专题05 不等式与不等式组（7大题型41题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01 求一元一次不等式的解集 题型02 在数轴上表示不等式的解集 题型03 一元一次不等式的应用 题型04 求不等式组的解集 题型05 求一元一次不等式组的整数解 题型06 与不等式组解集有关的参数问题 题型07 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )求一元一次不等式的解集 1．（2025·河南濮阳·一模）写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是 ． 2．（2025·河南郑州·一模）一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南开封·一模）若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 4．（2025·河南濮阳·一模）对于一个三位数（均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”．例如：因为，所以是“智慧数”． （1）除了，请任意写出一个“智慧数”： ． （2）若一个“智慧数”满足，则满足此条件的最大的“智慧数”是 ． 5．（2025·河南焦作·一模）（1）计算：． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． ( 题型02 )在数轴上表示不等式的解集 6．（2025·河南安阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 7．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·河南漯河·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南南阳·一模）数轴上表示不等式组的解集中，含有一个解是的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南驻马店·一模）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南郑州·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． ( 题型03 )一元一次不等式的应用 13．（2025·河南南阳·一模）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计：订购15张A种书签与25张B种书签，共需付款275元；订购20张A种书签和30张B种书签，共需付款340元． (1)求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少元？ 14．（2025·河南平顶山·一模）某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． (1)求这种新鲜酸奶的进价． (2)因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． (3)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 15．（2025·河南周口·一模）某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． (1)求线下A，B两种奖品的单价； (2)学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ (3)若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 16．（2025·河南周口·一模）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案的A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． (1)求两种书签每张的进价分别是多少元； (2)该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 17．（2025·河南漯河·一模）新郑大枣——河南省新郑市的特产，中国国家地理标志产品．新郑大枣以皮薄肉厚、核小味甜而著称，常见包装为独立小袋．某超市为推广新品，推出灰枣和鸡心枣两种组合装．若购买2包灰枣和1包鸡心枣，共需80元；若购买3包灰枣和4包鸡心枣，共需170元． (1)求灰枣和鸡心枣每包的价格． (2)某顾客用不超过2600元购买这两种枣共100包，要求灰枣尽量多，则他最多能购买灰枣多少包？ 18．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？ 19．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 (1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ (2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． ( 题型0 4 )求不等式组的解集 20．（2025·河南商丘·一模）不等式组的解集为 ． 21．（2025·河南·一模）不等式组的解集为 ． 22．（2025·河南平顶山·一模）不等式组的解集为 ． 23．（2025·河南南阳·一模）对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·河南开封·一模）不等式组的解集是 ． 25．（2025·河南濮阳·一模）不等式组的最小整数解为 ． 26．（2025·河南商丘·一模）不等式组的解集为 ( 题型0 5 )求一元一次不等式组的整数解 27．（2025·河南平顶山·一模）不等式组的正整数解的个数是 ． 28．（2025·河南洛阳·一模）a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 29．（2025·河南商丘·一模）不等式组的最小整数解是 ． 30．（2025·河南周口·一模）不等式，的最小整数解为 ． 31．（2025·河南信阳·一模）不等式组的所有整数解的和是 ． ( 题型0 6 )与不等式组解集有关的参数问题 32．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值 ． 33．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 34．（2025·河南漯河·一模）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则可以取的值为（　　） A．0 B． C．2 D． 35．（2025·河南周口·一模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 36．（2025·河南信阳·一模）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 ( 题型0 7 )一元一次不等式组的应用 38．（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 39．（2025·河南濮阳·一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． (1)小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ (2)小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 40．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 41．（2025·河南鹤壁·一模）鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 (1)求的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01 求一元一次不等式的解集 题型02 在数轴上表示不等式的解集 题型03 一元一次不等式的应用 题型04 求不等式组的解集 题型05 求一元一次不等式组的整数解 题型06 与不等式组解集有关的参数问题 题型07 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )求一元一次不等式的解集 1．（2025·河南濮阳·一模）写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，先求出不等式的解，结合不等式组的解集，得出需写一个不等式，其解集为，根据题意写出不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，需写一个不等式，其解集为， ∵， ∴， 故不等式与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·河南郑州·一模）一个不等式的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，分别求出四个不等式的解集，与数轴对照即可，熟练计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：图中数轴表示的解集为 A、解，可得，不符合题意； B、解，可得，不符合题意； C、解，可得，符合题意； D、解，可得，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·河南开封·一模）若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】解：关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 4．（2025·河南濮阳·一模）对于一个三位数（均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”．例如：因为，所以是“智慧数”． （1）除了，请任意写出一个“智慧数”： ． （2）若一个“智慧数”满足，则满足此条件的最大的“智慧数”是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了整式的加减，理解“智慧数”的定义是解题的关键． （1）根据“智慧数”的定义写出一个“智慧数”即可 （2）根据题意得到，b取最大值6，即可得到答案． 【详解】解：(1)， “智慧数”是 故答案为： (答案不唯一)． (2)∵ “智慧数”满足， (为正整数)． (b为正整数)． ∵要求满足此条件的最大的“智慧数”， 取最大值，此时． 当取，取时，得到满足此条件的最大“智慧数”，为． ∴满足此条件的最大的“智慧数”为． 5．（2025·河南焦作·一模）（1）计算：． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． 【答案】（1）（2）①不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；②移项没有变号；③见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算；一元一次不等式的解法，正确的计算是解题的关键； （1）根据二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解； （2）①根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2； ②第三步是移项，移项时注意要变号； ③根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化． 【详解】解：（1） ； （2）①第一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号． 故答案为：移项没有变号． ③移项，得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ( 题型02 )在数轴上表示不等式的解集 6．（2025·河南安阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法；结合题意，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，即可得到答案． 【详解】 由得， ∴， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集在数轴上表示如下： ， 故选：B． 7．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是： 故选：B． 8．（2025·河南漯河·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 在数轴上表示如下： 故选：D． 9．（2025·河南南阳·一模）数轴上表示不等式组的解集中，含有一个解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解集，主要考查如何确定不等式组的解集，并判断一个特定的数值是否在解集中．解题的关键是明确的取值范围，以及数轴上不等式解集的表示方法．首先估算的值，位于3和4之间，然后分析选项中的数轴表示的解集，确定哪个解集明确包含，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 选项A中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确； 选项B中数轴表示的解集是，包含，该选项正确； 选项C中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确； 选项D中数轴表示的解集是，不包含，该选项不正确． 故选B． 10．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为， 故选C． 11．（2025·河南驻马店·一模）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 【详解】解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为：． 故选：A． 12．（2025·河南郑州·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为， 故选： C． ( 题型03 )一元一次不等式的应用 13．（2025·河南南阳·一模）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计：订购15张A种书签与25张B种书签，共需付款275元；订购20张A种书签和30张B种书签，共需付款340元． (1)求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)种书签每张进价元，种书签每张进价元 (2)当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）由题意设种书签每张进价元，种书签每张进价元，进而列出二元一次方程组求解即可； （2）由题意设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，列出不等式和函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元． 根据题意可得：， 解方程组得：； 答：种书签每张进价元，种书签每张进价元； （2）解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为： ， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大利润为（元）， （张）， 当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元． 14．（2025·河南平顶山·一模）某超市新进一种新鲜酸奶，在进价的基础上加价50%销售．已知该超市用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶． (1)求这种新鲜酸奶的进价． (2)因这种酸奶的保质期不超过一天，故需对当天未售出的酸奶必须全部做销毁处理．已知该超市某一天购进20瓶这种酸奶进行销售，设售出的酸奶的瓶数为（瓶），销售酸奶的利润为（元）． ①这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为________． ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售________瓶． (3)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进的20瓶酸奶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 通过计算得到，这10天每天购进20瓶酸奶共获利346元．小明计算发现：在这10天当中，若超市每天购进19瓶总利润要比每天购进20瓶还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明． 【答案】(1)4元 (2)①；②14 (3)小明的说法有道理，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，列函数关系式以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键． （1）设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元，根据“用48元购进酸奶的瓶数比消费者用48元购买酸奶的瓶数多4瓶”列出分式方程求解即可； （2）①根据此“酸奶”以每瓶4元购进，6元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式， ②根据得出x的取值范围即可解决问题； （3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案 【详解】（1）解：设这种新鲜“酸奶”的进价为元，则售价为元， 由题意可得， 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：这种新鲜“酸奶”的进价为每瓶4元． （2）解：①每瓶酸奶的售价为元， 所以，这一天销售酸奶的利润（元）与销售的瓶数（瓶）之间的函数关系式为： （的整数） 故答案为：； ②为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少销售量为： ， 解得，， 所以，当天至少销售量为14瓶， （3）解：小明的说法有道理． 由（1）可知，每瓶酸奶的进价为4元，售价为6元， 若每天购进19瓶酸奶，进价为（元）．则每天售出17瓶可获利：（元）， 每天售出18瓶可获利：（元）， 每天售出19瓶可获利：（元）， 所以，这10天每天购进19瓶酸奶所获总利润为：． 即小明的说法有道理 15．（2025·河南周口·一模）某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． (1)求线下A，B两种奖品的单价； (2)学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ (3)若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 【答案】(1)种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元 (2)当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用为元； 当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用为元 (3)学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据总费用等于单价乘以数量，列出算式计算即可； （3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元．根据题意，列出不等式，求出的取值范围，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元， 由题意得，，解得 答：种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元． （2）当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用：（元）；   当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用：（元）． （3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元． 由题可知，，解得：． ∵，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， （元）． 答：学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元． 16．（2025·河南周口·一模）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案的A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． (1)求两种书签每张的进价分别是多少元； (2)该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； (2)当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设种书签每张进价元，种书签每张进价元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，可以得到所获利润与购买种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【详解】（1）解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； （2）解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，所获利润为， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为: ， ∵， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大， 最大利润为(元)， (张)， 当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 17．（2025·河南漯河·一模）新郑大枣——河南省新郑市的特产，中国国家地理标志产品．新郑大枣以皮薄肉厚、核小味甜而著称，常见包装为独立小袋．某超市为推广新品，推出灰枣和鸡心枣两种组合装．若购买2包灰枣和1包鸡心枣，共需80元；若购买3包灰枣和4包鸡心枣，共需170元． (1)求灰枣和鸡心枣每包的价格． (2)某顾客用不超过2600元购买这两种枣共100包，要求灰枣尽量多，则他最多能购买灰枣多少包？ 【答案】(1)灰枣每包的价格为30元，鸡心枣每包的价格为20元 (2)60包 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设灰枣每包的价格为元，鸡心枣每包的价格为元，根据购买2包灰枣和1包鸡心枣，共需80元；购买3包灰枣和4包鸡心枣，共需170元建立方程组求解即可； （2）设购买灰枣包，则购买鸡心枣包，根据总费用不超过2600元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设灰枣每包的价格为元，鸡心枣每包的价格为元， 根据题意，得， 解得， 答：灰枣每包的价格为30元，鸡心枣每包的价格为20元； （2）解：设购买灰枣包，则购买鸡心枣包．     根据题意，得， 解得， ∵要求灰枣尽量多， ∴最多能购买灰枣60包， 答：最多能购买灰枣60包． 18．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？ 【答案】(1)每棵银杏树苗价格为元，每棵白杨树苗的价格为元 (2)购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元，根据用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可求解； （2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵，先根据银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的，建立不等式，解得，再根据价格与棵树的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每棵银杏树苗价格为40元，每棵白杨树苗价格为30元． （2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵， 根据题意得：， 解得， 设总费用为元， ，随增大而增大， 当时，最小，此时， 答：购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少． 19．（2025·河南许昌·一模）在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 (1)在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ (2)4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． 【答案】(1)使用种原料2吨，种原料4吨 (2)使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键． （1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：设使用种原料吨，种原料吨， 根据题意得， 解得， 答：使用种原料2吨，种原料4吨． （2）解：追肥用量是底肥用量的， 追肥用量为（吨）， 设使用种原料吨，则种原料吨， 要求肥料中含有不少于100千克钾， ， 解得， 设总成本为元，则， ， 随的增大而减小， 当时，最小， ， 答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低． ( 题型0 4 )求不等式组的解集 20．（2025·河南商丘·一模）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 21．（2025·河南·一模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为： 22．（2025·河南平顶山·一模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 23．（2025·河南南阳·一模）对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 根据新定义得到，再求不等式组的解集即可． 【详解】由题意，可得， 解不等式组，得， 故选：D． 24．（2025·河南开封·一模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定公共部分即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 25．（2025·河南濮阳·一模）不等式组的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的解和解一元一次不等式组，解题的关键在于求出不等式组的解集． 先解不等式组求出其解集，再判定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ∴， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 26．（2025·河南商丘·一模）不等式组的解集为 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． ( 题型0 5 )求一元一次不等式组的整数解 27．（2025·河南平顶山·一模）不等式组的正整数解的个数是 ． 【答案】4 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，判断解集内正整数的个数．本题考查求不等式的整数解，解答过程和解不等式是完全相同的过程，最后只需分析解集中的整数解即可 【详解】解：∵ ∴解不等式得：， ∴解不等式得：， ∴， ∴正整数解有 1，2，3，4共4个． 故答案为：4 28．（2025·河南洛阳·一模）a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组整数解．解出不等式组的解集，在根据a是不等式组的一个整数解，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ， ∴不等式组有整数解， ∵a是不等式组的一个整数解， ∴或， 故选：C． 29．（2025·河南商丘·一模）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】0 【分析】本题考查解不等式组及其整数解问题，先求出不等式组的解集，再求最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， ∴不等式组的最小整数解是0， 故答案为：0． 30．（2025·河南周口·一模）不等式，的最小整数解为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出最小整数解即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集是， ∴最小整数解为3． 故答案为：3． 31．（2025·河南信阳·一模）不等式组的所有整数解的和是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解答本题的关键．先求出各不等式的解集，再求确定等式组的解集，最后确定不等式的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解有：， ∴所有整数解的和是． 故答案为：10． ( 题型0 6 )与不等式组解集有关的参数问题 32．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值 ． 【答案】3 （答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组以及不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式组的解集． 根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：不等式组， 由①得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：3 （答案不唯一）． 33．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出a的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 34．（2025·河南漯河·一模）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则可以取的值为（　　） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，无理数的估算，根据不等式组有且仅有两个整数解求出，再推出，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， ∵， ∴， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 35．（2025·河南周口·一模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数．先分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出结论． 【详解】解：， 由可得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 36．（2025·河南信阳·一模）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练在掌握不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．根据不等式组无解，结合大大小小找不到（无解），即可判断与的大小关系． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴的取值范围是， 故选：B． 37．（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． ( 题型0 7 )一元一次不等式组的应用 38．（2025·河南南阳·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 39．（2025·河南濮阳·一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． (1)小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ (2)小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 【答案】(1)小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克 (2)每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克．根据收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分，列出方程，求解即可． （2）设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元．根据总收益=可回收垃圾的收益+厨余垃圾的收益，列出函数关系式，再根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨，列出不等式组，求出x的范围，再根据一次函数的性质求出y的最大值即可． 【详解】（1）解：设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克． 由题意得： 解得： 塑料瓶：千克 答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克． （2）解：设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元． 由题意得：， ， ， ， 随的增大而增大 当时，有最大值， 此时厨余垃圾：（吨）， 即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大． 40．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的边时，草坪的面积最小，为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪， ∴， 解得：， ∴x 的取值范围为； （2）解：由题意可得：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，的值最小，为， 故草坪的边时，草坪的面积最小，为． 41．（2025·河南鹤壁·一模）鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 (1)求的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】(1)a的值为30，b的值为45 (2)①（，x取整数）；②当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133 套时，获利最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出y关于x的函数关系式，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可；②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 即的值为30，b的值为45； （2）解：①由题意得， ∵购进乒乓球拍的套数不超过120套 ∴， ∵购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， ∴关于的函数关系式为 （，取整数）； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， ∴当时，取最大值， 此时， 答：当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套时，获利最大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$