结论； （3）过点作，且，连接，，设交于点， 先证明，可得，，进而可得，设，则，推出，可得，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：小浩同学思路：延长至点，使得，连接， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即， ； 小宇同学思路：作的平分线，交于点D， ，平分， ， ， ，， ， ， 即， ，； （2）解：，证明如下， 如图，延长至点，使，连接， ，， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过点作，且，连接，，设交于点， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， 设，则， ， ， ， ， 同理，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2025·辽宁盘锦·一模）如图1，四边形是矩形，以为圆心长为半径画弧交延长线于点，作交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为、． ①如图2所示，当在线段上时，直线交于点，交于点． （i）求证：； （ⅱ）求证：． ②如图3所示，若，，将沿直线翻折得到，其中点的对应点为点，当旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的与关于直线对称？若存在，在图3中画出，连接，并直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 ②存在，，图见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确运用相关知识解决问题是解答本题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，结合可证明四边形是菱形； （2）①（i）证明，，根据可证明； （ii）证明，，根据证明即可； ②根据题意画出，求出，得出，根据勾股定理可求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，即； 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①（i）∵ 四边形是矩形 ∴ ， 由旋转得， ∴ ， ∵ 菱形中，， ∴ ，即， 又∵ ， ∴ ， （ii）由旋转得，， 又 ∵ 菱形中， ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②存在，如图，旋转过程中，B是定点，且A、B是一对对应点，即的垂直平分线为对称轴． 如图： ∵，， ∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 5．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，将线段CA绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接AD，过点C作，交DE延长线于点M，垂足为点F，连接AM交BC于点N，猜想NC和NA的数量关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，将沿着EN折叠，得到，在的变化过程中， ①如图3，当点P与点D重合时，求证：； ②当，且的面积为36时，请你自己画出图形，并求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①见解析；② 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得平分、，则，进而得到垂直平分可得，进而得到，再根据角的和差可得，然后根据全等三角形的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明； （3）①由折叠的性质可得，再证明可得，进而得到，再根据三角形外角的性质可得是等腰直角三角形，即，再根据全等三角形的性质以及等量代换即可证明结论；②先根据题意作图，如图：当时，过点P作于点H，易得，设长为m，则，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、；由折叠的性质可得是等边三角形，进而得到；再在中运用勾股定理得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 绕点C顺时针旋转得到线段， ，， 在中，， ， ． （2）解：，证明如下： ，， 平分，， ∴， 垂直平分， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：①沿着折叠得到， ， 点P与点D重合， ， ， ，，， ， ， ，， ， 在中，， ， 是的外角， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ②作图如下： 如图：当时，过点P作于点H， ， ， ， 设长为m，则， 在中，，， ， 将沿着EN折叠得到， ， ，， 是等边三角形， 高高 的面积， ，解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等腰直角三角形 的面积． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 6．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 【答案】基本图形：；知识迁移：；拓展应用： 【难度】0.4 【知识点】利用同角三角函数关系求值、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】基本图形：设，由翻折的性质得：，在中，，即，解方程后，即可求解； 知识迁移：由①得，，，由题意易得，，得，，由，得，推出，，，过点作于点，过点作于点，根据等面积法，得出，由勾股定理得，，，得出，，根据，得，得，通过进而解题； 拓展应用：过点作于点，设，则，由翻折的性质得，，先证明四边形是矩形，得，由点是的中点，即，得出，设，得，所以，得，通过，可得，在中，通过勾股定理即可求的长． 【详解】解：基本图形： 四边形是矩形， ， 设， ， 由翻折的性质得：， ，点为的中点， ， 在中，， ， 即， 解得：， ； 知识迁移： 由①得，，， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又， ， ，，， ， ，， 如图②，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， 即， ， 由勾股定理得，，， ，， ， ，即， ， ， ； 拓展应用： 如图③，过点作于点， 设，则， 由翻折的性质得，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， ， 设， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的定义及性质、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：点为边上一动点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，当点落在上时，连接，求证：为等边三角形； (2)迁移探究 小明继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①改变点在上的位置（点不与点，重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点与点重合时，求证：； (3)拓展应用 已知正方形纸片的边长为，在（2）的探究中，再将沿继续折叠，点的对应点为，如图4，当点的位置不同时点的位置也随之改变，若点恰好落在的边上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据折叠可得是的垂直平分线且，则，据此可证明结论； （2）①根据折叠和正方形的性质证明得到，再导角证明，据此可得结论；②由全等三角形的性质得到，，设，，则，，，由勾股定理可得，则，据此可证明结论； （3）分点在上和点在上两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：所在直线为正方形的对称轴， 即是的垂直平分线， ， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， （2）解：①，   理由如下：四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， ；          在四边形中，， ， 又， ， ；        ②证明：由（1）知，， ，， 点与点重合， ， 设，， 则，，， 在中，， ， ， ， ； （3）解：①如图，当点在上时， 由两次折叠可知：， 在中，， ； ②如图，当点在上时， ， ， 由折叠可知：， ， 在中，， ， 在中，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点． (1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长． (2)将问题一般化：如图，当时，求的长． (3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质可得，，则有，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）过点作，交于点，证明是等边三角形，通过性质证明，又，则，故有，即，最后由线段和差即可求解； （）过点作，交于点，与（）同理可得是等边三角形，，再证明，则，即，然后通过求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， 与（）同理可得是等边三角形，， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图1，菱形中，，是射线上的动点，以为边在上方作等边三角形，过点作交延长线于点，连接，． (1)试判断的形状并证明结论； (2)若， ①如图2，当点在延长线上时，补全图形，并计算点与点的距离（用含的式子表示）； ②连接交直线于点，试求出的面积（用含的式子表示）． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)①图见解析，，② 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活应用． （1）根据等边三角形和菱形的性质证明，然后求得和即可得出结论； （2）①根据题意画出图形，根据等边三角形的性质得出，，过点作于点，然后利用勾股定理即可求解； ②利用得出，求得，当点M在BA延长线上时，即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 四边形是菱形，且 , 是等边三角形，               是等边三角形； （2）解：①如图， 由（1）得是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 过点作于点， 在中，， ， ， 在中，， ； ②过点，分别作于，于点， ， ， ， 即， ， ， ， ， 当点M在BA延长线上时，， ． 11．（2025·辽宁锦州·一模）数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． (1)请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； (2)借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； (3)如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．证明．即可得到结论；方法2：连接，过点作交于点．证明，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接．证明，即可得到结论； （3）连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．由得到．则，证明四边形是平行四边形．得到是矩形．证明．进一步即可得到结论． 【详解】（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． ， 是等边三角形． ． ． 四边形是菱形， ． ． ． ， ． ． ． 方法2：连接，过点作交于点． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到点，使，连接． 四边形是正方形， ． ． ． ， ． ， ． ， ． ， ，即， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点． ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 是矩形． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关图形的性质是关键． 12．（2025·辽宁辽阳·一模）【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由轴对称可知，，，先证，再证，得，，进而求得，解直角三角形即可求解． （2）由（1）知，，，，，先证，再证，得，设，则，，，在中，由勾股定理得，，列出方程即可求解； （3）如图，构造正方形，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转，则，证明，得，由题意可知，，，，证得，则可得，，设，则，，在中，，列出方程即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 由轴对称可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴． （2）由（1）知，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，构造正方形，延长交于点，连接， 将绕点顺时针旋转，则， ∴、、在同一直线上， 由旋转可知，，，， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 则 ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形得判定及性质，等腰直角三角形性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质解决问题的关键． 13．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 【答案】(1) (2)猜想．证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据同角的余角相等得．再由证明即可得到； （2）两种方法：通过辅助线构造证得，或通过辅助线构造证得，再由即可证明结论． （3）通过延长，使，构造，进而得到，结合求出答案． 【详解】（1）解：当四边形是正方形，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则，    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：如图，在延长线上取点N，使，则，    根据菱形的性质，， ∴， 又∵，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，使，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，等边三角形和等腰三角形的性质等知识点． 14．（2025·辽宁本溪·一模）在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点．          (1)如图1，当是直角三角形，时，求证：； (2)如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； (3)直线与射线交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)或1 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据菱形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质说明线段或角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意可证平行四边形是菱形，再证，可得，由此即可求解； （2）延长至点H，使得，连接，可得是等边三角形，因此，，由旋转得，，，从而证得．证明，得到，即可推出，证得，因此四边形是平行四边形，进而根据菱形的定义得证结论； （3）分两种情况求解：①直线与线段交于点；②直线与线段的延长线交于点． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若直线与线段交于点， 由（2）有， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 由（2）有是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，若直线与线段的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 延长至点N，使得，连接，， 由（2）有是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）有四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 15．（2025·辽宁朝阳·一模）综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）的长为或． 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由折叠的性质结合菱形的性质求得，再证明，求得，据此求解即可； ②设正方形的边长为，则，设，则，，，在中，由勾股定理列式求得，据此计算即可得证； （2）由菱形的性质结合轴对称的性质知，，，分两种情况，当时，证明，设，，利用相似三角形的性质求得，再证明，利用相似三角形的性质结合图形可求解；当时，同理求得，解得，得到； 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设正方形的边长为， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵点D关于的对称点为， ∴， ∴，，， ∵，点E是上的一个三等分点， ∴或， 分两种情况，当时，，，如图， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，，，如图， 同理，可证， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，连接． ①求的度数； ②若，求的长． (3)若，点E为中点，连接并延长，交线段于点F，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)或 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）通过三角形内角和求证即可； （2）①延长，过点B作，垂足为E，导特殊角易得，可得，再证，即可得解； ②连接，设与相交于点F．解三角形易得，由勾股可得．再证，即可得解； （3）分类讨论，当时，导角易证，可得，，解即可得解；当时，易证是等边三角形，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图1，延长，过点B作，垂足为E， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：如图2，连接，设与相交于点F． 由①知，，． 在中，，， 在中，， 根据勾股定理得，． 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意可知，则分两种情况讨论： ①时， ∵E是中点， ∴设，则， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．（2025·辽宁盘锦·一模）问题情境： 如图1，在菱形中，，点为边上一动点（且不与点、点重合），在的延长线上，且，连接、，射线交于． 猜想证明： （1）试判断图1中的形状，并说明理由； （2）①如图2，连接，当点是的中点时，探究、、之间的关系，并说明理由；②如图，当点不是的中点时，①中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 问题解决： （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）①；，证明见解析；②成立，证明见解析（3）或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据菱形的性质可得则，结合已知，即可得出结论； （2）①证明是等边三角形，是的垂直平分线，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，又，则； ②在上截取，连接，则是等边三角形，证明是等边三角形，进而证明，，得出是等边三角形，则，即可得证； （3）连接，过点作，垂足为，得出，利用构造等边三角形底边上的高的方法，证明，分两种情形,根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： ∵在菱形中， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴是等边三角形， （2）①，理由如下： 连接，如图， ∵在菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵点是的中点 ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴； ②成立，理由如下：在上截取，连接， 四边形是菱形，， ，是等边三角形，， 是等边三角形， ，， 四边形是菱形，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． （3）如图3，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ， ； 如图，连接，过点作，垂足为， 根据（2）得，都是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角三角形中，， ， 根据（）得， ， ， ， ：：， ； 故的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，分类的思想，熟练菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，活用特殊角的三角函数是解题的关键． 18．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G． (1)求证：． (2)如图2，连接，点E是的中点，． ①若，求的长． ②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由． ③如图4，在②的条件下，连接，作点C关于的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小． 18．（2025·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接交于点，连接交于点，交于点F，求的度数； 【变式应用】 （2）已知，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接． ①如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，求证； ②若，，直线交于点，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析，②85或204 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质可知、为等腰直角三角形，，然后利用三角形内角和即可求得； （2）①根据旋转的性质可知，，，然后利用角的和差求得，，从而证得，得证；②分类讨论，点在左侧或者右侧，参考①中思路，线段绕点逆时针旋转得到线段，易证、、三点共线，，进而得出，过作，设，在中，利用勾股定理求得，最后根据面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，，，， 、为等腰直角三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）①证明：将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，为等腰直角三角形， ，，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， ， 在和中， ， ； ②解：当点在右侧时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图， 则为等腰直角三角形， ， 同①可知，、均是等腰直角三角形， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 同①可证， ， 过作，设， ， ， 在中，，即 解得，（负值已舍去） ，， ， ； 当点在左侧时，如图所示， 同理得、、三点共线，，， 过作，设， ， ， 在中，，即 解得，（负值已舍去） ，， ， ； 综上所述，的面积为85或204． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，理解类比探究题型的解题思路是解题的关键． 19．（2025·辽宁·一模）综合与实践 折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． (1)【活动猜想】 如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由． (2)【问题解决】 在矩形纸片中，若边，． ①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明； ②当时，请求出此时的长度． (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①，证明见解析；②或 (3) 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由折叠推出直线垂直平分，得到，，然后结合矩形的性质，证明出，即可证明出四边形是菱形； （2）①勾股定理求出，证明出是等边三角形，进而求解即可； ②如图3，点在线段上，设交于点，首先求出，然后解直角三角形求解即可；如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，求出，勾股定理求出，进而求解即可； （3）过点作于，作于，过点作于，如图所示，证明出，是等腰直角三角形，求出，，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，，然后列比例式求解即可． 【详解】（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∵点与点重合， ∴直线垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①， 证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ②的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长度为或． （3）解：过点作于，作于，过点作于，如图所示： ∵将沿翻折得到， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴在等腰中，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，，则， 在等腰中，， 在中，， ∴，即为中点， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即；，即； ∴为中点， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，矩形和折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ( 题型02 )圆 1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，以的边为直径作，交于点，交于点，连接相交于点，连接，． (1)判断的形状，并证明； (2)若，求的值． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据，得出，根据圆周角定理得出，证出，即可得，即是等腰三角形． （2）过点作，垂足为．根据圆周角定理得出，在中，，设，则，根据等腰三角形的性质得出，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． （2）解：过点作，垂足为． ∵是的直径， ∴， 在中，， 设，则， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）中，，经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交于点F，垂足为G，连接，且． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用圆周角定理求得，利用垂直的定义求得，推出，即可证明； （2）连接，利用圆周角定理求得是的直径，证明是等腰直角三角形，求得，在和中，利用勾股定理结合面积法即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ， 是的直径， 的半径为4， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 3．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、求弧长 【分析】（1）先证明，可得，再证明，再进一步可得结论； （2）先证明可得，， 连接，，证明，再进一步利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切于点A， ， ， 是的直径， 在中，， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 连接，， ， ， 半径， 的长度． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，求解弧长，掌握以上基础知识是解本题的关键． 4．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先由是的切线，得，结合平行线的性质得，，整理得，证明，得因为是的半径，故是的切线．即可作答． （2）过点D作于点N，运用圆周角定理得，根据得出，根据勾股定理得，证明，则，代入数值得 ，，证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点N， 则， ∵是的直径， ∴， ∵在中， ，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2025·辽宁盘锦·一模）已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，，平分交于点F，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）通过证明，结合平分可得，再根据可得，即可证明是的切线； （2）如图，作于点，连接，根据圆周角定理得出，根据平分，得出，即可得，推出根据，，得出，即可求出，根据圆周角定理得出，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题以圆为载体，以考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，点O在的边上，经过点A，C的与相交于点D，点E在上，且，与相交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点D是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证、求角的正切值 【分析】本题考查了圆的性质（圆周角定理、圆心角与弧的关系）、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角函数的定义．解题的关键是通过连接辅助线，利用圆周角定理等圆的性质进行角度转化和线段关系推导． （1）连接，构建与已知圆周角相关的圆心角，根据圆周角定理，由得出，计算出，得到．依据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，得出结论． （2）连接、，利用及，推出，再结合是中点，得到．由得出，进而推出．在中，根据勾股定理列出，化简得到．根据正切函数定义，将，代入求出． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）如图2，连接，． ∵，， ∴． ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，， 根据勾股定理可得，． ∴． 化简可得． ∴． 7．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据等腰三角形的性质证明是的垂直平分线，证明边形为矩形，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形性质求出，求出，根据，求出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， 即， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形，， ， 在中，， ， ， ， 的长度为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，弧长公式，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长13． 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 中，． 又， ． ， ． ． ， ， ， ． 即：． 为的切线； （2）解：如图，连接， ， ． 又， ． ， ． ． ，为的直径． ． ． 设， 则． ． ， 即：， ． ． 在中， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得，再结合是的直径，得，再结合等边对等角，即可作答． （2）由圆周角定理得，，，运用勾股定理以及角的余弦性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ． ． （2）解：连接， ， ． 是直径， ， 同理，， 在中，， ，， ， ， 由（1），， ， 在中，， ， 半径． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点O在边上，以点O为圆心，长为半径作，交线段于点D，点D不与点A重合，经过边上的点E，交边于点F，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)若求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求扇形面积、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由相似三角形的性质得到，结合直径所对的圆周角为，从而得到，证得结论； （2）根据题意，结合已知条件，求得半径长为4，结合图形，得到，从而得到扇形面积． 【详解】（1）证明∶如图，连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在中， 且为锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形∶ ∴， ∴扇形的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积公式的应用，相似三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，正确认识图形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 11．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、特殊角的三角函数值、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）根据圆周角定理可得即，再说明，进而求得，即可证明结论； （2）如图，连接，由特殊角的三角函数值可得，进而求得，然后说明，最后根据弧长公式求解即可。 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的直径， 是的切线。 （2）解：如图，连接， ， 点是的中点 ， ， ，   ， ， 的长为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$