专题06 一次函数（7大题型43题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 一次函数 题型概览 题型01 已知点所在象限求参数 题型02 从函数的图象获取信息 题型03 动点问题的函数图象 题型04 一次函数的图象 题型05 求一次函数解析式 题型06 一次函数与一元一次不等式 题型07 一次函数的实际应用 ( 题型01 )已知点所在象限求参数 1．（2025·河南平顶山·一模）若点位于第四象限，则a的取值范围是 ． 2．（2025·河南三门峡·一模）已知点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．无解 3．（2025·河南洛阳·一模）若点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 5．（2025·河南·一模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． ( 题型02 )从函数的图象获取信息 6．（2025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（   ） A．当时，的阻值为 B．在一定范围内，随的增大而减小 C．当托盘上货物的质量为时， D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 7．（2025·河南洛阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（    ） 信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 8．（2025·河南漯河·一模）在一定温度下，某固体物质在g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，称作该物质在这种溶剂中的溶解度．而温度是影响溶解度大小的一个重要因素，如图是，，三种物质的溶解度与温度之间的对应关系图象，则下列说法错误的是（   ） A．，两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当时，物质的溶解度比物质的溶解度大 C．当温度为时，，两种物质的溶解度相同 D．时物质的溶解度和时物质的溶解度相同 9．（2025·河南濮阳·一模）下面的三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样的速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间的函数关系大致符合如图的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 11．（2025·河南南阳·一模）小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两图象均为正比例函数图象 B．当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．依据图象可得：导体电阻分别为， 12．（2025·河南濮阳·一模）随着我国经济的发展，人们生活水平日益提高，我国出现了越来越多的潜水爱好者．为了保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图（1）所示的水压表和深度表．图（2）是某深度表的工作原理简化电路图，电源电压且恒定不变，定值电阻，是阻值随水的深度h（单位：m）变化而变化的电阻，其阻值（单位：Ω）与水的深度h的变化关系图象如图（3）所示，允许通过的最大电流为． 信息： ①欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． ②串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和， 下列说法正确的是（    ） A．深度表在水面以上时，的阻值大于 B．的阻值随水深的增大而增大 C．闭合开关，深度表在水面下处时，电路中的电流为 D．闭合开关，该深度表能浸入水中的最大深度为 13．（2025·河南信阳·一模）如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和某种不易汽化、密度比水小的防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示．下列说法中正确的是（   ）      A．随着原液含量逐渐增大，防冻冷却液凝固点逐渐降低 B．当防冻冷却液沸点为时，原液含量约为 C．原液含量每增加，防冻冷却液沸点的增加量相同 D．当原液含量低于时，随着原液含量的逐渐增大，防冻冷却液沸点与凝固点的差值减小 14．（2025·河南平顶山·一模）如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（   ） A．当电流增大时，消耗的电功率也增大 B．当时，的阻值最小 C．当时，的阻值为 D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0 15．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 16．（2025·河南郑州·一模）甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（    ）    A． B． C． D． ( 题型03 )动点问题的函数图象 17．（2025·河南郑州·一模）以下四个选项的平面直角坐标系中的图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆(前三个图形的一个顶点在点处，圆与轴相切)，垂直于轴的直线从轴出发，向右平行移动，直线在移动过程中扫过图形的面积为(选项中的阴影部分)，若与的函数关系的图象如图所示，则平面图形的形状不可能是（    ）     A． B． C． D． 18．（2025·河南·一模）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A． B． C． D． 19．（2025·河南·一模）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（   ）    A． B． C． D． 20．（2025·河南·一模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A． B． C． D．36 ( 题型0 4 )一次函数的图象 21．（2025·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位，得到一个正比例函数图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 23．（2025·河南郑州·一模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 24．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )求一次函数解析式 25．（2025·河南南阳·一模）写出一个一次函数，使它的图象经过点： ． 26．（2025·河南·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求与之间的函数关系式； (2)①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 27．（2025·河南洛阳·一模）河南省洛阳市洛宁县上戈苹果，因其果型端正、色泽鲜艳、松脆多汁、酸甜适度，富含多种营养成分且易储存，具有一定的健康功效等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．甲，乙两果园运送苹果到两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 160元/吨 150元／吨 仓库 200元／吨 180元/吨 (1)设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果____________吨；乙果园运往仓库的苹果____________吨，则运往仓库的苹果____________吨． (2)求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． (3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 28．（2025·河南郑州·一模）我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居法 线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜上的点处时，反射光线经过点，如图所示． (1)求光线所在直线的表达式． (2)若从点处发射的光线，经过平面镜反射后恰好经过点，求此时在平面镜上入射点的坐标． 29．（2025·河南·一模）一个关于的函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个函数解析式为 ．（写出一个即可） ( 题型0 6 )一次函数与一元一次不等式 30．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，，则当时，x的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 31．（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河南·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   ( 题型0 7 )一次函数的实际应用 33．（2025·河南平顶山·一模）某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家网店的标价均为15元／件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超过300元的按原价购买，超过300元的部分按标价的六折出售；乙网店商品全部按标价的八折出售． (1)若该校需要购买40件教学用品，则在甲网店需花费_________元；在乙网店需花费_________元． (2)若学校计划购买教学用品x件，设在甲网店花费元，在乙网店花费元，请求出，关于的函数解析式． (3)假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？ 34．（2025·河南洛阳·一模）随着端午节的临近，，两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择_____超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择_超市（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为元时，请分别写出在，两超市购物时的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱． 35．（2025·河南周口·一模）某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 36．（2025·河南·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 37．（2025·河南南阳·一模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 38．（2025·河南洛阳·一模）智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 220 1 3 260 信息二 A型机器人每台每天可以分拣快递22万件； B型机器人每台每天可以分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过740万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 39．（2025·河南鹤壁·一模）某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． (1)求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． (2)为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． (3)某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 40．（2025·河南驻马店·一模）南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 (1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ (2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 41．（2025·河南驻马店·一模）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营A，B两种型号自行车，上个月销售A型车100辆，B型车80辆，销售总额为148000元；A型车比B型车销售单价少50元． (1)求这两种自行车的销售单价各是多少元； (2)该商行本月计划新进一批A型车和C型车共60辆，且C型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．已知A型车和C型车的进货价格分别为600元和650元，且A型车的销售价格不变，C型车销售价格为900元，应如何进货才能使新进的这批自行车获利最多？ 42．（2025·河南郑州·一模）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 43．（2025·河南信阳·一模）学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数 题型概览 题型01 已知点所在象限求参数 题型02 从函数的图象获取信息 题型03 动点问题的函数图象 题型04 一次函数的图象 题型05 求一次函数解析式 题型06 一次函数与一元一次不等式 题型07 一次函数的实际应用 ( 题型01 )已知点所在象限求参数 1．（2025·河南平顶山·一模）若点位于第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：位于第四象限， ，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 2．（2025·河南三门峡·一模）已知点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标与解一元一次不等式，解此题的关键在于根据点的坐标特征得到一元一次不等式组．根据点的坐标特征可得关于的一元一次不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（2025·河南洛阳·一模）若点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标特征，能得出关于的不等式组是解此题的关键．根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：若点P在第二象限，则， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，即a的取值范围是， 故答案为：． 5．（2025·河南·一模）若点在第二象限，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】解：点在第二象限， ， 解①得：， 解②得：， 则x的取值范围是， 故答案为：． ( 题型02 )从函数的图象获取信息 6．（2025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（   ） A．当时，的阻值为 B．在一定范围内，随的增大而减小 C．当托盘上货物的质量为时， D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息． 根据所给函数图像即可判断选项A、B，根据函数图象得与的函数关系，根据与m之间的关系得，进行计算即可判断选项C，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图 2 得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项B说法正确； 设与的函数关系为， 将代入得， 故与的函数关系为， 当托盘上货物的质量为时，令，， 则，故选项C说法错误，符合题意； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：C． 7．（2025·河南洛阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（    ） 信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B．当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，解横纵坐标表示的含义是解题的关键． 根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度，则原说法错误，故该选项不符合题意； B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则原说法错误，故该选项不符合题意； C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙的溶解度变大，则乙不是饱和溶液，则原说法错误，故该选项不符合题意； D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为甲的溶解度比乙大，所以乙需要的水的质量更多，说法正确，符合题意． 故选：D． 8．（2025·河南漯河·一模）在一定温度下，某固体物质在g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，称作该物质在这种溶剂中的溶解度．而温度是影响溶解度大小的一个重要因素，如图是，，三种物质的溶解度与温度之间的对应关系图象，则下列说法错误的是（   ） A．，两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当时，物质的溶解度比物质的溶解度大 C．当温度为时，，两种物质的溶解度相同 D．时物质的溶解度和时物质的溶解度相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题的关键是能看懂函数图象．根据函数图象，对四个选项逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，故A说法正确，不符合题意； 当时，物质的溶解度比物质的溶解度大，故B说法错误，符合题意； 当温度为时，，两种物质的溶解度相同，故C说法正确，不符合题意； 当时物质的溶解度和当时物质的溶解度都是（），故D说法正确，不符合题意． 故选： B． 9．（2025·河南濮阳·一模）下面的三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样的速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间的函数关系大致符合如图的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据每个选项中的描述情况进行分类讨论，得出随的变化而怎样变化，再与图象表达的意义是否符合，即可作答． 【详解】解：①∵高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ∴当时，则， 当车头开始进入隧道至车尾也刚好进入隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而增大， 当整个高铁进入隧道后，此时高铁在隧道内的长度不随的变化而变化， 当车头开始离开隧道至整个高铁完全离开隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而减小， 故①符合题意； ②当小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，此时他离家的距离随着所用时间的增大而增大， 当到达后在图书馆内停留一段时间看书，此时他离家的距离不随的变化而变化， 当之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离随着所用时间的增大而减小， 故②符合题意； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放到整个进入水前，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而增大， 当整个铝块完全进入水放至底部后；此时铝块所受的浮力不随所用时间的变化而变化， 当把铝块以同样的速度从水面匀速拉出，直到全部拉出水面为止，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而减小， 故③符合题意； 故选：D 10．（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； ∵冰在熔化过程中，温度不变， ∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意； ∵加热后，冰块完全熔化， ∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意； 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 11．（2025·河南南阳·一模）小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两图象均为正比例函数图象 B．当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．依据图象可得：导体电阻分别为， 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图像的信息识别，准确理解题意是解题的关键．根据函数图像判断信息即可得到答案． 【详解】解：A．两图象均过原点，均为正比例函数图象，故A正确，不符合题意； B．由图象可知，在导体乙两端的电压为1 V时，电流为0.1A，故B错误，符合题意； C．甲、乙两图象都是过原点的直线，说明通过导体的电流与导体两端的电压成正比，故C正确，不符合题意； D．甲导体的电阻为，乙导体的电阻为，故D正确，不符合题意． 故选：B． 12．（2025·河南濮阳·一模）随着我国经济的发展，人们生活水平日益提高，我国出现了越来越多的潜水爱好者．为了保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图（1）所示的水压表和深度表．图（2）是某深度表的工作原理简化电路图，电源电压且恒定不变，定值电阻，是阻值随水的深度h（单位：m）变化而变化的电阻，其阻值（单位：Ω）与水的深度h的变化关系图象如图（3）所示，允许通过的最大电流为． 信息： ①欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． ②串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和， 下列说法正确的是（    ） A．深度表在水面以上时，的阻值大于 B．的阻值随水深的增大而增大 C．闭合开关，深度表在水面下处时，电路中的电流为 D．闭合开关，该深度表能浸入水中的最大深度为 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的应用，根据图象和已知条件确定阻值与水的深度的比例关系，进而利用函数的性质解答即可． 【详解】解：A. 图（2）是阻值随水的深度h变化而变化，水面上边阻值不变为，说法错误； B. 的阻值随水深的增大而减小，说法错误； C. 闭合开关，深度表在水面下处时，的阻值为，电路中的电流为，说法错误； D. 闭合开关，当电流最大时，的阻值为，根据函数图象得到该深度表能浸入水中的最大深度为，说法正确； 故选：D． 13．（2025·河南信阳·一模）如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和某种不易汽化、密度比水小的防冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示．下列说法中正确的是（   ）      A．随着原液含量逐渐增大，防冻冷却液凝固点逐渐降低 B．当防冻冷却液沸点为时，原液含量约为 C．原液含量每增加，防冻冷却液沸点的增加量相同 D．当原液含量低于时，随着原液含量的逐渐增大，防冻冷却液沸点与凝固点的差值减小 【答案】B 【分析】本题考查从函数图形获取信息．根据题目条件和图2和图3即可逐一进行判断． 【详解】解：A、随着原液含量逐渐增大，防冻冷却液凝固点先降低后增大，原说法错误，本选项不符合题意； B、当防冻冷却液沸点为时，原液含量约为，说法正确，本选项符合题意； C、原液含量每增加，防冻冷却液沸点的增加量不相同，原说法错误，本选项不符合题意； D、当原液含量低于时，随着原液含量的逐渐增大，防冻冷却液沸点与凝固点的差值增大，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 14．（2025·河南平顶山·一模）如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（   ） A．当电流增大时，消耗的电功率也增大 B．当时，的阻值最小 C．当时，的阻值为 D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合图象逐一判断即可解答，熟练运用二次函数的图象和性质解题是关键． 【详解】解：A、根据图像，当电流增大时，消耗的电功率先增大再减小，故该选项不符合题意； B、根据，结合图象，可得当时，的阻值不是最小，故该选项不符合题意； C、当时，的阻值为，故该选项不符合题意； D、当时，的阻值为，根据电路的总电压不变可得， 解得， 则总电压为伏， 当电流为时，电路中的总阻值为， 则， 故滑动变阻器的电功率为，故选项正确， 故选：D． 15．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：．从图中可以看到，当温度为时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在 时在水中是溶解的，故该选项不符合题意； ．观察溶解度曲线，在时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意； ．在时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，故该选项符合题意； ．从图中可知，当温度接近时，硫酸钠的溶解度就达到了，并且在 之间溶解度都不低于，而不是只控制在，故该选项不符合题意； 故选：C． 16．（2025·河南郑州·一模）甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是从图象中获取信息，理解所对应的自变量的范围是解本题的关键． 【详解】解：由题图，可知时，， 故选：B． ( 题型03 )动点问题的函数图象 17．（2025·河南郑州·一模）以下四个选项的平面直角坐标系中的图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆(前三个图形的一个顶点在点处，圆与轴相切)，垂直于轴的直线从轴出发，向右平行移动，直线在移动过程中扫过图形的面积为(选项中的阴影部分)，若与的函数关系的图象如图所示，则平面图形的形状不可能是（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，由函数图象可得知随的增大增长的速度是“慢快慢”，据此判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由关于函数的图象可知随的增大增长的速度是“慢快慢”，选项中面积增长速度是先慢再快然后不变，其他三个选项中的图形均符合这种趋势， 故选：． 18．（2025·河南·一模）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可． 【详解】解：由题可得：正方形面积为：， ， 最大重合面积为， B选项，不符合题意； 正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动， 最后的重合面积为0， C、D不符合题意；A选项符合题意； 故选：A． 19．（2025·河南·一模）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1和图2得当时，点到达处，即，当时，点到达点处，即可求解． 【详解】解：当时，点到达处，即； 过点作交于点，如图所示：   ，， ， ， 则四边形为长方形， ， ， ， ， ， 当时，点到达点处，则， 则， 由勾股定理得，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键． 20．（2025·河南·一模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A． B． C． D．36 【答案】A 【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选． 【详解】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称， 连接，得， 连接，作，垂足为， 由三角形三边关系和垂线段最短知， ， 即有最小值， 菱形中，，， 在△中，， 解得， 是图象上的最低点 ， 此时令与交于点， 由于，在△中， ，又， ， 又的长度为，图2中是图象上的最低点， ， 又， ， 故选：A． 【点睛】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于通过翻折点轴对称），然后利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出最小值为． ( 题型0 4 )一次函数的图象 21．（2025·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位，得到一个正比例函数图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式，求得平移后的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后，得到新图象的解析式为，即， 把代入，得：， 解得：， 即的值为． 故选：B． 22．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 23．（2025·河南郑州·一模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：可知， ， 故选：C． 24．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． ( 题型0 5 )求一次函数解析式 25．（2025·河南南阳·一模）写出一个一次函数，使它的图象经过点： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据图象经过点直接写出一次函数即可． 【详解】解：它的图象经过点的函数：． 故答案为：（答案不唯一）． 26．（2025·河南·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求与之间的函数关系式； (2)①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①见解析；②文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练根据题意求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可； ②利用二次函数的图象和性质即可解答． 【详解】（1）解：周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， 设周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为, 根据表格把代入， 可得， 解得， 周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为； （2）解：①所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系， 根据表格可知顶点为， 设所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， 所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为， 二次函数图象如图所示： ； ②根据题意可得售价小于等于元， 即， 根据图象可得当时，随的增大而增大， 故文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元． 27．（2025·河南洛阳·一模）河南省洛阳市洛宁县上戈苹果，因其果型端正、色泽鲜艳、松脆多汁、酸甜适度，富含多种营养成分且易储存，具有一定的健康功效等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．甲，乙两果园运送苹果到两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 160元/吨 150元／吨 仓库 200元／吨 180元/吨 (1)设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果____________吨；乙果园运往仓库的苹果____________吨，则运往仓库的苹果____________吨． (2)求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． (3)当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 【答案】(1)，， (2)总运费关于的函数解析式为 (3)甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，最少的总运费是43000元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）列出代数式运往仓库的苹果吨；乙果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨即可； （2）根据题意，按照运费数量单价得出总运费关于的函数解析式即可； （3）利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨；乙果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨， 故答案为：，，； （2）解：由题意得， ， 由题意，得， ， 总运费关于的函数解析式为； （3）解：，， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． 答：甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，最少的总运费是43000元． 28．（2025·河南郑州·一模）我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居法 线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜上的点处时，反射光线经过点，如图所示． (1)求光线所在直线的表达式． (2)若从点处发射的光线，经过平面镜反射后恰好经过点，求此时在平面镜上入射点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质； （1）设光线所在直线的表达式为，把、代入解析式列方程求解即可； （2）设光线所在直线的表达式为，则，法线为直线，则关于的对称点在直线上，把、代入解析式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设光线所在直线的表达式为， ∵光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为； （2）解：设光线所在直线的表达式为，则，法线为直线， ∴关于的对称点在直线上 ∴光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为， ∴此时在平面镜上入射点． 29．（2025·河南·一模）一个关于的函数同时满足两个条件：①图象过点；②随的增大而减小．这个函数解析式为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据题意得到该函数是形如的一次函数，且，写出一个即可． 【详解】解：函数图象过且随的增大而减小， 该函数是形如的一次函数，且， 这个函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一） ． ( 题型0 6 )一次函数与一元一次不等式 30．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，，则当时，x的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象解答即可得到时x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 由函数图象可得，当时，， ∴的取值范围为， 故选：D． 31．（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 所以关于x的不等式的解集是， 所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合． 故选：C． 32．（2025·河南·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， 关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项A符合， 故选：A ( 题型0 7 )一次函数的实际应用 33．（2025·河南平顶山·一模）某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家网店的标价均为15元／件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超过300元的按原价购买，超过300元的部分按标价的六折出售；乙网店商品全部按标价的八折出售． (1)若该校需要购买40件教学用品，则在甲网店需花费_________元；在乙网店需花费_________元． (2)若学校计划购买教学用品x件，设在甲网店花费元，在乙网店花费元，请求出，关于的函数解析式． (3)假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？ 【答案】(1)480；480 (2)，，且为整数) (3)购买40件以下时选择乙网店；购买40件时，甲、乙两家网店皆可选择；购买40件以上时选择甲网店 【分析】该题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据两家网店的优惠方案列式计算即可； （2）分为当时，当时，分别求解即可； （3）分为当购买不超过20件时，当购买超过20件时，分别列方程或不等式求解． 【详解】（1）解：购买40件教学用品的标价为（元）， 则在甲网店需花费：（元）； 在乙网店需花费：（元）． （2）解：（件）． 当时，（为整数）， 当时，为整数）； ， ，且为整数)． （3）解：当购买不超过20件时，，故应选择乙网店； 当购买超过20件时，， 由，可得，解得． 故购买超过20件，不超过40件时，选择乙网店； 由，可得，解得． 故购买40件时花费相同，选择甲、乙两家网店皆可； 由，可得，解得． 故购买超过40件时，选择甲网店． 综上所述，购买40件以下时选择乙网店；购买40件时，甲、乙两家网店皆可选择；购买40件以上时选择甲网店． 34．（2025·河南洛阳·一模）随着端午节的临近，，两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择_____超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择_超市（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为元时，请分别写出在，两超市购物时的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱． 【答案】(1)； (2)当时，选择超市更省钱 当时，超市函数表达式为，超市函数表达式为；当时，选择超市更省钱；当时，、两超市花费一样多；当时，选择超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解； （2）根据题意列出函数关系，分三种情况：，，，分别求出x的取值范围，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：， 超市八折优惠，超市不优惠， 选择超市更省钱； ， 超市应付：（元），超市应付：（元）， ， 选择超市更省钱； 故答案为：；． （2）解：当时，由（1）得选择超市更省钱 当时，超市函数表达式为：，超市函数表达式为：， 当，即时，选择超市更省钱； 当，即时，、两超市花费一样多； 当，即时，选择超市更省钱． 35．（2025·河南周口·一模）某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 36．（2025·河南·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 (2)最少要花3210元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 37．（2025·河南南阳·一模）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元 (2)购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需190元；购进6本类图书和2本类图书共需230元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为W元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每本A类图书的进价为a元，每本B类图书的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元． （2）解：设购进A类图书x本，购进B类图书y本，全部售出后所获利润为W元． 根据题意，得，解得． ∴，其中． ∵，∴W随x的增大而减小． ∴当时，W最大，，此时． 答：购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元． 38．（2025·河南洛阳·一模）智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 220 1 3 260 信息二 A型机器人每台每天可以分拣快递22万件； B型机器人每台每天可以分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过740万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)购买A型智能机器人7台，购买B型智能机器人3台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，及一次函数的应用． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再设每天分拣快递w件，则，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单位为y元， 根据题意，得， 解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 根据题意，得， 解得． 设每天分拣快递w件，则 ， 随a的增大而增大． 当时，w有最大值．此时，． 答：购买A型智能机器人7台，购买B型智能机器人3台，能使每天分拣快递的件数最多． 39．（2025·河南鹤壁·一模）某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． (1)求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． (2)为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． (3)某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 【答案】(1)甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元 (2)， (3)当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意求出函数表达式即可； （3）根据当时，，即可得解． 【详解】（1）解：设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元； （2）解：由题意可得：， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：当时，， ∴， 故当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算． 40．（2025·河南驻马店·一模）南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 (1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ (2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)款烙画购进6件，款烙画购进14件 (2)款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设款烙画购进件，款烙画购进件，根据用2440元购进了A，B两款烙画共20件列出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案． （2）设款烙画购进件，则款烙画数量为件，先根据题意得出m的取值范围，再根据利润的求解公式列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设款烙画购进件，款烙画购进件，根据题意得： 解方程组，得 款烙画购进6件，款烙画购进14件； （2）解：设款烙画购进件，则款烙画数量为件， 购进款烙画数量不少于款烙画数量的， ， 解得， 设利润为元，根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值（元）， 此时， 款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元． 41．（2025·河南驻马店·一模）随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营A，B两种型号自行车，上个月销售A型车100辆，B型车80辆，销售总额为148000元；A型车比B型车销售单价少50元． (1)求这两种自行车的销售单价各是多少元； (2)该商行本月计划新进一批A型车和C型车共60辆，且C型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．已知A型车和C型车的进货价格分别为600元和650元，且A型车的销售价格不变，C型车销售价格为900元，应如何进货才能使新进的这批自行车获利最多？ 【答案】(1)A型车的销售单价为800元，B型车的销售单价为850元 (2)新进型车20辆，型车40辆，这批自行车获利最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设型车的销售单价为元，型车的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设本月新进型车辆，则型车（）辆，获利元，根据题意可得，并求得的取值范围，结合一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设型车的销售单价为元，型车的销售单价为元， 由题意得，， 解得， 答：A型车的销售单价为800元，B型车的销售单价为850元； （2）设本月新进型车辆，则型车（）辆，获利元， 由题意，得， 型车的进货数量不超过型车数量的2倍， ， ， ， 随的增大而减小， 时，有最大值， 型车的数量为：（辆）． 当新进型车20辆，型车40辆时，这批自行车获利最多． 42．（2025·河南郑州·一模）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 (2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； （2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 43．（2025·河南信阳·一模）学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元 (2)购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式及函数关系式． （1）设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，根据“购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元”列出一元一次方程，即可解得； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， ， 答：甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元； （2）解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为（元， 此时， 答：购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$