专题04 方程（组）（9大题型53题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 方程（组） 题型概览 题型01 一元一次方程的应用 题型02 解二元一次方程组 题型03 二元一次方程组的应用 题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 题型06 因式分解法解一元二次方程 题型07 一元二次方程的应用 题型08 解分式方程 题型09 分式方程的应用 ( 题型01 )一元一次方程的应用 1．（2025·河南鹤壁·一模）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（   ） 2031 1 3 A．2024 B． C．2025 D． 2．（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． (1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 3．（2025·河南·一模）按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（   ） A．0 B．1 C．6 D．1或6 4．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 5．（2025·河南焦作·一模）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯、哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海）的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元 (1)求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； (2)该影城需要购买玩偶杯、盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯、盲盒各多少个，才能使总费用最低． 6．（2025·河南驻马店·一模）根据图中情景，解答下列问题： (1)购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） (2)欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． ( 题型02 )解二元一次方程组 7．（2025·河南·一模）已知方程组，则 ． 8．（2025·河南南阳·一模）若，则 ． 9．（2025·河南濮阳·一模）（1）计算： （2）解方程组： 10．（2025·河南开封·一模）二元一次方程组的解为 11．（2025·河南郑州·一模）计算或解方程组： (1)； (2) 12．（2025·河南郑州·一模）（1）化简： （2）解方程组： 13．（2025·河南周口·一模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 ( 题型03 )二元一次方程组的应用 14．（2025·河南周口·一模）截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元． (1)求玩偶和保温杯的单价． (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低． 15．（2025·河南·一模）汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． (1)求A，B两款汉服每件的售价． (2)为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 16．（2025·河南安阳·一模）为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材和1套化学实验器材共需800元，2套物理实验器材和3套化学实验器材共需1800元． (1)每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？ (2)若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 17．（2025·河南平顶山·一模）某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元． (1)求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润． 18．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． ( 题型0 4 )根据判别式判断一元二次方程根的情况 19．（2025·河南许昌·一模）m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 20．（2025·河南·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 21．（2025·河南南阳·一模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 22．（2025·河南周口·一模）关于的方程的根的情况是（    ）． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 23．（2025·河南南阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 24．（2025·河南信阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 25．（2025·河南濮阳·一模）定义新运算：．例如：．则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ( 题型0 5 )根据一元二次方程根的情况求参数 26．（2025·河南安阳·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（   ）． A． B． C．0 D． 27．（2025·河南平顶山·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是（   ） A．2 B．0 C． D．1 28．（2025·河南洛阳·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 29．（2025·河南洛阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 30．（2025·河南南阳·一模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为 ． 31．（2025·河南周口·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值 ． 32．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 33．（2025·河南南阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ． 34．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程有两个相等的实数根，的值是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·河南焦作·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 ( 题型0 6 )因式分解法解一元二次方程 36．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 37．（2025·河南洛阳·一模）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 38．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1)． (2)解方程：． ( 题型0 7 )一元二次方程的应用 39．（2025·河南平顶山·一模）据中国信通院发布的数据显示，2022年全年，国产品牌手机出货量累计2.29亿部，2024年国内手机市场活力满满，全年国产品牌手机出货量为3.14亿部．如果设从2022年到2024年国产品牌手机的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 40．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 41．（2025·河南洛阳·一模）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； (3)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 42．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（2025·河南三门峡·一模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； (2)为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ (3)瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 44．（2025·河南开封·一模）某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． (1)若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． (2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ ( 题型0 8 )解分式方程 45．（2025·河南驻马店·一模）方程的解为 ． 46．（2025·河南·一模）分式方程的解为 ． 47．（2025·河南郑州·一模）（1）解方程组：．       （2）解方程：． 48．（2025·河南·一模）关于x的分式方程有增根，则 ． ( 题型0 9 )分式方程的应用 49．（2025·河南漯河·一模）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐．某玩具商店用3600元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，且单价比第一批便宜10元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元？ 50．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 51．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 52．（2025·河南驻马店·一模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 53．（2025·河南周口·一模）某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 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3．（2025·河南·一模）按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（   ） A．0 B．1 C．6 D．1或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 根据最后输出的结果，对题中的程序框图逆向运算确定出满足题意的x的值即可． 【详解】解：若，则， 若，则， 所以满足条件的x的值是1或6， 故选：D 4．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1)购进毛笔30件，购进砚台10件 (2)应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元 【分析】本题考查了一元一次方程，不等式的应用，一次函数的应用，熟练利用题意得到不等关系或等量关系是解题的关键． （1）设购进毛笔件，则购进砚台件，根据进货价为1300元列方程即可解答； （2）设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元，表示出第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得销售利润，再利用最多用5600元再次购进毛笔、砚台列不等式求得自变量的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设购进毛笔件，则购进砚台件， 根据题意可得， 解得， 件， 答：购进毛笔30件，购进砚台10件； （2）解：设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元， 根据题意可得， 最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件， ， 解得， 的最小值为40， ， 随的增大而减小， 则取最小值40时，最大利润为元， 件， 答：应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元． 5．（2025·河南焦作·一模）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯、哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海）的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元 (1)求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； (2)该影城需要购买玩偶杯、盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯、盲盒各多少个，才能使总费用最低． 【答案】(1)每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元 (2)购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设每个盲盒的价格是元，根据3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，则每个玩偶杯价格是元．由购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元建立一元一次方程求解即可； （2）设购买盲盒个，则购买玩偶杯个，根据购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费元，列出关系式，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每个盲盒的价格是元，则每个玩偶杯价格是元． 根据题意，得． 解得． ． 答：每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元． （2）解：设购买盲盒个，则购买玩偶杯个． 根据题意，得． 解得． ． 设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费元， 则，即． ， 随的增大而增大． 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低． 6．（2025·河南驻马店·一模）根据图中情景，解答下列问题： (1)购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） (2)欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【答案】(1)当时，购买m斤A糖果需元，当时，购买m斤A糖果需元； (2)有可能，欣欣购买了斤，亮亮买了斤． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据分段收费的方式列代数式即可； （2）设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当时， 购买m斤A糖果需元， 当时，（元）； （2）解：这种情况有可能，理由如下： 设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，则 ， 解得：， ∴欣欣购买了斤，亮亮买了斤． ( 题型02 )解二元一次方程组 7．（2025·河南·一模）已知方程组，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·河南南阳·一模）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查代数式求值，涉及解二元一次方程组等知识，利用两式相加即可得到，整体代入即可得到所求代数式的值，熟悉二元一次方程组的解法及整体代入求代数式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由得，则， ∴． 故答案为：4． 9．（2025·河南濮阳·一模）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二元一次方程组的求解，准确计算是解题关键． （1）根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算各项再算加减法即可； （2）直接利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ，得，解得， 把代入①，得， 则该方程组的解为． 10．（2025·河南开封·一模）二元一次方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， ， 将代②得：， ， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 11．（2025·河南郑州·一模）计算或解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可； （2）利用代入消元法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 由①得， 把③代入②可得， 解得， 把代入，可得， 原方程组的解为． 12．（2025·河南郑州·一模）（1）化简： （2）解方程组： 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、解二元一次方程组等知识点，掌握相关计算方法成为解题的关键． （1）先运用完全平方公式、单项式乘多项式计算，然后合并同类项即可； （2）先化简不等式组，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）方程组可化简为：， 得：，解得：， 将代入②可得：， 所以不等式组的解集为：． 13．（2025·河南周口·一模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查加减消元法，将第二个方程减去第一个方程，即可解答． 【详解】解：， ，得． 故选：D ( 题型03 )二元一次方程组的应用 14．（2025·河南周口·一模）截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元． (1)求玩偶和保温杯的单价． (2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低． 【答案】(1)玩偶每个80元，保温杯每个100元 (2)买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设玩偶每个x元，保温杯每个y元，根据“采购5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元”，列方程组求解即可； （2）设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，根据题意，得，然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍”，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设玩偶每个x元，保温杯每个y元， 根据题意，得， 解得， ∴玩偶每个80元，保温杯每个100元； （2）解：设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个， 根据题意，得， ∵购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍， ∴， 解得， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，取最小值， ∴买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低． 15．（2025·河南·一模）汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． (1)求A，B两款汉服每件的售价． (2)为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】(1)A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元 (2)订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意，列出不等式可得，设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元； （2）解：A款汉服每件的利润为元，B款汉服每件的利润为元， 设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意得： ， 解得：， 设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为160000，此时， 即订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 16．（2025·河南安阳·一模）为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材和1套化学实验器材共需800元，2套物理实验器材和3套化学实验器材共需1800元． (1)每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？ (2)若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元 (2)购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，一次函数最值问题，解题的关键是熟练准确找出等量关系． （1）设每套物理实验器材元，每套化学实验器材元，根据两种购买方式列出方程即可； （2）设购买物理实验器材套，则化学实验器材套，总花费元，根据题意求得，列出一次函数并进行分析即可． 【详解】（1）解：设每套物理实验器材元，每套化学实验器材元， 依题意，得， 解得， 所以，每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元； （2）解：设购买物理实验器材套，则化学实验器材套，总花费元， 依题意，得， 解得， ∴m的最小值是200， ， 因为，所以随的增大而增大， 当时，取得最小值140000元， 此时，， 所以，购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元． 17．（2025·河南平顶山·一模）某文具店订购A，B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元． (1)求A、B两种书签每张的进价分别为多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若文具店购进A，B两种书签共计50张，A种书签不超过B种书签数量的一半，并将A，B两种书签每张分别以28元和21元全部售出，求文具店所获最大利润． 【答案】(1)A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元 (2)332元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用和一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元，由“订购A种书签10张，B种书签20张，共花费500元；订购A种书签12张，B种书签40张，共花费840元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元，由题意建立关于x的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种书签每张的进价为a元，B种书签每张的进价为b元， 由题意，得， 解得， 答：A种书签每张的进价为20元，B种书签每张的进价为15元； （2）解：设购买A种书签x张，则购买B种书签张，总利润为w元， 由题意，得， ∴w随x的增大而增大， ∵A种书签不超过B种书签数量的一半， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：文具店所获最大利润为332元． 18．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； (2)；购买33棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； 购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克， 根据题意得：， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； （2）解:购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ， ， 随的增大而增大， 当整数时，的值最大， 此时（棵）， 答：购买棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． ( 题型0 4 )根据判别式判断一元二次方程根的情况 19．（2025·河南许昌·一模）m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号． 【详解】解：由数轴得， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：C． 20．（2025·河南·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 21．（2025·河南南阳·一模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 22．（2025·河南周口·一模）关于的方程的根的情况是（    ）． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 【详解】解：一元二次方程中， ， ∴， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 23．（2025·河南南阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键． 根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论． 【详解】∵在方程中， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 24．（2025·河南信阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，先求，将与0作比较即可解答，熟知与0的大小关系对应的根的情况是解题的关键． 【详解】解：， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 25．（2025·河南濮阳·一模）定义新运算：．例如：．则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据新定义得到，再把方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，再根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：方程化为， 一元二次方程化为一般式为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． ( 题型0 5 )根据一元二次方程根的情况求参数 26．（2025·河南安阳·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（   ）． A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“”时，该方程无实数根．直接利用根的判别式进行判断，求出t的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴t的值可以是， 故选：A． 27．（2025·河南平顶山·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是（   ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；由题意得，解不等式，根据不等式的解集即可求得最大整数解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 则的最大整数为2； 故选：A． 28．（2025·河南洛阳·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：D． 29．（2025·河南洛阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式大于0求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴符合题意的m的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 30．（2025·河南南阳·一模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得， 所以当m取0时，方程有两个实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 31．（2025·河南周口·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 32．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．即可列不等式，计算即可得答案， 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 且， 故答案为：且． 33．（2025·河南南阳·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 34．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程有两个相等的实数根，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根可知，故可得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 35．（2025·河南焦作·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， ∴， 故选：C． ( 题型0 6 )因式分解法解一元二次方程 36．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 37．（2025·河南洛阳·一模）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．根据因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解： 或 ，， 故选：D． 38．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1)． (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、一元二次方程的解法． 根据绝对值的定义可知、、、，可得：原式，然后再根据运算法则计算即可； 首先利用十字相乘分解因式可得：，所以可得，，解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 分解因式可得：， ，， ，． ( 题型0 7 )一元二次方程的应用 39．（2025·河南平顶山·一模）据中国信通院发布的数据显示，2022年全年，国产品牌手机出货量累计2.29亿部，2024年国内手机市场活力满满，全年国产品牌手机出货量为3.14亿部．如果设从2022年到2024年国产品牌手机的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率的知识．解题关键在于理解平均增长率的计算公式，准确确定初始量、增长次数和增长后的量，然后将对应数值代入公式列出方程． 本题涉及平均增长率的数学概念．根据 2022 年国产品牌手机出货量，以及平均年增长率，要求根据增长规律列出 2024 年出货量的方程． 【详解】解：首先明确增长公式：若初始量为，平均增长率为，增长次后的量为，则公式为 ． 2022 年国产品牌手机出货量亿部，从 2022 年到 2024 年经过了年，即增长次数，2024 年出货量亿部． 把，，代入增长公式，得到 ． 故答案为：C 40．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 41．（2025·河南洛阳·一模）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； (3)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 【答案】(1)S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围 (2)自行车车棚的长为，宽为． (3)停车区面积为，充电区的面积是． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左中右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，再检验即可； （3）根据车棚的宽度为8米，求解，再根据停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ． 答：自行车车棚的长为，宽为． （3）解：∵车棚的宽度为， ∴， ∵此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍， ∴，， ∴停车区面积为，充电区的面积是． 42．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 43．（2025·河南三门峡·一模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； (2)为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ (3)瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 【答案】(1)①； (2)元 (3)65 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）根据售价进价利润，销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； （3）利用二次函数最值求法进而得出答案． 【详解】（1）解：①每个磁盘的实际利润是：（元）； ②实际的销售量是：元； 故答案为：；； （2）设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； （3）设售价定为元，总利润为元，则 ， ， 函数有最大值，当时，最大， 故答案为：65． 44．（2025·河南开封·一模）某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． (1)若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． (2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 【答案】(1) (2)当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏，可求出结论； （2）设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，根据总利润每盏台灯的利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：（盏）， 故答案为：； （2）设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元． ( 题型0 8 )解分式方程 45．（2025·河南驻马店·一模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验． 先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 46．（2025·河南·一模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验是原方程的解； 故答案为：． 47．（2025·河南郑州·一模）（1）解方程组：．       （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法和步骤． （1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先平方差公式变形，再去分母，解答即可． 【详解】（1）解：， 得：， 即， 把代入得：， 解得， 方程组的解为； 解： 变形为得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 所以分式方程的解为． 48．（2025·河南·一模）关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． ( 题型0 9 )分式方程的应用 49．（2025·河南漯河·一模）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐．某玩具商店用3600元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，且单价比第一批便宜10元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批小型无人机的单价为90元 (2)销售单价至少为120元 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批小型无人机的单价为元，则第二批小型无人机的单价为元，第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，据此列方程，解方程并检验即可； （2）求出第一批购进小型无人机40架，第二批购进小型无人机120架．设销售单价为元，全部售完后利润不少于6000元，据此即可列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批小型无人机的单价为元，则第二批小型无人机的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解． 答：第一批小型无人机的单价为90元． （2）解：， 第一批购进小型无人机40架，第二批购进小型无人机120架． 设销售单价为元， 根据题意，得， 解得． 销售单价至少为120元． 50．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出方程求解即可； （2）设购买航空模型个，花费为元，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元． 由题意得，， 解得， ， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 51．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 52．（2025·河南驻马店·一模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 53．（2025·河南周口·一模）某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用问题．根据提高效率之后，按原计划的生产时间提高效率后生产时间，可得结果． 【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，原计划用时天， 则提高效率之后每天生产套校服，用时天， 由此可得， 故选D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$